एक रेलगाड़ी $$v_{t}$$ गति से एक लम्बी सुरंग के अंदर जा रही है। रेलगाड़ी एवं सुरंग की अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल क्रमशः $$S_{\mathrm{t}}$$ एवं $$S_{\mathrm{o}}\left(S_{o}=4 S_{t}\right)$$ है। मान लीजिये कि रेलगाड़ी के सामने की लगभग समस्त वायु का प्रवाह सुरंग की दीवार एवं रेलगाड़ी के बाह्य-पृष्ठ के मध्य रेलगाड़ी की गति के विपरीत दिशा में होता है; तथा, वायु का प्रवाह रेलगाड़ी के सापेक्ष धारारेखीय (laminar) एवं स्थाई है। रेलगाड़ी के भीतर हवा का दबाव एवं वायुमंडलीय दबाव दोनों $$p_{o}$$ हैं। वायु का घनत्व $$\rho$$ है। रेलगाड़ी के बाह्य-पृष्ठ एवं सुरंग की दीवार के बीच के स्थान में दबाव $$p$$ है तब $$p_{o}-p=\frac{7}{2 N} \rho v_{t}^{2}$$ । तद्नुसार, $$N$$ का मान _____________ है।

जल से भरा हुआ वर्गाकार पेंदी एवं पतली पारदर्शक ऊर्ध्वाधर दीवारों वाला एक बड़ा पात्र क्षैतिज तल पर रखा हुआ है। जल का अपवर्तनांक (refractive index) $$\frac{4}{3}$$ है। एक विद्यार्थी ने एक पतले सीधे तार को ऊर्ध्वाधर अवस्था में जल के अंदर पकड़ कर रखा है। पात्र के एक कोने से इस तार की दूरी $$12 \mathrm{~cm}$$ है, जैसा कि प्रतीकात्मक (schematic) चित्र में दर्शाया गया है। एक दूसरा विद्यार्थी तार को इसी कोने से चित्र में दिखाई गयी रेखा (line of sight) के अनुरूप (along) देखता है। उसे तार के एक-एक प्रतिबिम्ब, इस रेखा के दोनों ओर सममित रूप से स्थित (symmetrically located) दिखाई देते हैं। इन प्रतिबिम्बों के बीच की दूरी (cm में ) ________________ है।

गर्म वायु से भरा हुआ एक गुब्बारा कुछ सवारियों एवं कुछ रेत की पोटलियों को लेकर जा रहा है । रेत की प्रत्येक पोटली का द्रव्यमान $$1 \mathrm{~kg}$$ है, तथा गुब्बारे का संपूर्ण द्रव्यमान $$480 \mathrm{~kg}$$ है । इसे उत्प्लावकता (buoyancy) प्रदान करने वाला प्रभावी आयतन $$V$$ है । अपनी साम्यावस्था में यह गुब्बारा $$100 \mathrm{~m}$$ की ऊंचाई पर तैरता है। जब रेत की $$N$$ पोटलियाँ गुब्बारे से निकाल कर फेंक दी जाती हैं, तो प्रभावी आयतन $$V$$ के बिना परिवर्तित हुए गुब्बारा अपनी नयी साम्यावस्था में $$150 \mathrm{~m}$$ की ऊंचाई के निकट पहुँचता है । यदि वायु का घनत्व धरातल से ऊंचाई $$h$$ पर $$\rho(h)=\rho_{o} e^{-\frac{h}{h_{o}}}$$ हो, जहां $$\rho_{o}=1.25 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3}$$ एवं $$h_{\mathrm{o}}=6000 \mathrm{~m}$$ है, तब $$N$$ का मान _____________ होगा ।

एक ऊष्मारोधी ऊर्ध्वाकार बंद बेलनाकार पात्र की ऊंचाई $$8 \mathrm{~m}$$ है । इस पात्र को एक ऊष्मा-पार्य (diathermic) (आदर्श ऊष्मा सुचालक) विभाजक (द्रव्यमान $$8.3 \mathrm{~kg}$$ ) द्वारा दो बराबर भागों में बांटा गया है (चित्र देखें)। अतः आरम्भ में विभाजक पात्र के ऊपरी तल से $$4 \mathrm{~m}$$ दूरी पर है। प्रत्येक भाग में $$300 \mathrm{~K}$$ तापमान पर आदर्श गैस के $$0.1$$ मोल भरे हैं। विभाजक को मुक्त करने पर यह बिना घर्षण के गतिमान होता है, तथा इस प्रक्रिया में पात्र के एक भाग से दूसरे भाग में गैस का स्थात्रान्तरण नहीं होता है । जब निकाय साम्यावस्था में पहुँचता है तब विभाजक की पात्र के ऊपरी तल से दूरी ($$\mathrm{m}$$ में ) _______________ होगी (गुरुत्वीय त्वरण $$=10 \mathrm{~ms}^{-2}$$ तथा सार्वत्रिक गैस नियतांक $$=8.3 \mathrm{~J} \mathrm{~mol}^{-1} \mathrm{~K}^{-1}$$ लें )|

