सदिश $$\vec{a}=-\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$$ को $$\mathrm{y}$$-अक्ष से होकर ले जाते हुए एक समकोण तक घुमाया जाता है और इसके परिणामस्वरूप सदिश $$\vec{b}$$ प्राप्त होता है । तो $$3 \vec{a}+\sqrt{2} \vec{b}$$ का सदिश $$\vec{c}=5 \hat{i}+4 \hat{j}+3 \hat{k}$$ पर प्रक्षेप है

फलन $$f(x)=\int_\limits{0}^{2} e^{|x-t|} d t$$ का निम्नतम मान है :

माना फलन $$f(x)=2 x^{4}-a x^{2}+8 x+12, x \in(-4,4)$$ का एक स्थानीय निम्नतम $$x=2$$ पर है। यदि $$(-4,4)$$ में फलन $$f$$ का स्थानीय उच्चतम मान $$M$$ है, तो $$M=$$

छात्रों द्वारा एक परीक्षा में प्राप्त अंकों के माध्य तथा प्रसरण क्रमशः 10 तथा 4 हैं । बाद में एक छात्र के अंक 8 से बढ़ाकर 12 किए जाते हैं। यदि अंकों का नया माध्य 10.2 है, तो उनका नया प्रसरण है :

$$\lim _\limits{n \rightarrow \infty} \frac{1+2-3+4+5-6+\ldots \ldots+(3 n-2)+(3 n-1)-3 n}{\sqrt{2 n^{4}+4 n+3-\sqrt{n^{4}+5 n+4}}}$$ का मान है

माना $$66$$ योगफल के दो धनात्मक पूर्णांकों का अधिकतम गुणनफल $$\mathrm{M}$$ है । माना प्रतिदर्श समष्टि $$\mathrm{S}=\left\{x \in \mathbb{Z}: x(66-x) \geq \frac{5}{9} M\right\}$$ तथा घटना $$\mathrm{A}=\{x \in \mathrm{S}: x, 3$$ का एक गुणज है $$\}$$ हैं। तो $$\mathrm{P}(\mathrm{A})$$ बराबर है

माना $$f(x)=\int \frac{2 x}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+3\right)} d x$$ है । यदि $$f(3)=\frac{1}{2}\left(\log _{e} 5-\log _{e} 6\right)$$ तो $$f(4)$$ बराबर है

बिंदु $$(-3,2,3)$$ से होकर जाने वाली तथा दिक् अनुपात $$3,3,-1$$ की एक रेखा के समांतर रेखा से बिंदु $$\mathrm{P}(4,6,-2)$$ की दूरी है

माना $$\mathrm{y}(x)=(1+x)\left(1+x^{2}\right)\left(1+x^{4}\right)\left(1+x^{8}\right)\left(1+x^{16}\right)$$ है । तो $$x=-1$$ पर $$y'-y''$$ बराबर है :

निम्न रेखाओं $$\mathrm{L}_{1}$$ तथा $$\mathrm{L}_{2}$$ का विचार कीजिए।

$$ \begin{aligned} & \mathrm{L}_{1}: \frac{x-1}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z-2}{2} \\ & \mathrm{~L}_{2}: \frac{x-2}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{3} \end{aligned} $$

दिक् अनुपात $$1,-1,-2$$ की एक रेखा $$L_{3}$$ रेखाओं $$L_{1}$$ तथा $$L_{2}$$ को क्रमश: बिंदुओं $$P$$ तथा $$\mathrm{Q}$$ पर काटती है। तो रेखाखंड $$P Q$$ की लंबाई है

रेखा $$a x+b y=0,(a \neq b)$$ तथा वृत्त $$x^{2}+y^{2}-2 x=0$$ के प्रतिच्छेदन बिंदु $$\mathrm{A}(\alpha, 0)$$ तथा $$\mathrm{B}(1, \beta)$$ हैं । वृत्त, जिसका एक व्यास $$\mathrm{AB}$$ है, का रेखा $$x+y+2=0$$ में प्रतिबिंब है :

माना $$z_{1}=2+3 \mathrm{i}$$ तथा $$z_{2}=3+4 \mathrm{i}$$ हैं । तो समुच्चय $$S=\left\{z \in C:\left|z-z_{1}\right|^{2}-\left|z-z_{2}\right|^{2}=\left|z_{1}-z_{2}\right|^{2}\right\}$$ किस को निरूपित करता है?

