एक यादृच्छया चुने गए $$2 \times 2$$ के आव्यूह, जिसके सभी अवयव प्रथम 10 अभाज्य संख्याओं के समुच्चय में से हैं, के अव्युत्क्रमणीय होने की प्रायिकता है :

माना अवकल समीकरण $$x \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}-y=\sqrt{y^{2}+16 x^{2}}, y(1)=3$$ का हल वक्र $$y=y(x)$$ है। तो $$y(2)$$ का मान है :

माना एक फलन $$f:R \to R$$

$$f(x) = \left\{ {\matrix{ {\max \,\{ {t^3} - 3t\} \,t \le x} & ; & {x \le 2} \cr {{x^2} + 2x - 6} & ; & {2 < x < 3} \cr {[x - 3] + 9} & ; & {3 \le x \le 5} \cr {2x + 1} & ; & {x > 5} \cr } } \right.$$

द्वारा परिभाषित है, जहाँ $$[\mathrm{t}]$$ महत्तम पूर्णांक $$\leq \mathrm{t}$$ है। माना $$\mathrm{m}$$ उन बिंदुओं की संख्या है, जहाँ f अकलनीय नहीं है तथा $$I = \int\limits_{ - 2}^2 {f(x)\,dx} $$ है। तो क्रमित युग्म $$(\mathrm{m}, \mathrm{I})$$ बराबर है :

माना तीन सदिश $$\overrightarrow{\mathrm{a}}=\alpha \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}, \overrightarrow{\mathrm{b}}=3 \hat{i}-\beta \hat{j}+4 \hat{k}$$ तथा $$\overrightarrow{\mathrm{c}}=\hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k}$$ हैं, जहाँ $$\alpha, \beta \in \mathbf{R}$$ हैं। यदि $$\overrightarrow{\mathrm{a}}$$ का $$\overrightarrow{\mathrm{c}}$$ पर प्रक्षेप $$\frac{10}{3}$$ है तथा $$\overrightarrow{\mathrm{b}} \times \overrightarrow{\mathrm{c}}=-6 \hat{i}+10 \hat{j}+7 \hat{k}$$ है, तो $$\alpha+\beta$$ का मान बराबर है :

वक्रों $$y^{2}=8 x$$ तथा $$y=\sqrt{2} x$$ से घिरे तथा रेखाओं $$y=\sqrt{2} x, x=1, y=2 \sqrt{2}$$ से बने त्रिभुज के बाहर के क्षेत्र का क्षेत्रफल है :

यदि रैखिक समीकरण निकाय

2x + y $$-$$ z = 7

x $$-$$ 3y + 2z = 1

x + 4y + $$\delta$$z = k

जहाँ $$\delta, k \in \mathbf{R}$$ हैं, के अनंत हल हैं, तो $$\delta+\mathrm{k}$$ बराबर है :

माना समीकरण $$x^{2}+(2 i-1)=0$$ के मूल $$\alpha$$ तथा $$\beta$$ हैं। तो $$\left|\alpha^{8}+\beta^{8}\right|$$ का मान बराबर है :

माना कोटि 3 का एक वर्ग आव्यूह $$\mathrm{A}=\left[\mathrm{a}_{i j}\right]$$ है, जिसमें $$\mathrm{a}_{i j}=2^{j-i}, \forall i, j=1,2,3$$ हैं। तो आव्यूह $$\mathrm{A}^{2}+\mathrm{A}^{3}+\ldots+\mathrm{A}^{10}$$ बराबर है :

माना एक समुच्चय

$$\mathrm{A}=\mathrm{A}_{1} \cup \mathrm{A}_{2} \cup \ldots \cup \mathrm{A}_{k}$$ है,

जहाँ $$\mathrm{A}_{i} \cap \mathrm{A}_{j}=\phi, i \neq j, 1 \leq i, j \leq k$$ हैं।

$$\mathrm{A}$$ से $$\mathrm{A}$$ में संबंध $$\mathrm{R}, \mathrm{R}=\left\{(x, y): y \in \mathrm{A}_{i}\right.$$ यदि और केवल यदि $$\left.x \in \mathrm{A}_{i} \text{,} 1 \leq i \leq k\right\}$$

माना रेखा y = 2 पर दो बिंदु A तथा $$A^{\prime}$$ इस प्रकार हैं कि दोनों रेखा खंड AB तथा $$A^{\prime} B$$ (जहाँ B, बिंदु (2,3) है), मूल बिंदु पर $$\frac{\pi}{4}$$ का कोण बनाते हैं। तो बिंदुओं $$\mathrm{A}$$ तथा $$\mathrm{A}^{\prime}$$ के बीच की दूरी है :

एक 22 मी. लंबे तार को दो टुकड़ों में विभक्त किया जाना है। एक टुकड़े से एक वर्ग तथा दूसरे से एक समबहु त्रिभुज बनाया जाना है। समबाहु त्रिभुज की भुजा की लंबाई, जिसके लिए वर्ग तथा समबाहु त्रिभुज का सम्मिलत क्षेत्रफल न्यूनतम हो, है :

फलन $${\cos ^{ - 1}}\left( {{{2{{\sin }^{ - 1}}\left( {{1 \over {4{x^2} - 1}}} \right)} \over \pi }} \right)$$ का प्रांत है :