एक ऊष्मारोधी ऊर्ध्वाकार बंद बेलनाकार पात्र की ऊंचाई $$8 \mathrm{~m}$$ है । इस पात्र को एक ऊष्मा-पार्य (diathermic) (आदर्श ऊष्मा सुचालक) विभाजक (द्रव्यमान $$8.3 \mathrm{~kg}$$ ) द्वारा दो बराबर भागों में बांटा गया है (चित्र देखें)। अतः आरम्भ में विभाजक पात्र के ऊपरी तल से $$4 \mathrm{~m}$$ दूरी पर है। प्रत्येक भाग में $$300 \mathrm{~K}$$ तापमान पर आदर्श गैस के $$0.1$$ मोल भरे हैं। विभाजक को मुक्त करने पर यह बिना घर्षण के गतिमान होता है, तथा इस प्रक्रिया में पात्र के एक भाग से दूसरे भाग में गैस का स्थात्रान्तरण नहीं होता है । जब निकाय साम्यावस्था में पहुँचता है तब विभाजक की पात्र के ऊपरी तल से दूरी ($$\mathrm{m}$$ में ) _______________ होगी (गुरुत्वीय त्वरण $$=10 \mathrm{~ms}^{-2}$$ तथा सार्वत्रिक गैस नियतांक $$=8.3 \mathrm{~J} \mathrm{~mol}^{-1} \mathrm{~K}^{-1}$$ लें )|

जल से भरा हुआ वर्गाकार पेंदी एवं पतली पारदर्शक ऊर्ध्वाधर दीवारों वाला एक बड़ा पात्र क्षैतिज तल पर रखा हुआ है। जल का अपवर्तनांक (refractive index) $$\frac{4}{3}$$ है। एक विद्यार्थी ने एक पतले सीधे तार को ऊर्ध्वाधर अवस्था में जल के अंदर पकड़ कर रखा है। पात्र के एक कोने से इस तार की दूरी $$12 \mathrm{~cm}$$ है, जैसा कि प्रतीकात्मक (schematic) चित्र में दर्शाया गया है। एक दूसरा विद्यार्थी तार को इसी कोने से चित्र में दिखाई गयी रेखा (line of sight) के अनुरूप (along) देखता है। उसे तार के एक-एक प्रतिबिम्ब, इस रेखा के दोनों ओर सममित रूप से स्थित (symmetrically located) दिखाई देते हैं। इन प्रतिबिम्बों के बीच की दूरी (cm में ) ________________ है।

एक बीकर, जिसकी त्रिज्या $$r$$ है, $$H$$ ऊँचाई तक जल से भरा है, जैसा की चित्र में बाईं ओर दर्शाया गया है । जल का अपवर्तनांक (refractive index) $$\frac{4}{3}$$ है | जल से भरा यह बीकर एक क्षैतिज समतल (table) पर रखा गया है । यह निकाय कोणीय गति $$\omega$$ से घूर्णन कर रहा है । इस घूर्णन के कारण जल का पृष्ठ वक्रीय हो जाता है । इससे जल के पृष्ठ के उच्चतम बिंदु (बीकर की परिधि पर स्थित ) एवं न्यूनतम बिंदु (बीकर के अक्ष पर स्थित ) के मध्य की ऊँचाई $$h(h \ll H, h \ll r)$$ हो जाती है जैसा कि चित्र में दायीं ओर दर्शाया गया है । यदि हम इस वक्रीय पृष्ठ को वक्रता त्रिज्या $$R$$ का गोलीय पृष्ठ मानें तो ( $$g$$ गुरुत्वीय त्वरण है )

