माना $$\alpha$$ और $$\beta$$ वास्तविक संख्याएँ हैं जबकि $$-\frac{\pi}{4}<\beta<0<\alpha<\frac{\pi}{4}$$, यदि $$\sin (\alpha+\beta)=\frac{1}{3}$$ तथा $$\cos (\alpha-\beta)=\frac{2}{3}$$, तब $$\left(\frac{\sin \alpha}{\cos \beta}+\frac{\cos \beta}{\sin \alpha}+\frac{\cos \alpha}{\sin \beta}+\frac{\sin \beta}{\cos \alpha}\right)^{2}$$ से कम या इसके बराबर महत्तम पूर्णांक ज्ञात कीजिए।

यदि $$x > 0, y(1)=2$$ के लिए अवकल समीकरण $$x d y-\left(y^{2}-4 y\right) d x=0$$ का हल $$y(x)$$ है तथा वक्र $$y=y(x)$$ की प्रवणता कभी शून्य नहीं होती है, तब $$10 y(\sqrt{2})$$ का मान ज्ञात कीजिए।

$$ \int_{1}^{2} \log _{2}\left(x^{3}+1\right) d x+\int_{1}^{\log _{2} 9}\left(2^{x}-1\right)^{\frac{1}{3}} d x $$ से कम या इसके बराबर महत्तम पूर्णांक ज्ञात कीजिए।

समीकरण $$x^{\left(16\left(\log _{5} x\right)^{3}-68 \log _{5} x\right)}=5^{-16}$$ को संतुष्ट करने वाले $$x$$ के सभी धनात्मक वास्तविक मानों का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

यदि $$\beta=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x^{3}}-\left(1-x^{3}\right)^{\frac{1}{3}}+\left(\left(1-x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}-1\right) \sin x}{x \sin ^{2} x}$$, तब $$6 \beta$$ का मान ज्ञात कीजिए।

माना $$\beta$$ एक वास्तविक संख्या है। आव्यूह $$A=\left(\begin{array}{ccc}\beta & 0 & 1 \\ 2 & 1 & -2 \\ 3 & 1 & -2\end{array}\right)$$ पर विचार कीजिए। यदि $$A^{7}-(\beta-1) A^{6}-\beta A^{5}$$ एक अव्युत्क्रमणीय आव्यूह है, तब $$9 \beta$$ का मान ज्ञात कीजिए।

अतिपरवलय $$\frac{x^{2}}{100}-\frac{y^{2}}{64}=1$$ पर विचार कीजिए जिसकी नाभि $$S$$ व $$S_{1}$$ पर है, जहाँ $$S$$ धनात्मक $$x$$-अक्ष पर स्थित है। माना $$P$$, प्रथम चतुर्थांश में अतिपरवलय पर एक बिन्दु है। माना $$\angle S P S_{1}=\alpha$$, जहाँ $$\alpha < \frac{\pi}{2}$$ है। सरल रेखा, बिंदु $$S$$ से गुजरती है तथा इसकी प्रवणता, अतिपरवलय के बिन्दु $$P$$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता के समान है, जो सरल रेखा $$S_{1} P$$ को $$P_{1}$$ पर प्रतिच्छेद करती है। माना $$\delta$$, एक सरल रेखा $$S P_{1}$$ से $$P$$ की दूरी है, तथा $$\beta=S_{1} P$$, तब $$\frac{\beta \delta}{9} \sin \frac{\alpha}{2}$$ से कम या इसके बराबर महत्तम पूर्णांक ज्ञात कीजिए।

$f(x)=x^2+\frac{5}{12}$ तथा

$g(x)=\left\{\begin{array}{cc}2\left(1-\frac{4|x|}{3}\right) & ,|x| \leq \frac{3}{4}, \\ 0 & ,|x|>\frac{3}{4} .\end{array}\right.$

द्वारा परिभाषित फलन $f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ पर विचार कीजिए। यदि क्षेत्र

$\left\{(x, y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}:|x| \leq \frac{3}{4}, 0 \leq y \leq \min \{f(x), g(x)\}\right\}$

का क्षेत्रफल $\alpha$ है, तब $9 \alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

माना एक समतल में $$P Q R S$$ एक चतुर्भुज है, जहाँ $$Q R=1, \angle P Q R=\angle Q R S=70^{\circ}, \angle P Q S=15^{\circ}$$ तथा $$\angle P R S=40^{\circ}$$, यदि $$\angle R P S=\theta^{\circ}, P Q=\alpha$$ तथा $$P S=\beta$$, तब वह अंतराल ज्ञात कीजिए जिसमें $$4 \alpha \beta \sin \theta^{\circ}$$ का / के मान सम्मिलित है / हैं।

माना

$$\alpha=\sum\limits_{k=1}^{\infty} \sin ^{2 k}\left(\frac{\pi}{6}\right)$$

माना $$g(x)=2^{\alpha x}+2^{\alpha(1-x)}$$

द्वारा परिभाषित फलन $$g:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$$ है।

तब, निम्नलिखित में से कौनसा/कौनसे कथन सत्य है/हैं?

