हम जानते है,

1, 2, 3, 4 ........ पर असंतत है $$\left[ {{x \over 2}} \right]$$

$$\therefore$$ [ x ] 2, 4, 6, 8 ..... पर असंतत है।

0 से 5 के बीच यह 2 और 4 पर असंतत है।

एकीकरण को 3 भागों में तोड़ें

(1) 0 से 2

(2) 2 से 4

(3) 4 से 5

$$\therefore$$ $$\int\limits_0^5 {\cos \left( {\pi \left( {x - \left[ {{x \over 2}} \right]} \right)} \right)dx} $$

$$ = \int\limits_0^2 {\cos \left( {\pi (x - 0)} \right)dx + \int\limits_2^4 {\cos \left( {\pi (x - 1)} \right)dx + \int\limits_4^5 {\cos \left( {\pi (x - 2)} \right)dx} } } $$

$$ = \int\limits_0^2 {\cos \pi x\,dx + \int\limits_2^4 {\cos (\pi x - \pi )dx + \int\limits_4^5 {\cos (\pi x - 2\pi )dx} } } $$

$$ = \int\limits_0^2 {\cos \pi dx - \int\limits_2^4 {\cos \pi x\,dx + \int\limits_4^5 {\cos \pi x\,dx} } } $$

$$ = \left[ {{{\sin \pi x} \over \pi }} \right]_0^2 - \left[ {{{\sin \pi x} \over \pi }} \right]_2^4 + \left[ {{{\sin \pi x} \over \pi }} \right]_4^5$$

$$ = 0 - 0 + 0$$

$$ = 0$$