एक रैंप (लम्बे उत्रत तल के समान) क्षैतिज से $$30^{\circ}$$ का कोण बनाता है । एक विद्यार्थी इस रैंप पर नीचे से $$v_{o}$$ गति से आरम्भ कर ऊपर की ओर स्केटिंग करता/करती है |चित्रानुसार इस रैंप पर विद्यार्थी $$R$$ त्रिज्या के अर्धवृत्ताकार पथ $$x y z$$ पर वापस मुड़ना चाहता/चाहती है और ऐसा करने पर वह धरती से अधिकतम ऊँचाई $$h$$ (बिंदु $$y$$ पर ) तक पहुंचता/पहुंचती है । मान लीजिये कि ऊर्जा का क्षय नगण्य है तथा इस अधिकतम ऊँचाई पर वापस मुड़ने के लिए केवल उसका भार ही उसे आवश्यक बल प्रदान करता है ।तब (गुरुत्वीय त्वरण $$g$$ है)

द्रव्यमान $$m$$ एवं लम्बाई $$L$$ वाली एक शलाका (rod), जो कि अपने एक छोर से कीलित (pivoted) है, उद्वाधर लटकी हुई है । समान द्रव्यमान की एक गोली, जिसकी गति $$v$$ है, शलाका से क्षैतिज दिशा में चलते हुए टकराती है तथा उसके अन्दर धंस जाती है। टकराने वाले बिंदु की कीलक से दूरी $$x$$ है। यह संयुक्त निकाय कीलक के परितः कोणीय वेग $$\omega$$ से घूमता है। कोणीय वेग का अधिकतम मान $$\omega_{M}$$ है, जो की $$x=x_{M}$$ पर प्राप्त होता है। तब

एक $$\mathrm{X}$$ - किरण नलिका ( $$\mathrm{X}$$ - ray tube) के तंतु (कैथोड), जिसकी तंतु धारा (filament current) $$I$$ है, से इलेक्ट्रान उत्सर्जित होते हैं। ये इलेक्ट्रान लक्ष्य (एनोड ) पर पड़ते हैं। लक्ष्य एवं तंतु के बीच की दूरी $$d$$ है। लक्ष्य (एनोड ) को तंतु (कैथोड) की तुलना में उच्च विभव $$V$$ पर रखा गया है । परिणाम स्वरुप, लक्ष्य (एनोड ) से संतत (continuous) एवं अभिलक्षणिक (characteristic) $$\mathrm{X}$$-किरणें उत्सर्जित होती हैं । यदि तंतु धारा $$I$$ को घटा कर $$\frac{I}{2}$$ कर दिया जाए, विभवान्तर $$V$$ को बढ़ाकर $$2 V$$ कर दिया जाए एवं बीच की दूरी $$d$$ को घटा कर $$\frac{d}{2}$$ कर दिया जाए तब

दो समरस (identical) अचालक (non-conducting) ठोस गोले, जिनके द्रव्यमान एवं आवेश एकसमान हैं, एक उभयनिष्ठ (common) बिंदु से दो द्रव्यमान रहित अचालक डोरियों (strings) के द्वारा वायु में लटक रहे हैं। दोनों डोरियों की लम्बाई एकसमान है। साम्यावस्था में दोनों डोरियों के बीच का कोण $$\alpha$$ है | यह गोले अब एक परावैद्युत (dielectric) द्रव में डुबाये जाते हैं। इस द्रव का घनत्व $$800 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3}$$ और परावैद्युतांक $$21$$ है। द्रव में डुबाने के बाद यदि दोनों डोरियों के बीच का कोण पहले जितना ही रहे, तब

मूल बिंदु से $$t=0$$ समय पर $$1 \mathrm{~ms}^{-1}$$ की गति से आरम्भ करते हुए एक कण $$x-y$$ तल में दो विमीय प्रक्षेप-पथ का अनुसरण करता है । कण की गतिमान अवस्था में इसके निर्देशांक समीकरण $$y=\frac{x^{2}}{2}$$ से सम्बद्ध हैं। इसके त्वरण के $$x$$ एवं $$y$$ घटकों को क्रमशः $$a_{x}$$ तथा $$a_{y}$$ से दर्शाया जाता है । तब

