उस क्षेत्र का क्षेत्रफल, वृत्त $(x-2 \sqrt{3})^2+y^2=12$ के अंदर और पराबोला $y^2=2 \sqrt{3} x$ के बाहर है :

एक अतिपरवलय के फोकस $(1,14)$ और $(1,-12)$ हैं। यदि यह बिंदु $(1,6)$ से होकर गुजरता है, तो इसकी लाटस-रेक्टम की लंबाई कितनी है:

यदि $z_1, z_2$ और $z_3$ तीन समिश्र संख्याएँ हैं जो $|z|=1$ पर स्थित हैं और $\arg \left(z_1\right)=\frac{-\pi}{4}, \arg \left(z_2\right)=0$ और $\arg \left(z_3\right)=\frac{\pi}{4}$ हैं। यदि $\left|z_1 \bar{z}_2+z_2 \bar{z}_3+z_3 \bar{z}_1\right|^2=\alpha+\beta \sqrt{2}, \alpha, \beta \in Z$ है, तो $\alpha^2+\beta^2$ का मान है :

मान लीजिए $\mathrm{L}_1: \frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}$ और $\mathrm{L}_2: \frac{x-2}{3}=\frac{y-4}{4}=\frac{z-5}{5}$ दो रेखाएं हैं। तो निम्नलिखित में से कौन सा बिंदु $\mathrm{L}_1$ और $\mathrm{L}_2$ के बीच की न्यूनतम दूरी की रेखा पर स्थित है?

मान लीजिए $A=\{1,2,3, \ldots, 10\}$ और $B=\left\{\frac{m}{n}: m, n \in A, m< n\right.$ और $\left.\operatorname{gcd}(m, n)=1\right\}$। तब $n(B)$ बराबर है :

मान लें कि त्रिभुज PQR वह एक त्रिभुज है जिसका प्रतिबिम्ब बिंदु $(1,3),(3,1)$ और $(2,4)$ रेखा $x+2 y=2$ पर है। यदि $\triangle \mathrm{PQR}$ का केंद्रबिंदु बिंदु $(\alpha, \beta)$ है, तो $15(\alpha-\beta)$ बराबर है :

समीकरण $\mathrm{e}^{5\left(\log _{\mathrm{e}} x\right)^2+3}=x^8, x>0$ के सभी हलों का गुणनफल है :

सभी अंग्रेजी वर्णमाला में से, पाँच अक्षर चुने जाते हैं और उन्हें वर्णमाला क्रम में व्यवस्थित किया जाता है। वह कुल संख्या जिसके द्वारा मध्य अक्षर 'M' हो, इस प्रकार है :

एक वृत्त C जिसकी त्रिज्या 2 है, दूसरे चतुर्थांश में स्थित है और दोनों निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करता है। मान लें कि r एक वृत्त की त्रिज्या है जिसका केंद्र $(2,5)$ बिंदु पर है और जो वृत्त $C$ को ठीक दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है। यदि r के सभी संभावित मानों का सेट अंतराल $(\alpha, \beta)$ है, तो $3 \beta-2 \alpha$ के बराबर है:

मान लीजिए $x=x(y)$ इस अवकल समीकरण का समाधान है $y^2 \mathrm{~d} x+\left(x-\frac{1}{y}\right) \mathrm{d} y=0$। यदि $x(1)=1$, तो $x\left(\frac{1}{2}\right)$ है :

एक सिक्का तीन बार उछाला जाता है। $X$ सिर के बाद पूंछ आने की संख्या को निरूपित करता है। यदि $\mu$ और $\sigma^2$ $X$ के माध्य और विचरण को निरूपित करते हैं, तो $64\left(\mu+\sigma^2\right)$ का मान क्या है:

मान लीजिए $f(x)$ एक वास्तविक अवकलनीय फ़ंक्शन है ऐसा कि $f(0)=1$ और $f(x+y)=f(x) f^{\prime}(y)+f^{\prime}(x) f(y)$ सभी $x, y \in \mathbf{R}$ के लिए। तब $\sum_\limits{n=1}^{100} \log _e f(n)$ बराबर है:

एक बैग से दो गेंदों को बिना प्रतिस्थापन के एक-एक करके यादृच्छिक रूप से चुना जाता है, जिसमें 4 सफेद और 6 काले गेंदें हैं। यदि यह संभावना कि पहली चुनी गई गेंद काली है, इस शर्त के तहत कि दूसरी चुनी गई गेंद भी काली है, $\frac{m}{n}$ है, जहाँ $\operatorname{gcd}(m, n)=1$ है, तो $m+n$ निम्नलिखित में से किसके बराबर है:

मान लें $a_1, a_2, a_3, \ldots$ एक वृद्धि करने वाले सकारात्मक पदों का एक जी.पी. है। यदि $a_1 a_5=28$ और $a_2+a_4=29$, तो $a_6$ का मान क्या होगा:

$f(x)=7 \tan ^8 x+7 \tan ^6 x-3 \tan ^4 x-3 \tan ^2 x$ के लिए, $\mathrm{I}_1=\int_0^{\pi / 4} f(x) \mathrm{d} x$ और $\mathrm{I}_2=\int_0^{\pi / 4} x f(x) \mathrm{d} x$। तब $7 \mathrm{I}_1+12 \mathrm{I}_2$ का मान कितना होगा:

संपूर्ण $\{1,2,3\}$ समुच्चय पर खाली न होने वाले समकक्ष संबंधों की संख्या है :

मान लीजिए पराबोला $y=x^2+\mathrm{p} x-3$, समन्वय अक्षों को बिंदुओं $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ और R पर मिलती है। यदि $(-1,-1)$ केंद्र के साथ वृत्त C बिंदुओं $P, Q$ और $R$ से गुजरती है, तो $\triangle P Q R$ का क्षेत्रफल है:

इनवर्स त्रिकोणमितीय फलनों के मूल्यों का उपयोग करते हुए, $16\left(\left(\sec ^{-1} x\right)^2+\left(\operatorname{cosec}^{-1} x\right)^2\right)$ के अधिकतम और न्यूनतम मूल्यों का योग है :

मान लें $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ एक द्वि-चरनीय फलन है जिसके लिए $f(x+y)=f(x) f(y)$ सभी $x, y \in \mathbf{R}$ के लिए सत्य है। यदि $f^{\prime}(0)=4 \mathrm{a}$ है और $f$ निम्नलिखित पूर्ण करता है $f^{\prime \prime}(x)-3 \mathrm{a} f^{\prime}(x)-f(x)=0, \mathrm{a}>0$, तो क्षेत्रफल क्षेत्र $\mathrm{R}=\{(x, y) \mid 0 \leq y \leq f(a x), 0 \leq x \leq 2\}$ का क्षेत्रफल क्या होगा :

यदि $\sum_\limits{r=1}^n T_r=\frac{(2 n-1)(2 n+1)(2 n+3)(2 n+5)}{64}$, तो $\lim _\limits{n \rightarrow \infty} \sum_\limits{r=1}^n\left(\frac{1}{T_r}\right)$ के बराबर है:

मान लें कि फलन,

$$f(x)= \begin{cases}-3 \mathrm{ax}^2-2, & x<1 \\ \mathrm{a}^2+\mathrm{b} x, & x \geqslant 1\end{cases}$$

सभी $x \in \mathbf{R}$ के लिए अवकलनीय है, जहाँ $\mathrm{a}>1, \mathrm{~b} \in \mathbf{R}$। यदि $y=f(x)$ और रेखा $y=-20$ द्वारा घेरित क्षेत्रफल $\alpha+\beta \sqrt{3}, \alpha, \beta \in Z$ है, तो $\alpha+\beta$ का मान ___________ है।

मान लें $\vec{c}$ वह प्रक्षेपण वेक्टर है $\vec{b}=\lambda \hat{i}+4 \hat{k}, \lambda>0$, वेक्टर $\vec{a}=\hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}$ पर। यदि $|\vec{a}+\vec{c}|=7$, तो वेक्टर $\vec{b}$ और $\vec{c}$ द्वारा बनाए गए समानांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल _________ है।

यदि $\sum_\limits{r=0}^5 \frac{{ }^{11} C_{2 r+1}}{2 r+2}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}, \operatorname{gcd}(\mathrm{m}, \mathrm{n})=1$, तो $\mathrm{m}-\mathrm{n}$ के बराबर है __________।

यह मान लें कि $\mathrm{L}_1: \frac{x-1}{3}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+1}{0}$ और $\mathrm{L}_2: \frac{x-2}{2}=\frac{y}{0}=\frac{z+4}{\alpha}, \alpha \in \mathbf{R}$, दो रेखाएं हैं जो बिंदु $B$ पर मिलती हैं। यदि $P$ बिंदु $A(1,1,-1)$ से $L_2$ पर लंब रेखा का पादान है, तो $26 \alpha(\mathrm{~PB})^2$ का मान _________ है।

मान लीजिए $A$ क्रम 3 का एक वर्ग मैट्रिक्स है जिससे $\operatorname{det}(A)=-2$ और $\operatorname{det}(3 \operatorname{adj}(-6 \operatorname{adj}(3 A)))=2^{m+n} \cdot 3^{m n}, m>n$। तब $4 m+2 n$ बराबर है __________।