माना एक सम्मिश्र संख्या $$z$$ के सम्मिश्र संयुग्मी को $$\bar{z}$$ द्वारा दर्शाया जाता है। यदि $$z$$ एक अशून्य सम्मिश्र संख्या है जिसके लिए $$(\bar{z})^{2}+\frac{1}{z^{2}}$$ के वास्तविक और काल्पनिक दोनों भाग पूर्णांक हैं, तब निम्नलिखित में से $$|z|$$ के संभावित मान कौनसे है / हैं?

माना त्रिज्या $$R > 0$$ वाला एक वृत्त $$G$$ है। माना $$G_{1}, G_{2}, \ldots, G_{n}$$, समान त्रिज्या $$r > 0$$ वाले $$n$$ वृत्त हैं। माना कि $$n$$ वृत्तों $$G_{1}$$, $$G_{2}, \ldots, G_{n}$$ में से प्रत्येक वृत्त, $$G$$ को बाह्य रूप से स्पर्श करता है तथा $$i=1,2, \ldots, n-1$$ के लिए, वृत्त $$G_{i}, G_{i+1}$$ को बाह्य रूप से स्पर्श करता है, तथा $$G_{n}, G_{1}$$ को बाह्य रूप से स्पर्श करता है। तब निम्नलिखित में से कौनसा/कौनसे कथन सत्य है / हैं?

माना $$\hat{i}, \hat{j}$$ तथा $$\hat{k}$$ इकाई सदिश हैं, जो तीन धनात्मक निर्देशांक अक्षों के अनुदिश हैं। माना

$$ \begin{aligned} & \vec{a}=3 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}, \\ & \vec{b}=\hat{i}+b_{2} \hat{j}+b_{3} \hat{k}, \quad b_{2}, b_{3} \in \mathbb{R}, \\ & \vec{c}=c_{1} \hat{i}+c_{2} \hat{j}+c_{3} \hat{k}, c_{1}, c_{2}, c_{3} \in \mathbb{R} \end{aligned} $$

तीन सदिश है जबकि $$b_{2} b_{3} > 0, \vec{a} \cdot \vec{b}=0$$ तथा

$$ \left(\begin{array}{ccc} 0 & -c_{3} & c_{2} \\ c_{3} & 0 & -c_{1} \\ -c_{2} & c_{1} & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} 1 \\ b_{2} \\ b_{3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 3-c_{1} \\ 1-c_{2} \\ -1-c_{3} \end{array}\right) $$

तब, निम्नलिखित में से कौनसा/कौनसे विकल्प सत्य है/हैं?

$$x \in \mathbb{R}$$ के लिए, माना फलन $$y(x)$$ अवकल समीकरण

$$ \frac{d y}{d x}+12 y=\cos \left(\frac{\pi}{12} x\right), y(0)=0 . $$

के हल हैं। तब, निम्नलिखित कथनों में से कौनसा/कौनसे कथन सत्य है/हैं?

4 बॉक्स पर विचार कीजिए, जहाँ प्रत्येक बॉक्स में 3 लाल गेंदे तथा 2 नीली गेंदे हैं। माना कि सभी 20 गेंदे भिन्न हैं। उन तरीकों की संख्या कौनसी हो सकती हैं जिसमें इन 4 बॉक्स में से 10 गेंदो को इस प्रकार चयनित किया जाता है कि प्रत्येक बॉक्स में कम से कम एक लाल गेंद तथा एक नीली गेंद का चयन किया जा सके?

यदि $$M=\left(\begin{array}{cc}\frac{5}{2} & \frac{3}{2} \\ -\frac{3}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right)$$, तब निम्नलिखित आव्यूह में से कौनसा विकल्प $$M^{2022}$$ के बराबर है?

माना कि

बॉक्स-I में 8 लाल, 3 नीली तथा 5 हरी गेंदे हैं,

बॉक्स -II में 24 लाल, 9 नीली तथा 15 हरी गेंदे हैं,

बॉक्स -III में 1 नीली, 12 हरी तथा 3 पीली गेंदे हैं,

बॉक्स -IV में 10 हरी, 16 नारंगी तथा 6 सफेद गेंदे हैं।

बॉक्स-।; से एक गेंद को यादृच्छिक रूप से चयनित किया जाता है। इस गेंद को $$b$$ कहा गया है। यदि $$b$$ लाल है तब बॉक्स-II से यादृच्छिक रूप से एक गेंद को चयनित किया जाता है, यदि $$b$$ नीली है तब बॉक्स-III से यादृच्छिक रूप से एक गेंद को चयनित किया जाता है, तथा यदि $$b$$ हरी है तब बॉक्स-IV से यादृच्छिक रूप से एक गेंद को चयनित किया जाता है। घटना "चयनित गेंदों में से एक सफेद गेंद हैं" के घटित होने की सप्रतिबंध प्रायिकता का मान कौनसा है, दिया गया है कि घटना "चयनित गेंदों में से कम से कम एक हरी गेंद है"?

धनात्मक पूर्णांक $$n$$ के लिए, $$f(n)=n+\frac{16+5 n-3 n^{2}}{4 n+3 n^{2}}+\frac{32+n-3 n^{2}}{8 n+3 n^{2}}+\frac{48-3 n-3 n^{2}}{12 n+3 n^{2}}+\ldots+\frac{25 n-7 n^{2}}{7 n^{2}}$$ परिभाषित हैं। तब, $$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} f(n)$$ का मान है