पानी के अंदर स्थित गोलाकार बुलबुले की त्रिज्या $$R$$ है । बुलबुले के अंदर का दाब और पानी के दाब का मान $$p_{0}$$ लें।यह बुलबुला अब त्रिज्य (radial) दिशा में रुधोष्म (adiabatic) विधि से संपीड़ित (compress) होता है, जिससे इसकी त्रिज्या $$(R-a)$$ हो जाती है । $$a \ll R$$ के लिए इस प्रक्रम में किये गये कार्य का मान $$\left(4 \pi p_{0} R a^{2}\right) X$$ है । यहाँ पर $$X$$ एक नियतांक है एवं $$\gamma=\frac{c_{p}}{c_{v}}=\frac{41}{30}$$ है । $$X$$ का मान है _____________

संतुलित अवस्था में एक क्हीटस्टोन सेतु (Wheatstone bridge) की चार भुजाओं के प्रतिरोधक चित्र में दिखाए गए हैं। प्रतिरोधक $$R_{3}$$ का ताप गुणांक (temperature coefficient) $$0.0004^{\circ} \mathrm{C}^{-1}$$ है । यदि $$R_{3}$$ का तापमान $$100^{\circ} \mathrm{C}$$ बढ़ाया जाता है, तब $$S$$ और $$T$$ के बीच उत्पन्न वोल्टता ____________ वोल्ट होगी।

दो संधारित्र (capacitors), जिनकी धारिताएँ $$C_{1}=2000 \pm 10 ~\mathrm{pF}$$ एवं $$C_{2}=3000 \pm 15 ~\mathrm{pF}$$ हैं, श्रेणीक्रम (series) में संयोजित हैं।इस संयोजन के मध्य वोल्टता $$V=5.00 \pm 0.02 \mathrm{~V}$$ है । संधारित्र के इस संयोजन में संचित उर्जा की गणना में प्रतिशत त्रुटि _____________ है।

धरती की सतह पर ऐलुमिनियम [आयतन गुणांक (bulk modulus) $$=-V \frac{d P}{d V}=70 ~\mathrm{GPa}$$ के एक ठोस घनाकार खंड के एक किनारे की लम्बाई (edge length) $$1 \mathrm{~m}$$ है । यह खंड $$5 \mathrm{~km}$$ गहरे समुद्र के तल पर रखा है । जल का औसत घनत्व $$10^{3} \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3}$$ एवं गुरुत्वीय त्वरण $$10 \mathrm{~ms}^{-2}$$ लेते हुए खंड के किनारे की लम्बाई में परिवर्तन (mm में) ________________ है ।

चित्रानुसार, दो $$L R$$ परिपथों (circuits) के प्रेरकों (inductors) को एक दूसरे के समीप रखा गया है । प्रेरकों का स्व-प्रेरकत्व (self-inductance), प्रतिरोध, अन्योन्य-प्रेरकत्व (mutual inductances) एवं अनुप्रयुक्त वोल्टता (applied voltages) का मान परिपथ में दिया गया है । दोनों स्विचों को एक साथ बंद (on) करने के पश्चात् जब विद्युत् धाराएं अपनी स्थायी अवस्था (steady state) में पहुँचती हैं, तब तक प्रेरकों में प्रेरित विद्युत्-वाहकबल के विरुद्ध बैटरियों द्वारा किया गया कुल कार्य _____________ $$\mathrm{mJ}$$ है ।

$$1 \mathrm{~kg}$$ जल से भरा एक पात्र सूर्य के प्रकाश में रखा है, जिसके कारण परिवेश (surroundings) की अपेक्षा यह जल अधिक गर्म हो जाता है । प्रति सेकंड प्रति क्षेत्रफल इकाई पर सूर्य-प्रकाश से मिलने वाली औसत ऊर्जा $$700 ~\mathrm{Wm}^{-2}$$ है, एवं यह ऊर्जा जल द्वारा $$0.05 \mathrm{~m}^{2}$$ के प्रभावी क्षेत्रफल में अवशोषित होती है । मान लीजिये कि जल के द्वारा परिवेश को होने वाली ऊष्मा-हानि न्यूटन के शीतलन सिद्धांत का अनुसरण करती है । तब लम्बे समय के पश्चात, जल एवं परिवेश के बीच तापमान का अंतर ____________ $${ }^{\circ} \mathrm{C}$$ होगा [पात्र के प्रभाव को नगण्य मानें, तथा न्यूटन के शीतलन सिद्धांत का नियतांक $$=0.001 \mathrm{~s}^{-1}$$, जल की ऊष्मा क्षमता (heat capacity) $$=4200 \mathrm{~J} \mathrm{~kg}^{-1} \mathrm{~K}^{-1}$$ लें ]|