21 सर्वसम सेव को तीन बच्चों में बाँटने के तरीकों, जब की प्रत्येक बच्चे को कम से कम दो सेव मिलें, की संख्या है।

एक पासा इस प्रकार अभिनत है कि चित के आने की संभावना, पट के आने की संभावना की दो गुनी है। यदि इस सिक्के को 3 बार उछाला जाता है, तो दो पट और एक चित आने की प्रायिकता है।

माना एक $$3 \times 3$$ वास्तविक आव्यूह $$A$$ केलिए $$A\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right), A\left(\begin{array}{l}-1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)=4\left(\begin{array}{l}-1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right), A\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)$$ हैं। तो निकाय $$(A-3 I)\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right)$$

माना बिंदु $$(2,3,5)$$ का रेखा $$\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}$$ में दर्पण प्रतिबिंब $$(\alpha, \beta, \gamma)$$ है। तो $$2 \alpha+3 \beta+4 \gamma$$ बराबर है।

यदि $$a=\sin ^{-1}(\sin (5))$$ तथा $$b=\cos ^{-1}(\cos (5))$$, तो $$a^2+b^2$$ बराबर है।

माना एक परवलय $$P$$ का शीर्ष $$(2,3)$$ है तथा नियता $$2 x+y=6$$ है। माना $$\frac{1}{\sqrt{2}}$$ उत्केन्द्रता का एक दीर्धवृत्त $$E: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b$$, परवलय $$P$$ की नाभि से होकर जाता है। तो $$E$$ की नाभिलंब जीवा की लंबाई का वर्ग बराबर है।

समीकरण $$e^{\sin x}-2 e^{-\sin x}=2$$ के हलों की संख्या है।

यदि रेखा $$L_1: \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-3}=\frac{z+4}{2}$$ है तथा बिंदुओं $$\mathrm{A}(-4,4,3), \mathrm{B}(-1,6,3)$$ से होकर जाने वाली और रेखा $$\frac{x-3}{-2}=\frac{y}{3}=\frac{z-1}{1}$$ के लंबवत रेखा $$L_2$$ है, तो $$L_1$$ तथा $$L_2$$ के बीच न्यूनतम दूरी है।

परवलयों $$y=4 x-x^2$$ तथा $$3 y=(x-4)^2$$ से धिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है।

माना $$f(x)=\int_{-x}^x\left(|t|-t^2\right) e^{-t^2} d t$$ तथा $$g(x)=\int_0^{x^2} t^{1 / 2} e^{-t} d t$$ द्वारा परिभाषित दो फलन $$f, g:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$$ हैं। तो $$9\left(f\left(\sqrt{\log _e 9}\right)+g\left(\sqrt{\log _e 9}\right)\right)$$ का मान बराबर है।

माना $$f: \rightarrow \mathbb{R} \rightarrow(0, \infty)$$ निरंतर वर्धमान फलन है तथा $$\lim _\limits{x \rightarrow \infty} \frac{f(7 x)}{f(x)}=1$$ है। तो $$\lim _\limits{x \rightarrow \infty}\left[\frac{f(5 x)}{f(x)}-1\right]$$ का मान बराबर है।

एक वस्तु का तापमान $$T(t)$$, समय $$t=0$$ पर $$160^{\circ} \mathrm{F}$$ है तथा यह अवकल समीकरण $$\frac{d T}{d t}=-K(T-80)$$ के अनुसार लगातार कम हो रहा है, जहाँ $$K$$ धनात्मक अचर है। यदि $$T(15)=120^{\circ} \mathrm{F}$$ है, तो $$T(45)$$ बराबर है।

यदि $$f(x)=e^{x^3-3 x+1}$$ द्वारा परिभाषित फलन $$f:(-\infty,-1] \rightarrow(a, b]$$ एकेकी तथा आच्छादी है, तो रेखा $$x+e^{-3} y=4$$ से बिंदु $$P(2 b+4, a+2)$$ की दूरी है।

माना एक भिन्न पदों की A. P. का दूसरा, आठवाँ तथा चवालिसवाँ पद, एक G. P. के क्रमशः पहला , दूसरा तथा तीसरा पद हैं। यदि A. P. का प्रथम पद 1 है, तो इसके प्रथम 20 पदों का योग है।

माना दो साम्मिश्र संख्याओं $$z_1$$ तथा $$z_2$$ के लिए $$z_1+z_2=5$$ तथा $$z_1^3+z_2^3=20+15 i$$ हैं। तो $$\left|z_1^4+z_2^4\right|$$ बराबर है।

यदि किसी $$m, n$$ के लिए $${ }^6 C_m+2\left({ }^6 C_{m+1}\right)+{ }^6 C_{m+2}>{ }^8 C_3$$ तथा $${ }^{n-1} P_3:{ }^n P_4=1: 8$$ हैं, तो $${ }^n P_{m+1}+{ }^{\mathrm{n}+1} C_m$$ बराबर है।

$$f(x)=e^{-\left|\log _e x\right|}$$ द्वारा परिभाषित फलन $$f:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$$ का विचार की जिए। यदि उन बिंदुओं की संख्या. जहां $$f$$ संतत नहीं हे तथा अवकलनीय नहीं हैं क्रमशः $$m$$ तथा $$n$$ है, तो $$m+n$$ बराबर है।

