$$ \int_{0}^{\pi} \frac{e^{\cos x} \sin x}{\left(1+\cos ^{2} x\right)\left(e^{\cos x}+e^{-\cos x}\right)} \mathrm{d} x$$ का मान बराबर है :

माना एक फलन $$f: \mathbf{N} \rightarrow \mathbf{R}$$ इस प्रकार है कि धन पूर्णांकों $$x$$ तथा $$y$$ के लिए $$f(x+y)=2 f(x) f(y)$$ है। यदि $$f(1)=2$$ है, तो $$\alpha$$ का वह मान, जिसके लिए

$$ \sum_{\mathrm{k}=1}^{10} f(\alpha+\mathrm{k})=\frac{512}{3}\left(2^{20}-1\right) $$

है, है :

माना A एक $$3 \times 3$$ का वास्तविक आव्यूह है, जिसके लिए

$$\mathrm{A}\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right) ; \,\mathrm{A}\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$$ तथा $$\,\mathrm{A}\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right)$$ हैं ।

यदि $$\mathrm{X}=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{\mathrm{T}}$$ है तथा I, कोटि 3 का तत्समक आव्यूह है, तो निकाय $$(\mathrm{A}-2 \mathrm{I}) \mathrm{X}=\left(\begin{array}{l}4 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$$ :

माना $$f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$$,

$$f(x)=x^{3}+x-5$$

द्वारा परिभाषित है। यदि एक फलन $$g(x)$$ के लिए $$f(g(x))=x, \forall x \in \mathbf{R}$$ है, तो $$g^{\prime}(63)$$ बराबर है :

यदि $$\frac{1}{2 \cdot 3^{10}}+\frac{1}{2^{2} \cdot 3^{9}}+\ldots+\frac{1}{2^{10} \cdot 3}=\frac{K}{2^{10} \cdot 3^{10}}$$ है, तो $$K$$ को 6 से विभाजित करने पर शेषफल है :

माना $$f(x)$$ एक बहुपद फलन है, जिसके लिए $$f(x)+f^{\prime}(x)+f^{\prime \prime}(x)=x^{5}+64$$ है। तो $$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {{f(x)} \over {x - 1}}$$ का मान बराबर है :

माना दो घटनाएँ $$\mathrm{E}_{1}$$ तथा $$\mathrm{E}_{2}$$ इस प्रकार है कि सप्रतिबंध प्रायिकताएँ $$\mathrm{P}^{2}\left(\mathrm{E}_{1} \mid \mathrm{E}_{2}\right)=\frac{1}{2}, \mathrm{P}\left(\mathrm{E}_{2} \mid \mathrm{E}_{1}\right)=\frac{3}{4}$$ तथा $$\mathrm{P}\left(\mathrm{E}_{1} \cap \mathrm{E}_{2}\right)=\frac{1}{8}$$ है। तो :

माना $$\mathrm{A}=\left[\begin{array}{rr}0 & -2 \\ 2 & 0\end{array}\right]$$ है। यदि दो आव्यूह $$\mathrm{M}$$ तथा $$\mathrm{N}$$,

$$\mathrm{M}=\sum_{\mathrm{k}=1}^{10} \mathrm{~A}^{2 \mathrm{k}}\,$$ तथा $$\,\mathrm{N}=\sum_{\mathrm{k}=1}^{10} \mathrm{~A}^{2 \mathrm{k}-1}$$

द्वारा दिए गए हैं, तो $$\mathrm{MN}^{2}$$ :

माना $$g:(0, \infty) \rightarrow \mathbf{R}$$ एक अवकलनीय फलन है जिसके लिए

$$ \int\left(\frac{x(\cos x-\sin x)}{\mathrm{e}^{x}+1}+\frac{g(x)\left(\mathrm{e}^{x}+1-x \mathrm{e}^{x}\right)}{\left(\mathrm{e}^{x}+1\right)^{2}}\right) \mathrm{d} x=\frac{x g(x)}{\mathrm{e}^{x}+1}+\mathrm{c}$$, सभी $$x>0$$ के लिए, है, जहाँ $$\mathrm{c}$$ एक स्वेच्छ अचर है। तो :

माना दो फलन $$f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$$ तथा $$g: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}, f(x)=\log _{\mathrm{e}}\left(x^{2}+1\right)-\mathrm{e}^{-x}+1$$ तथा $$g(x)=\frac{1-2 \mathrm{e}^{2 x}}{\mathrm{e}^{x}}$$ द्वारा परिभाषित हैं। तो $$\alpha$$ के निम्न में से किस परिसर (range) के लिए असमिका $$f\left(g\left(\frac{(\alpha-1)^{2}}{3}\right)\right)>f\left(g\left(\alpha-\frac{5}{3}\right)\right)$$ संतुष्ट होती है ?