माना सभी $$a \in \mathbb{R}-\{0\}$$, जिनके लिए रैखिक समीकरण निकाय

$$a x+2 a y-3 a z=1$$

$$(2 a+1) x+(2 a+3) y+(a+1) z=2$$

$$(3 a+5) x+(a+5) y+(a+2) z=3$$

का केवल एक हल है तथा अनंत हल हैं, के समुच्चय क्रमशः $$\mathrm{S}_{1}$$ तथा $$\mathrm{S}_{2}$$ हैं । तो

माना अवकल समीकरण $$\frac{d y}{d x}=\frac{y}{x}\left(1+x y^{2}\left(1+\log _{e} x\right)\right), x > 0, y(1)=3$$ का हल $$y=y(x)$$ है । तो $$\frac{y^{2}(x)}{9}$$ बराबर है :

माना $$f:(0,1) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{1}{1-e^{-x}}$$ द्वारा परिभाषित है तथा $$\mathrm{g}(x)=(\mathrm{f}(-x)-\mathrm{f}(x))$$ है। दो कथनों का विचार कीजिए।

(I) $$(0,1)$$ में $$\mathrm{g}$$ एक वर्धमान फलन हे

(II) $$(0,1)$$ में $$g$$ एकेकी है

तो,

$$\left(2 x+\frac{1}{x^7}+3 x^2\right)^5$$ के प्रसार में अचर पद है ____________

माना $$\mathrm{S}=\{1,2,3,5,7,10,11\}$$ है । $$\mathrm{S}$$ के अरिक्त उपसमुच्चयों, जिनके सभी अवयवों का योग $$3$$ का एक गुणज है, की संख्या है ___________.

यदि किसी $$a \neq 0$$ के लिए $$\int_{0}^{1} f(\lambda x) d \lambda=a f(x), x > 0, f(1)=1$$ तथा $$f(16)=\frac{1}{8}$$ हैं, तो $$16-f^{\prime}\left(\frac{1}{16}\right)$$ बराबर है ____________.

किसी $$a, \mathrm{~b}, \mathrm{c} \in \mathbb{N}$$ के लिए, माना $$f(x)=a x-3$$ तथा $$\mathrm{g}(x)=x^{\mathrm{b}}+\mathrm{c}, x \in \mathbb{R}$$. हैं । यदि $$(f \circ g)^{-1}(x)=\left(\frac{x-7}{2}\right)^{1 / 3}$$ है, तो $$(f \circ g)(a \mathrm{c})+(g \circ f)(\mathrm{b})$$ बराबर _____________ है ।

माना $$S=\left\{\alpha: \log _{2}\left(9^{2 \alpha-4}+13\right)-\log _{2}\left(\frac{5}{2} \cdot 3^{2 \alpha-4}+1\right)=2\right\}$$ है । तो $$\beta$$ का अधिकतम मान, जिसके लिए समीकरण $$x^{2}-2\left(\sum_\limits{\alpha \in S} \alpha\right)^{2} x+\sum_\limits{\alpha \in S}(\alpha+1)^{2} \beta=0$$ के वास्तविक मूल हैं, ____________ है ।

माना $$\mathrm{A}_{1}, \mathrm{~A}_{2}, \mathrm{~A}_{3}$$ तीन A.P. हैं, जिनका सार्वअंतर $$\mathrm{d}$$ है तथा जिनके पहले पद क्रमशः $$\mathrm{A}, \mathrm{A}+1, \mathrm{~A}+2$$, हैं । माना $$\mathrm{A}_{1}, \mathrm{~A}_{2}, \mathrm{~A}_{3}$$, के 7 वाँ, 9 वाँ, 17 वाँ पद क्रमशः $$a, b, c$$ हैं तथा $$\left|\begin{array}{ccc}a & 7 & 1 \\ 2 b & 17 & 1 \\ c & 17 & 1\end{array}\right|+70=0$$ है । यदि $$a=29$$ है, तो उस AP जिसका पहला पद $$\mathrm{c}-\mathrm{a}-\mathrm{b}$$ है तथा सार्वअंतर $$\frac{d}{12}$$ है, के प्रथम 20 पदों का योग बराबर ____________ है

यदि परवलयों $$\mathrm{P}_{1}: 2 \mathrm{y}=5 \mathrm{x}^{2}$$ तथा $$\mathrm{P}_{2}: x^{2}-\mathrm{y}+6=0$$ से धिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल, परवलय $$\mathrm{P}_{1}$$ तथा $$\mathrm{y}=\alpha x, \alpha > 0$$ से घिरे क्षेत्र के क्षेत्रफल के बराबर है, तो $$\alpha^{3}$$ बराबर है _____________.

यदि $$\tan ^{-1}\left(\frac{2 x}{1-x^{2}}\right)+\cot ^{-1}\left(\frac{1-x^{2}}{2 x}\right)=\frac{\pi}{3},-1 < x < 1, x \neq 0$$, के सभी हलों का योग $$\alpha-\frac{4}{\sqrt{3}}$$ है, तो $$\alpha$$ बराबर _____________ है ।