माना वृत्त $$x^2+y^2-16 x-4 y=0$$ के केन्द्र से होकर जाने वाली एक चर रेखा धनात्मक निर्देशांक अक्षों को बिंदुओं $$A$$ तथा $$B$$ पर मिलती है। तो $$O A+O B$$, जहाँ $$O$$ मूलबिंदु है, का न्यूनतम मान है।

माना $$A(a, b), B(3,4)$$ तथा $$C(-6,-8)$$ एक त्रिभुज के केन्द्रक, परिकेन्द्र तथा लंबकेन्द्र है। तो बिंदु $$P(2 a+3,7 b+5)$$ की रेखा $$2 x+3 y-4=0$$ से, रेखा $$x-2 y-1=0$$ के समांतर नापी गई दूरी है।

माना $$6$$ प्रेक्षणों $$a, b, 68,44,48,60$$ के माध्य तथा प्रसरण क्रमशः $$55$$ तथा $$194$$ हैं। यदि $$a>b$$ है। तो $$a+3 b$$ बराबर है।

माना $$\vec{a}=3 \hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}, \vec{b}=2 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}$$ तथा सदिश $$\vec{c}$$ इस प्रकार हैं कि $$(\vec{a}+\vec{b}) \times \vec{c}=2(\vec{a} \times \vec{b})+24 \hat{j}-6 \hat{k}$$ तथा $$(\vec{a}-\vec{b}+\hat{i}) \cdot \vec{c}=-3$$ हैं। तो $$|\vec{c}|^2$$ बराबर _________ है ।

माना अवकल समीकरण $$\sec ^2 x d x+\left(e^{2 y} \tan ^2 x+\tan x\right) d y=0,0< x<\frac{\pi}{2}, y(\pi / 4)=0$$ का हल $$y=y(x)$$ है। यदि $$y(\pi / 6)=\alpha$$ है, तो $$e^{8 \alpha}$$ बराबर है _________ |

$$\left|\frac{120}{\pi^3} \int_\limits0^\pi \frac{x^2 \sin x \cos x}{\sin ^4 x+\cos ^4 x} d x\right|$$ बराबर है __________ |

माना एक समांतर चतुर्भुज $$A B C D$$ के शीर्ष $$A(-2,-1), B(1,0), C(\alpha, \beta)$$ तथा $$D(\gamma, \delta)$$ हैं। यदि बिंदु $$C$$, रेखा $$2 x-y=5$$ पर है तथा बिंदु $$D$$, रेखा $$3 x-2 y=6$$ पर है, तो $$|\alpha+\beta+\gamma+\delta|$$ का मान बराबर है __________ |

माना एक त्रिभूज की तीन भुजाओं की लंबाईयाँ $$a, b, c$$ हैं, जो $$\left(a^2+b^2\right) x^2-2 b(a+c) x+\left(b^2+c^2\right)=0$$ के संतुष्ट करती हैं। यदि $$x$$ के सभी संभव मानों का समुच्चय, अंतराल $$(\alpha, \beta)$$ हे, तो $$12\left(\alpha^2+\beta^2\right)$$ बराबर है _________ |

यदि $$\lim _\limits{x \rightarrow 0} \frac{a x^2 e^x-b \log _e(1+x)+c x e^{-x}}{x^2 \sin x}=1$$ है, तो $$16\left(a^2+b^2+c^2\right)$$ बराबर है ________ |

माना $$A=\{1,2,3, \ldots \ldots \ldots . ., 100\}$$ है। माना $$\mathrm{A}$$ पर, $$(x, y) \in R$$ यदि और केवल यदि $$2 x=3 y$$ है, द्वारा परिभाषित एक संबंघ $$R$$ है। माना $$A$$ पर एक सममित संबंध $$R_1$$ है, जिससे लिए $$R \subset R_1$$ है तथा $$R_1$$ में अवयवों की संख्या $$\mathrm{n}$$ है। तो $$\mathrm{n}$$ का न्यूनतम मान है _________ |

माना $$(x+3)^{n-1}+(x+3)^{n-2}(x+2)+(x+3)^{n-3}(x+2)^2+\ldots \ldots \ldots+(x+2)^{n-1}$$ के प्रसार में $$\mathrm{x}^{\mathrm{r}}$$ का गुणांक $$\alpha_r$$ हे। यदि $$\sum_\limits{r=0}^n \alpha_r=\beta^n-\gamma^n, \beta, \gamma \in \mathbb{N}$$ है, तो $$\beta^2+\gamma^2$$ बराबर है _________ |

माना $$\mathrm{A}$$ एक $$3 \times 3$$ का आव्यूह है तथा $$\operatorname{det}(A)=2$$ है। यदि $$n=\operatorname{det}(\underbrace{\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(\ldots \ldots .(\operatorname{adj} A)}_{\text {2024-times }})))$$ है, तो $$n$$ को $$9$$ से विभाजित करने पर शेषफल है _________ |

एक रेखा, बिंदुओं $$A(4,-6,-2)$$ तथा $$B(16,-2,4)$$ से होकर जाती है। रेखा $$A B$$ पर बिंदु $$P(a, b, c)$$, जहाँ $$a, b, c$$ ऋणोत्तर पूर्णांक हैं, बिंदु $$A$$ से $$21$$ इकाई की दूरी पर है। बिंदुओं $$P(a, b, c)$$ तथा $$Q(4,-12,3)$$ के बीच दूरी है _________ |