माना रेखाओं $$x=0, x=2, y=0$$ तथा $$y=5$$ द्वारा निर्मित आयत $$\mathrm{R}$$ है । माना $$\mathrm{A}(\alpha, 0)$$ तथा $$\mathrm{B}(0, \beta), \alpha \in[0,2], \beta \in[0,5]$$ इस प्रकार हैं कि रेखाखंड $$\mathrm{AB}$$ आयत $$\mathrm{R}$$ के क्षेत्रफल को $$4: 1$$ के अनुपात में बाँटती है । तो $$\mathrm{AB}$$ का मध्य बिंदु एक

माना $$S=\left\{M=\left[a_{i j}\right], a_{i j} \in\{0,1,2\}, 1 \leq i, j \leq 2\right\}$$ एक प्रतिदर्श समष्टि है तथा $$A=\{M \in S: M$$ व्युत्क्रमणीय है $$\}$$, एक घटना है । तो $$P(A)$$ बराबर है

माना $$x_1, x_2 \ldots, x_{100}$$ एक समांतर श्रेणी में हैं, जिनका माध्य 200 है तथा $$x_1=2$$ है । यदि $$y_i=i\left(x_i-i\right), 1 \leq i \leq 100$$ हैं, तो $$y_1, y_2, \ldots, y_{100}$$ का माध्य है

माना $$z_1=5+4 i$$ को मूल बिंदु के सापेक्ष घड़ी की विपरीत दिशा में एक समकोण तक घुमाने पर बिंदु $$w_1$$ प्राप्त होता है तथा $$z_2=3+5 i$$ को मूलबिंदु के सापेक्ष घड़ी की दिशा में एक समकोण तक घुमाने पर बिंदु $$w_2$$ प्राप्त होता है । तो $$w_1-w_2$$ का मुख्य आयाम बराबर है

माना अवकल समीकरण

$$\left(1-x^2 y^2\right) d x=y d x+x d y$$

का हल वक्र $$y=y(x)$$ हे । यदि रेखा $$x=1$$, वक्र $$y=y(x)$$ को $$y=2$$ पर काटती है तथा रेखा $$x=2$$, वक्र $$y=y(x)$$ को $$y=\alpha$$ पर काटती है, तो $$\alpha$$ का एक मान है

समाकलन $$\int_\limits{-\log _e 2}^{\log _e^2} e^x\left(\log _e\left(e^x+\sqrt{1+e^{2 x}}\right)\right) d x$$ का मान बराबर है

माना समुच्चय $$\mathrm{A}$$ में 5 अवयव है तथा समुच्चय $$\mathrm{B}$$ में भी 5 अवयव हैं। माना समुच्चयों $$\mathrm{A}$$ तथा $$\mathrm{B}$$ के अवयवों के माथ्य क्रमश: 5 तथा 8 है और समुच्चयों $$\mathrm{A}$$ तथा $$\mathrm{B}$$ के अवयवों के प्रसरण क्रमश: 12 तथा 20 है। $$\mathrm{A}$$ के प्रत्येक अवयव में से 3 घटा कर तथा B के प्रत्येक अवयव में 2 जोड़ कर 10 अवयवों का एक नया समुच्चय $$\mathrm{C}$$ बनाया जाता है। तो $$\mathrm{C}$$ के अवयवों के माथ्य तथा प्रसरण का योग है :

किसी भी सदिश $$\vec{a}=a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k},, 10\left|a_i\right|<1, i=1,2,3$$ के लिए निम्न कथनों का विचार कीजिए:

(A) : $$\max \left\{\left|a_1\right|,\left|a_2\right|,\left|a_3\right|\right\} \leq|\vec{a}|$$ है

(B) : $$|\vec{a}| \leq 3 \max \left\{\left|a_1\right|,\left|a_2\right|,\left|a_3\right|\right\}$$ है

तो

माना $$\mathrm{A}$$ वास्तविक अवयवों का एक $$2 \times 2$$ आव्यूह है जिसके लिए $$\mathrm{A}^{\prime}=\alpha \mathrm{A}+\mathrm{I}$$ है, $$\alpha \in \mathbb{R}-\{-1,1\}$$ है । यदि $$\operatorname{det}(\mathrm{A}^2-\mathrm{A})=4$$ हे, तो $$\alpha$$ के सभी संभव मानों का योग बराबर है

माना $$f(x)=\left[x^2-x\right]+|-x+[x]|$$ है, जहाँ $$x \in \mathbb{R}$$ है तथा $$[t]$$ महत्तम पूर्णांक $$\leq t$$ है । तो $$f$$

दीर्घवृत्तों $$\mathrm{E}_k: k x^2+k^2 y^2=1, k=1,2, \ldots, 20$$ का विचार कीजिए । माना $$\mathrm{C}_k$$ वह वृत्त है, जो दीर्घवृत $$\mathrm{E}_k$$ के अन्त्य बिंदुओं (एक लघु अक्ष पर तथा दूसरा दीर्ध अक्ष पर) को मिलाने वाली चार जीवाओं को स्पर्श करता है । यदि वृत्त $$\mathrm{C}_k$$ की त्रिज्या $$\mathrm{r}_k$$ है, तो $$\sum_\limits{k=1}^{20} \frac{1}{r_k^2}$$ का मान है:

क्षेत्र $$\left\{(x, \mathrm{y}): x^2+(\mathrm{y}-2)^2 \leq 4, x^2 \geq 2 \mathrm{y}\right\}$$ का क्षेत्रफल है

माना $$\hat{i}+\hat{j}, \hat{i}+\hat{k}$$ तथा $$\hat{i}-\hat{j}, \hat{j}-\hat{k}$$ द्वारा दिए गए दो समतलों की प्रतिच्छेदन रेखा के समांतर एक शून्येतर सदिश $$\vec{a}$$ है। यदि सदिश $$\vec{a}$$ तथा सदिश $$\vec{b}=2 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$$ के बीच कोण $\theta$ है तथा $$\vec{a} \cdot \vec{b}=6$$ है, तो क्रमित युग्म $$(\theta,|\vec{a} \times \vec{b}|)$$ बराबर है

त्रिकों $$(x, \mathrm{y}, \mathrm{z})$$, जहाँ $$x, \mathrm{y}, \mathrm{z}$$ भित्र ऋणेत्तर पूर्णांक हैं तथा $$x+y+z=15$$ को संतुष्ट करते हैं, की संख्या है:

$$\log _{\left(x+\frac{7}{2}\right)}\left(\frac{x-7}{2 x-3}\right)^2 \geq 0$$ के पूर्णांक हलों $$x$$ की संख्या है :

एक संस्था ने प्रतियोगिता $$\mathrm{A}$$ में 48 पदक, प्रतियोगिता $$\mathrm{B}$$ में 25 पदक तथा प्रतियोगिता $$\mathrm{C}$$ में 18 पदक दिए। यदि यह पदक कुल 60 पुरुषों को मिले तथा केवल पाँच पुरुषों को तीनों प्रतियोगिताओं में पदक मिले, तो कितने पुरुषों को ठीक दो प्रतियोगिताओं में पदक मिले?

माना $$A=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 2 \\ a & 0 & 3 \\ 1 & c & 0\end{array}\right], a, \mathrm{c} \in \mathbb{R}$$ है । यदि $$A^3=A$$ है तथा $$a$$ का घनात्मक मान अंतराल $$(n-1, n]$$ में है, जहाँ $$n \in \mathbb{N}$$ है, तो $$n$$ बराबर ____________ है।

माना $$\mathrm{H}_{\mathrm{n}}: \frac{x^2}{1+n}-\frac{y^2}{3+n}=1, \mathrm{n} \in \mathrm{N}$$ हैं । माना $$\mathrm{k}, \mathrm{n}$$ का वह न्यूनतम सम मान है जिसके लिए $$\mathrm{H}_{\mathrm{k}}$$ की उत्क्रेन्द्रता एक परिमेय संख्या हे । यदि $$\mathrm{H}_{\mathrm{k}}$$ की नाभिलंब जीवा की लंबाई $l$ हे, तो $$21 l$$ बराबर ___________ है।

$$m, n>0$$ के लिए माना $$\alpha(m, n)=\int_\limits0^2 t^m(1+3 t)^n d t$$ है । यदि $$11 \alpha(10,6)+18 \alpha(11,5)=p(14)^6$$ तो $$p$$ बराबर ____________ है।

एक परीक्षा में 5 छात्रों को उनके रोल नंबर के अनुसार सीट दी गई है । उन तरीकों, जिनमें कोई भी छात्र दी गई सीट पर नहीं बेठता हे, की संख्या है ____________.

माना एक रेखा $$l$$ मूल बिंदु से होकर जाती है तथा रेखाओं

$$\begin{aligned}& l_1: \vec{r}=(\hat{\imath}-11 \hat{\jmath}-7 \hat{k})+\lambda(\hat{\imath}+2 \hat{\jmath}+3 \hat{k}), \lambda \in \mathbb{R}, \\ & l_2: \vec{r}=(-\hat{\imath}+\hat{k})+\mu(2 \hat{\imath}+2 \hat{\jmath}+\hat{k}), \mu \in \mathbb{R} \end{aligned}$$

के लंबवत है । यदि $$l$$ तथा $$l_1$$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $$P$$ है तथा $$P$$ से $$l_2$$ पर लंब का पाद $$\mathrm{Q}(\alpha, \beta, \gamma)$$ है, तो $$9(\alpha+\beta+\gamma)$$ बराबर ___________ है।

$$(2+x)^9$$ के द्विपद प्रसार में $$x, x^2, \ldots, x^7$$ के गुणांकों का माध्य ____________ है।

यदि समीकरण $$x^2-7 x-1=0$$ के मूल $$a$$ तथा $$b$$ हैं, तो $$\frac{a^{21}+b^{21}+a^{17}+b^{17}}{a^{19}+b^{19}}$$ का मान बराबर ___________ है ।

$$\left(3^{\frac{1}{2}}+5^{\frac{1}{4}}\right)^{680}$$ के प्रसार में पूर्णांक पदों की संख्या है _____________