वृत्त $$C_1: x^2+y^2-2(x+y)+1=0$$ और $$\mathrm{C_2}$$ एक वृत्त जिसका केंद्र $$(-1,0)$$ पर है और त्रिज्या 2 है। यदि $$\mathrm{C}_1$$ और $$\mathrm{C}_2$$ के सामान्य जीवा की रेखा $$\mathrm{y}$$-अक्ष पर $$\mathrm{P}$$ बिंदु पर मिलती है, तो $$\mathrm{C_1}$$ के केंद्र से P की दूरी का वर्ग है:

यदि $$f, g: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$$ को परिभाषित करें:

$$f(x)=|x-1| \text { और } g(x)= \begin{cases}\mathrm{e}^x, & x \geq 0 \\ x+1, & x \leq 0 .\end{cases}$$

तो फ़ंक्शन $$f(g(x))$$ है

माना ABCD और AEFG जिनकी भुजा क्रमशः 4 और 2 इकाइयाँ हैं, कुछ वर्ग हैं। बिंदु E रेखा खंड AB पर और बिंदु F अन्तःकर्ण AC पर है। तो वह वृत्त जिससे बिंदु F गुजरता है और जो रेखा खंड BC और CD को स्पर्श करता है, उसकी त्रिज्या r निम्न संतुष्ट करती है :

माना $$(\alpha, \beta, \gamma)$$ बिंदु $$(8,5,7)$$ की रेखा $$\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-2}{5}$$ में प्रतिबिंब है। तो $$\alpha+\beta+\gamma$$ का मान बराबर है :

माना $$S_1=\{z \in \mathbf{C}:|z| \leq 5\}, S_2=\left\{z \in \mathbf{C}: \operatorname{Im}\left(\frac{z+1-\sqrt{3} i}{1-\sqrt{3} i}\right) \geq 0\right\}$$ और $$S_3=\{z \in \mathbf{C}: \operatorname{Re}(z) \geq 0\}$$। तब क्षेत्रफल $$S_1 \cap S_2 \cap S_3$$ है :

यदि $$\left(\frac{\sqrt[5]{3}}{x}+\frac{2 x}{\sqrt[3]{5}}\right)^{12}, x \neq 0$$ के विस्तार में स्थिर पद $$\alpha \times 2^8 \times \sqrt[5]{3}$$ हो, तो $$25 \alpha$$ के बराबर है:

माना $$\vec{a}=2 \hat{i}+5 \hat{j}-\hat{k}, \vec{b}=2 \hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k}$$ और $$\vec{c}$$ तीन वेक्टर हैं जिनके लिए $$(\vec{c}+\hat{i}) \times(\vec{a}+\vec{b}+\hat{i})=\vec{a} \times(\vec{c}+\hat{i})$$. यदि $$\vec{a} \cdot \vec{c}=-29$$ हो, तो $$\vec{c} \cdot(-2 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$$ के बराबर है:

माना $$\mathrm{A}(-1,1)$$ और $$\mathrm{B}(2,3)$$ दो बिंदु हैं और $$\mathrm{P}$$ रेखा $$\mathrm{AB}$$ के ऊपर एक परिवर्ती बिंदु है ताकि $$\triangle \mathrm{PAB}$$ का क्षेत्रफल 10 हो। यदि $$\mathrm{P}$$ का स्थानांक $$\mathrm{a} x+\mathrm{by}=15$$ है, तो $$5 \mathrm{a}+2 \mathrm{~b}$$ होता है:

जिन मानों के लिए $$m, n$$, समीकरणों का सिस्टम

$$\begin{aligned} & x+y+z=4, \\ & 2 x+5 y+5 z=17, \\ & x+2 y+\mathrm{m} z=\mathrm{n} \end{aligned}$$

अनंत समाधान रखता है, वह समीकरण को संतुष्ट करते हैं :

