यदि $$\left(a x^2+\frac{1}{2 b x}\right)^{11}$$ में $$x^7$$ तथा $$\left(a x-\frac{1}{3 b x^2}\right)^{11}$$ में $$x^{-7}$$ के गुणांक बराबर हैं, तो :

वक्रों $$y=|x-1|+|x-2|$$ तथा $$y=3$$ से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल है :

PUBLIC शब्द के सभी अक्षरों को सभी संभव क्रम में लिखा जाता है तथा इन शब्दों को शब्दकोष के अनुसार क्रम संख्या के साथ लिखा जाता है। तो शब्द PUBLIC की क्रम संख्या है:

माना $$a \neq b$$ दो शून्येत्तर वास्तविक संख्याएँ है। तो समुच्चय $$X=\left\{z \in \mathbb{C}: \operatorname{Re}\left(a z^2+b z\right)=a\right.$$ तथा $$\left.\operatorname{Re}\left(b z^2+a z\right)=b\right\}$$ में अवयवों की संख्या है

माना $$P$$ एक वर्ग आव्यूह है जिसके लिए $$P^2=I-P$$ है। $$\alpha, \beta, \gamma, \delta \in \mathbb{N}$$, के लिए यदि $$P^\alpha+P^\beta=\gamma I-29 P$$ तथा $$P^\alpha-P^\beta=\delta I-13 P$$ हैं, तो $$\alpha+\beta+\gamma-\delta$$ बराबर है:

कथनों:

(S1) : $$2023^{2022}-1999^{2022}, 8$$ से विभाज्य है

(S2) : $$13(13)^n-11 n-13$$ अनंत $$n \in \mathbb{N}$$ के लिए $$144$$ से विभाज्य है

में से

यदि अवकल समीकरण

$$\left(1+\log _e x\right) \frac{d x}{d y}-x \log _e x=e^y, x>0$$,

का हल वक्र $$f(x, y)=0$$ बिंदुओं $$(1,0)$$ तथा $$(\alpha, 2)$$ से होकर जाता है, तो $$\alpha^\alpha$$ बराबर है :

माना एक फलन $$f(x)$$ के लिए $$f(x)+f(\pi-x)=\pi^2, \forall x \in \mathbb{R}$$ है। तो $$\int_\limits0^\pi f(x) \sin x d x$$ बराबर है :

$$\lim _\limits{n \rightarrow \infty}\left\{\left(2^{\frac{1}{2}}-2^{\frac{1}{3}}\right)\left(2^{\frac{1}{2}}-2^{\frac{1}{5}}\right) \ldots . .\left(2^{\frac{1}{2}}-2^{\frac{1}{2 n+1}}\right)\right\}$$ बराबर है:

100 व्यक्तियों के एक समूह में 75 अंग्रेजी बोलते हैं तथा 40 हिंदी बोलते हैं। प्रत्येक व्यक्ति इन दो भाषाओं में से कम से कम एक बोलता है। यदि केवल अंग्रेजी बोलने वाले व्यक्तियों की संख्या $$\alpha$$ तथा केवल हिंदी बोलने वाले व्यक्तियों की संख्या $$\beta$$ है, तो दीर्घवृत्त $$25\left(\beta^2 x^2+\alpha^2 y^2\right)=\alpha^2 \beta^2$$ की उत्केन्द्रता है

तीन पासे फेंके जाते हैं। यदि तीनों पासों पर भित्र संख्याएँ प्राप्त करने की प्रायिकता $$\frac{p}{q}$$ है, जहाँ $$p$$ तथा $$q$$ असहभाज्य हैं, तो $$q-p$$ बराबर है:

समीकरण निकाय

$$\begin{aligned} & x+y+z=6 \\ & x+2 y+\alpha z=10 \end{aligned}$$

$$x+3 y+5 z=\beta$$, के लिए निम्न में से कौन सा सत्य नहीं है?

माना फलन $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{\lceil x\rceil-x}}$$, जहाँ $$\lceil x\rceil$$ न्यूनतम पूर्णांक $$\geq x$$ है, के प्रांत तथा परिसर क्रमशः समुच्चय $$A$$ तथा $$B$$ है। तो कथनों

(S1) : $$A \cap B=(1, \infty)-\mathbb{N}$$ तथा

(S2) : $$A \cup B=(1, \infty)$$

में

यदि बारंबारता बंटन

$$x_i$$	2	4	6	8	10	12	14	16
$$f_i$$	4	4	$$\alpha$$	15	8	$$\beta$$	4	5

के माध्य तथा प्रसरण क्रमशः 9 तथा 15.08 हैं, तो $$\alpha^2+\beta^2-\alpha \beta$$ का मान है ____________.

माना एक दीर्घवृत्त $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$ की उत्केन्द्रता, अतिपरवलप $$2 x^2-2 y^2=1$$ की उत्केन्द्रता की व्युत्क्रम (reciprocal) है। यदि दीर्घवृत्त, अतिपरवलय को लंबवत काटता है, तो दीर्घवृत्त की नाभिलंब जीवा की लंबाई का वर्ग है _______________.

बिना पुनरावृत्ति के UNIVERSE शब्द के अक्षरों से बनाए जा सकने वाले 4 अक्षरों, जिनमें 2 स्वर तथा 2 व्यंजक हों, के अर्थपूर्ण या अर्थहीन शब्दों की संख्या है ____________.

$$\tan 9^{\circ}-\tan 27^{\circ}-\tan 63^{\circ}+\tan 81^{\circ}$$ का मान है ____________.

$$\alpha, \beta, z \in \mathbb{C}$$ तथा $$\lambda>1$$ के लिए, यदि वृत्त $$|z-\alpha|^2+|z-\beta|^2=2 \lambda$$ की त्रिज्या $$\sqrt{\lambda-1}$$ है, तो $$|\alpha-\beta|$$ बराबर है _____________.

यदि रेखाएँ $$\frac{x-1}{2}=\frac{2-y}{-3}=\frac{z-3}{\alpha}$$ तथा $$\frac{x-4}{5}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{\beta}$$ एक दूसरे को काटती हैं, तो $$8 \alpha \beta$$ के न्यूनतम मान का परिमाण है ____________.

यदि $$(20)^{19}+2(21)(20)^{18}+3(21)^2(20)^{17}+\ldots+20(21)^{19}=k(20)^{19}$$ है, तो $$k$$ बराबर है ____________.

उन बिंदुओं, जहाँ वक्र $$y=x^5-20 x^3+50 x+2, x$$-अक्ष को काटता है, की संख्या है _____________.