माना सदिश $$\overrightarrow{\mathrm{a}}=\mathrm{a}_{1} \hat{i}+\mathrm{a}_{2} \hat{j}+\mathrm{a}_{3} \hat{k} \,\,\mathrm{a}_{i}>0, i=1,2,3$$ निर्देशांक अक्षों $$\mathrm{OX}, \mathrm{OY}$$ तथा $$\mathrm{OZ}$$ से बराबर कोण बनाता है। यह भी मान लीजिए कि $$\overrightarrow{\mathrm{a}}$$ का सदिश $$3 \hat{i}+4 \hat{j}$$ पर प्रक्षेप 7 है। माना सदिश $$\overrightarrow{\mathrm{a}}$$ को $$90^{\circ}$$ घुमाने पर सदिश $$\overrightarrow{\mathrm{b}}$$ प्राप्त होता है। यदि $$\overrightarrow{\mathrm{a}}, \overrightarrow{\mathrm{b}}$$ तथा $$x$$-अक्ष सह-तलीय हैं, तो एक सदिश $$\overrightarrow{\mathrm{b}}$$ का $$3 \hat{i}+4 \hat{j}$$ पर प्रक्षेप बराबर है :

माना अवकल समीकरण $$(x+1) y^{\prime}-y=\mathrm{e}^{3 x}(x+1)^{2}, y(0)=\frac{1}{3}$$, का हल $$y=y(x)$$ है। तो वक्र $$y=y(x)$$ के लिए बिन्दु $$x=-\frac{4}{3}$$ एक :

यदि अवकल समीकरण $$y^{2} \mathrm{~d} x+\left(x^{2}-x y+y^{2}\right) \mathrm{d} y=0$$ का हल वक्र $$y=y(x)$$ है, जो बिंदु $$(1,1)$$ से होकर जाता है तथा रेखा $$y=\sqrt{3} x$$ को बिंदु $$(\alpha, \sqrt{3} \alpha)$$ पर काटता है, तो $$\log _{\mathrm{e}}(\sqrt{3} \alpha)$$ का मान बराबर है :

माना $$x=2 \mathrm{t}, y=\frac{\mathrm{t}^{2}}{3}$$ एक शांकव है। माना शांकव की नाभि $$\mathrm{S}$$ है तथा शांकव के अक्ष पर बिंदु $$\mathrm{B}$$ इस प्रकार है कि $$\mathrm{SA} \perp \mathrm{BA}$$, जहाँ $$\mathrm{A}$$ शांकव पर कोई बिंदु है। यदि $$\triangle \mathrm{SAB}$$ के केन्द्रक की कोटि $$\mathrm{k}$$ है, तो $$\mathop {\lim }\limits_{t \to 1} k$$ बराबर है :

माना समिश्र समतल में एक वृत्त $$C$$ बिंदुओं $$z_{1}=3+4 i, z_{2}=4+3 i$$ तथा $$z_{3}=5 i$$ से होकर जाता है। यदि वृत्त $$C$$ पर एक बिंदु $$z\left(\neq z_{1}\right)$$ इस प्रकार है कि $$z$$ तथा $$z_{1}$$ से होकर जाने वाली रेखा, $$z_{2}$$ तथा $$z_{3}$$ से होकर जाने वाली रेखा के लंबवत है, तो $$\arg (z)$$ बराबर है :

3-अंकों की विषम संख्याओं, जिनके अंकों का योग 7 का गुणज है, की संख्या है _____________ |

माना सदिशों $$\vec{a}$$ तथा $$\vec{b}$$ के बीच कोण $$\theta$$ है, जहाँ $$|\vec{a}|=4,|\vec{b}|=3$$ तथा $$\theta \in\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}\right)$$ है। तो $${\left| {\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right) \times \left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)} \right|^2} + 4{\left( {\overrightarrow a \,.\,\overrightarrow b } \right)^2}$$ बराबर है ______________ |

माना दो बिंदुओं $$\mathrm{P}$$ तथा $$\mathrm{Q}$$ के भुज $$2 x^{2}-\mathrm{r} x+\mathrm{p}=0$$ के मूल हैं और $$\mathrm{P}$$ तथा $$\mathrm{Q}$$ की कोटि $$x^{2}-\mathrm{s} x-\mathrm{q}=0$$ के मूल हैं। यदि $$\mathrm{PQ}$$ को व्यास लेकर खींचे गए वृत्त का समीकरण $$2\left(x^{2}+y^{2}\right)-11 x-14 y-22=0$$ है, तो $$2 \mathrm{r}+\mathrm{s}-2 \mathrm{q}+\mathrm{p}$$ बराबर है ________________ |

माना फलन $$f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}, f(x)=\left(2\left(1-\frac{x^{25}}{2}\right)\left(2+x^{25}\right)\right)^{\frac{1}{50}}$$ द्वारा परिभाषित है । यदि फलन $$g(x)=f(f(f(x)))+f(f(x))$$ है, तो $$g(1)$$ के बराबर या उससे कम महत्तम पूर्णांक _____________ है |

माना $$\mathrm{A}$$ एक $$3 \times 3$$ आव्यूह है, जिसके अवयव समुच्चय $$\{-1,0,1\}$$ से हैं। इस प्रकार के सभी आव्यूहों $$\mathrm{A}$$, जिनके सभी अवयवों का योगफल 5 है, की संख्या है _____________ |