यदि $$\left(3 x^{3}-2 x^{2}+\frac{5}{x^{5}}\right)^{10}$$ के प्रसार में अचर पद $$2^{k} \cdot l$$ है, जहाँ $$l$$ एक विषम पूर्णांक है, तो $$k$$ का मान बराबर है :

$$\int_0^5 {\cos \left( {\pi \left( {x - \left[ {{x \over 2}} \right]} \right)} \right)dx} $$,

जहाँ [t] महत्तम पूर्णांक $$\leq \mathrm{t} $$ है, बराबर है :

माना परवलय $$y^{2}=4 x$$ की एक नाभीय जीवा $$\mathrm{PQ}$$, बिंदु $$(3,0)$$ पर $$\frac{\pi}{2}$$ का कोण बनाती है माना रेखाखंड $$\mathrm{PQ}$$, दीर्घवृत्त $$\mathrm{E}: \frac{x^{2}}{\mathrm{a}^{2}}+\frac{y^{2}}{\mathrm{~b}^{2}}=1, \mathrm{a}>\mathrm{b}$$, की भी एक नाभीय जीवा है। यदि दीर्घवृत्त $$\mathrm{E}$$ की उत्तकेन्द्रता $$\mathrm{e}$$ है, तो $$\frac{1}{\mathrm{e}^{2}}$$ का मान बराबर है :

माना 5 प्रेक्षणों $$x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$$ के माध्य तथा प्रसरण क्रमशः $$\frac{24}{5}$$ तथा $$\frac{194}{25}$$ हैं। यदि प्रथम 4 प्रेक्षणों के माध्य तथा प्रसरण क्रमश: $$\frac{7}{2}$$ तथा $$a$$ हैं, तो $$\left(4 a+x_{5}\right)$$ बराबर है :

माना $$S=\{z \in C:|z-2| \leq 1, z(1+i)+\bar{z}(1-i) \leq 2\}$$ है। माना $$|z-4 i|$$ के निम्नतम तथा उच्वतम मान क्रमशः $$z_{1} \in S$$ तथा $$z_{2} \in S$$ पर प्राप्त होते हैं। यदि $$5\left(\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{2}\right|^{2}\right)=\alpha+\beta \sqrt{5}$$ है, जहाँ $$\alpha$$ तथा $$\beta$$ पूर्णांक हैं, तो $$\alpha+\beta$$ का मान बराबर है ___________.

माना अवकल समीकरण $${{dy} \over {dx}} + {{\sqrt 2 y} \over {2{{\cos }^4}x - {{\cos }^2}x}} = x{e^{{{\tan }^{ - 1}}(\sqrt 2 \cot 2x)}},\,0 < x < {\pi \over 2}$$, $$y\left( {{\pi \over 4}} \right) = {{{\pi ^2}} \over {32}}$$, का हल $$y=y(x)$$ है । यदि $$y\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\pi^{2}}{18} \mathrm{e}^{-\tan ^{-1}(\alpha)}$$ है, तो $$3 \alpha^{2}$$ का मान बराबर है ___________.

$$50\tan \left( {3{{\tan }^{ - 1}}\left( {{1 \over 2}} \right) + 2{{\cos }^{ - 1}}\left( {{1 \over {\sqrt 5 }}} \right)} \right) + 4\sqrt 2 \tan \left( {{1 \over 2}{{\tan }^{ - 1}}(2\sqrt 2 )} \right)$$ का मान बराबर है ____________.

माना $$\mathrm{c}, \mathrm{k} \in \mathbf{R}$$ हैं। यदि सभी $$x, y \in \mathbf{R}$$ के लिए $$f(x)=(\mathrm{c}+1) x^{2}+\left(1-\mathrm{c}^{2}\right) x+2 \mathrm{k}$$ तथा $$f(x+y)=f(x)+f(y)-x y$$ है, तो $$|2(f(1)+f(2)+f(3)+\ldots+f(20))|$$ का मान बराबर है __________ ।

माना अतिपरवलय $$\mathrm{H}: \frac{x^{2}}{\mathrm{a}^{2}}-\frac{y^{2}}{\mathrm{~b}^{2}}=1, \mathrm{a}>0, \mathrm{~b}>0$$, के लिए अनुप्रस्थ तथा संयुग्मी अक्षों की लंबाईयों का योग $$4(2 \sqrt{2}+\sqrt{14})$$ है। यदि $$\mathrm{H}$$ की उत्केन्द्रता $$\frac{\sqrt{11}}{2}$$ है, तो $$\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}$$ का मान बराबर है __________ ।

माना $$\mathrm{b}_{i} \in\{1,2,3, \ldots \ldots, 100\}, 1 \leq i \leq 4$$ तथा $$\mathrm{b}_{i} \neq \mathrm{b}_{j}, i \neq j$$ के साथ एक 4 -अवयव क्रमचय $$\mathrm{b}_{1} \mathrm{~b}_{2} \mathrm{~b}_{3} \mathrm{~b}_{4}$$, इस प्रकार है कि या तो $$\mathrm{b}_{1}, \mathrm{~b}_{2}, \mathrm{~b}_{3}$$ क्रमागत पूर्णांक हैं या $$\mathrm{b}_{2}, \mathrm{~b}_{3}, \mathrm{~b}_{4}$$ क्रमागत पूर्णांक हैं। तो इस प्रकार के क्रमचयों $$\mathrm{b}_{1} \mathrm{~b}_{2} \mathrm{~b}_{3} \mathrm{~b}_{4}$$ की संख्या है ____________.