दिया गया,

$$x{{dy} \over {dx}} - y = \sqrt {{y^2} + 16x} $$

$$ \Rightarrow x{{dy} \over {dx}} = y + \sqrt {{y^2} + 16x} $$

$$ \Rightarrow {{dy} \over {dx}} = {y \over x} + \sqrt {{{\left( {{y \over x}} \right)}^2} + 16} $$

यह एक समांगी अवकल समीकरण है।

माना $${y \over x} = v$$

$$ \Rightarrow y = vx$$

$$ \Rightarrow {{dy} \over {dx}} = v + x{{dv} \over {dx}}$$

$$\therefore$$ $$v + x{{dv} \over {dx}} =v+ \sqrt {{v^2} + 16} $$

$$ \Rightarrow $$ $$ x{{dv} \over {dx}} = \sqrt {{v^2} + 16} $$

$$ \Rightarrow {{dv} \over {\sqrt {{v^2} + 16} }} = {{dx} \over x}$$

दोनों पक्षों को एकीकृत करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$$\int {{{dv} \over {\sqrt {{v^2} + 16} }} = \int {{{dx} \over x}} } $$

$$ \Rightarrow \ln \left| {v + \sqrt {{v^2} + 16} } \right| = \ln x + \ln c$$

$$ \Rightarrow v + \sqrt {{v^2} + 16} = cx$$

अब, $$v = {y \over x}$$ रखने पर, हमें प्राप्त होता है

$${y \over x} + \sqrt {{{{y^2}} \over {{x^2}}} + 16} = cx$$

$$ \Rightarrow {y \over x} + \sqrt {{{{y^2} + 16{x^2}} \over {{x^2}}}} = cx$$

$$ \Rightarrow y + \sqrt {{y^2} + 16{x^2}} = c{x^2}$$ ...... (1)

दिया गया, $$y(1) = 3$$

$$\therefore$$ जब x = 1 तब y = 3

समीकरण (1) में रखने पर हमें प्राप्त होता है,

$$3 + \sqrt {9 + 16} = c.\,1$$

$$ \Rightarrow c = 8$$

$$\therefore$$ समीकरण का हल,

$$y + \sqrt {{y^2} + 16{x^2}} = 8{x^2}$$

अब, y(2) का अर्थ है जब x = 2 तब y = ?

$$\therefore$$ $$y + \sqrt {{y^2} + 16 \times 4} = 8 \times 4$$

$$ \Rightarrow y = 15$$