यदि $$y(\theta)=\frac{2 \cos \theta+\cos 2 \theta}{\cos 3 \theta+4 \cos 2 \theta+5 \cos \theta+2}$$ हो, तब $$\theta=\frac{\pi}{2}, y^{\prime \prime}+y^{\prime}+y$$ के बराबर है:

यदि $$\beta(\mathrm{m}, \mathrm{n})=\int_\limits0^1 x^{\mathrm{m}-1}(1-x)^{\mathrm{n}-1} \mathrm{~d} x, \mathrm{~m}, \mathrm{n}>0$$। यदि $$\int_\limits0^1\left(1-x^{10}\right)^{20} \mathrm{~d} x=\mathrm{a} \times \beta(\mathrm{b}, \mathrm{c})$$, तो $$100(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c})$$ का मान _________ है।

माना $$f:[-1,2] \rightarrow \mathbf{R}$$ दिया गया है $$f(x)=2 x^2+x+\left[x^2\right]-[x]$$ जहाँ $$[t]$$ का अर्थ है $$t$$ से छोटा या बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक। $$f$$ के असतत बिंदुओं की संख्या है:

माना सेट $$S=\{2,4,8,16, \ldots, 512\}$$ को 3 सेटों $$A, B, C$$ में विभाजित किया गया है जिनमें समान संख्या में तत्व हैं ऐसे की $$\mathrm{A} \cup \mathrm{B} \cup \mathrm{C}=\mathrm{S}$$ और $$\mathrm{A} \cap \mathrm{B}=\mathrm{B} \cap \mathrm{C}=\mathrm{A} \cap \mathrm{C}=\phi$$। $$S$$ के इस प्रकार के विभाजन की अधिकतम संभावनाएँ हैं :

क्वाड्रेटिक समीकरण $$\mathrm{a} x^2+\mathrm{bx}+\mathrm{c}=0$$ में गुणांक $$\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$$ सेट $$\{1,2,3,4,5,6\}$$ से हैं। यदि इस समीकरण के एक वास्तविक जड़ का दूसरे से बड़ा होने की संभावना p है, तो 216p का मान है :

यदि $$\alpha \beta \neq 0$$ और $$A=\left[\begin{array}{rrr}\beta & \alpha & 3 \\ \alpha & \alpha & \beta \\ -\beta & \alpha & 2 \alpha\end{array}\right]$$। यदि $$B=\left[\begin{array}{rrr}3 \alpha & -9 & 3 \alpha \\ -\alpha & 7 & -2 \alpha \\ -2 \alpha & 5 & -2 \beta\end{array}\right]$$ $$A$$ के तत्वों के सहगुणकों का मैट्रिक्स है, तो $$\operatorname{det}(A B)$$ का मान है :

यदि $$x \geqslant 0$$ है, तो सबसे छोटा मान $$\mathrm{K}$$ जिसके लिए $$4^{1+x}+4^{1-x}, \frac{\mathrm{K}}{2}, 16^x+16^{-x}$$ एक सांख्यिकीय श्रृंखला (A.P.) के तीन क्रमागत पद होते हैं, बराबर है :

वक्र $$y=x|x|$$ और $$y=x-|x|$$ के बीच में संलग्न क्षेत्रफल है :

$$\mathrm{BHBJO}$$ शब्द के सभी अक्षरों का उपयोग करके 60 शब्द बनाए जा सकते हैं, चाहे वे सार्थक हों या नहीं। यदि ये शब्द एक शब्दकोश में लिखे गए हैं, तो $$50^{\text {वां }}$$ शब्द होगा:

तीन वेक्टर $$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$$ पर विचार करें। यदि $$|\vec{a}|=2,|\vec{b}|=3$$ और $$\vec{a}=\vec{b} \times \vec{c}$$ है। यदि $$\alpha \in\left[0, \frac{\pi}{3}\right]$$ वेक्टर $$\vec{b}$$ और $$\vec{c}$$ के बीच का कोण है, तो $$27|\vec{c}-\vec{a}|^2$$ का न्यूनतम मान है:

मूल के माध्यम से गुजरने वाले और केंद्र के रेखा $$y=x$$ पर होने वाले परिवार के वृत्तों की अवकलन समीकरण है :

माना $$y=y(x)$$, यह समीकरण का समाधान हो

$$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+\frac{2 x}{\left(1+x^2\right)^2} y=x \mathrm{e}^{\frac{1}{\left(1+x^2\right)}} ; y(0)=0.$$

तब वक्र $$f(x)=y(x) \mathrm{e}^{-\frac{1}{\left(1+x^2\right)}}$$ और रेखा $$y-x=4$$ द्वारा घेरी गई क्षेत्रफल ________ है।

माना संभाव्यता वितरण की औसत और मानक विचलन

$$\mathrm{X}$$	$$\alpha$$	1	0	$$-$$3
$$\mathrm{P(X)}$$	$$\frac{1}{3}$$	$$\mathrm{K}$$	$$\frac{1}{6}$$	$$\frac{1}{4}$$

$$\mu$$ और $$\sigma$$ उत्तर करम्पू माना जाता है। यदि $$\sigma-\mu=2$$, तब $$\sigma+\mu$$ का मान ________ है।

माना $$\left(\sqrt{8 x-x^2-12}-4\right)^2+(x-7)^2, x \in \mathbf{R}$$ के अधिकतम और न्यूनतम मान $$\mathrm{M}$$ और $$\mathrm{m}$$ हो, क्रमश। तब $$\mathrm{M}^2-\mathrm{m}^2$$ का मान _________ है।

माना बिंदु $$(-1, \alpha, \beta)$$ उन रेखाओं के बीच की सबसे छोटी दूरी पर पड़ता हो जिनकी समीकरण है $$\frac{x+2}{-3}=\frac{y-2}{4}=\frac{z-5}{2}$$ और $$\frac{x+2}{-1}=\frac{y+6}{2}=\frac{z-1}{0}$$. तो $$(\alpha-\beta)^2$$ का मान _________ है।

यदि $$1+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2 \sqrt{3}}+\frac{5-2 \sqrt{6}}{18}+\frac{9 \sqrt{3}-11 \sqrt{2}}{36 \sqrt{3}}+\frac{49-20 \sqrt{6}}{180}+\ldots$$ अनंत तक का मान $$2+\left(\sqrt{\frac{b}{a}}+1\right) \log _e\left(\frac{a}{b}\right)$$ हो, जहां a और b पूर्णांक हैं जिनका $$\operatorname{gcd}(a, b)=1$$, तो $$\mathrm{11 a+18 b}$$ का मान __________ है।

यदि $$\mathrm{a}>0$$ समीकरण $$2 x^2+x-2=0$$ का एक मूल हो। यदि $$\lim _\limits{x \rightarrow \frac{1}{a}} \frac{16\left(1-\cos \left(2+x-2 x^2\right)\right)}{(1-a x)^2}=\alpha+\beta \sqrt{17}$$, जहां $$\alpha, \beta \in Z$$, तो $$\alpha+\beta$$ का मान _________ है।

यदि $$f(t)=\int_\limits0^\pi \frac{2 x \mathrm{~d} x}{1-\cos ^2 \mathrm{t} \sin ^2 x}, 0<\mathrm{t}<\pi$$, तो $$\int_\limits0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\pi^2 \mathrm{dt}}{f(\mathrm{t})}$$ का मान __________ है।

समीकरण $$x|x+5|+2|x+7|-2=0$$ के वास्तविक हलों की संख्या __________ है।

$$\sin ^2 x+\left(2+2 x-x^2\right) \sin x-3(x-1)^2=0$$ के हल की संख्या, जहां $$-\pi \leq x \leq \pi$$, __________ है।

एक रेखा जो रेखा $$2 x-y=10$$ के लंबवत है और वह परबोला $$y^2=4(x-9)$$ को बिंदु P पर स्पर्श करती है। बिंदु P की दूरी, वृत्त $$x^2+y^2-14 x-8 y+56=0$$ के केंद्र से __________ है।