फलनों $$f:\{1,2,3,4\} \rightarrow\{1,2,3,4,5,6\}$$, जिनके लिए $$f(1)+f(2)=f(3)$$ है, की कुल संख्या है :

यदि समीकरण $$x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=0$$ के मूल $$\alpha, \beta, \gamma, \delta$$ हैं, तो $$\alpha^{2021}+\beta^{2021}+\gamma^{2021}+\delta^{2021}$$ बराबर है :

$$\mathrm{n} \in \mathbf{N}$$ के लिए, माना $$\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\left\{z \in \mathbf{C}:|z-3+2 i|=\frac{\mathrm{n}}{4}\right\}$$ तथा $$\mathrm{T}_{\mathrm{n}}=\left\{z \in \mathrm{C}:|z-2+3 i|=\frac{1}{\mathrm{n}}\right\}$$ हैं। तो समुच्चय $$\left\{\mathrm{n} \in \mathbf{N}: S_{\mathrm{n}} \cap \mathrm{T}_{\mathrm{n}}=\phi\right\}$$ में अवयवों की संख्या है :

अंतराल $$(0,4 \pi)$$ में $$\theta$$ के मानों, जिनके लिए रैखिक समीकरण निकाय

$$ \begin{aligned} &3(\sin 3 \theta) x-y+z=2 \\ &3(\cos 2 \theta) x+4 y+3 z=3 \\ &6 x+7 y+7 z=9 \end{aligned} $$

का कोई हल नहीं है, की संख्या है :

यदि $$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\left(\sqrt{n^{2}-n-1}+n \alpha+\beta\right)=0$$ है, तो $$8(\alpha+\beta)$$ बराबर है :

यदि अंतराल $$[-3,0]$$ में फलन $$f(x)=\left(x^2-2 x+7\right) \mathrm{e}^{\left(4 x^3-12 x^2-180 x+31\right)}$$ का निरपेक्ष उच्चतम मान $$f(\alpha)$$ है, तो:

वक्र $$y(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+5, x$$-अक्ष को बिंदु $$\mathrm{P}(-2,0)$$ पर स्पर्श करता है तथा $$y$$-अक्ष को बिंदु $$\mathrm{Q}$$ पर काटता है। $$\mathrm{Q}$$ पर $$y$$ का मान $$3$$ है। तो $$y(x)$$ का स्थानीय उच्चतम मान है :

$$\mathrm{A}=\left\{(x, y): x^{2} \leq y \leq \min \{x+2,4-3 x\}\right\}$$ द्वारा दिए गए क्षेत्र का क्षेत्रफल है :

किसी वास्तविक संख्या $$x$$ के लिए, माना $$[x]$$ महत्तम पूर्णांक $$\leq x$$ है। माना अंतराल $$[-10,10]$$ में एक वास्तविक मान फलन $$f$$,

$$f(x)=\left\{\begin{array}{l}x-[x], \text { यदि }[x] \text { विषम है } \\ 1+[x]-x, \text { यदि }[x] \text { सम है }\end{array}\right.$$

द्वारा परिभाषित है। तो $$\frac{\pi^{2}}{10} \int\limits_{-10}^{10} f(x) \cos \pi x \mathrm{~d} x$$ का मान है :

वक्र $$\mathrm{c}: y=y(x)$$ के किसी बिंदु $$(x, y)$$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता $$\frac{2 \mathrm{e}^{2 x}-6 \mathrm{e}^{-x}+9}{2+9 \mathrm{e}^{-2 x}}$$ है। यदि $$\mathrm{c}$$, बिंदुओं $$\left(0, \frac{1}{2}+\frac{\pi}{2 \sqrt{2}}\right)$$ तथा $$\left(\alpha, \frac{1}{2} \mathrm{e}^{2 \alpha}\right)$$ से होकर जाता है, तो $$\mathrm{e}^{\alpha}$$ बराबर है :

अवकल समीकरण $$\left(x-y^{2}\right) \mathrm{d} x+y\left(5 x+y^{2}\right) \mathrm{d} y=0$$ का व्यापक हल है :

एक रेखा, जिसकी प्रवणता एक से अधिक है, बिंदु $$\mathrm{A}(4,3)$$ से होकर जाती है तथा रेखा $$x-y-2=0$$ को बिंदु $$\mathrm{B}$$ पर काटती है। यदि रेखाखंड $$\mathrm{AB}$$ की लंबाई $$\frac{\sqrt{29}}{3}$$ है, तो बिंदु $$\mathrm{B}$$ निम्न में से किस रेखा पर भी स्थित है ?

माना एक वृत्त, जो वृत्त $$x^{2}+(y-1)^{2}=1$$ को बाह्यतः स्पर्श करता है तथा $$x$$-अक्ष को भी स्पर्श करता है, के केन्द्र $$(\alpha, \beta), \beta>0$$ का बिंदुपथ $$\mathrm{L}$$ है। तो $$\mathrm{L}$$ तथा रेखा $$y=4$$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल है :

माना एक त्रिभुज $$\mathrm{ABC}$$ के लिए $$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{a}}, \overrightarrow{\mathrm{CA}}=\overrightarrow{\mathrm{b}}, \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{c}},|\overrightarrow{\mathrm{a}}|=6 \sqrt{2},|\overrightarrow{\mathrm{b}}|=2 \sqrt{3}$$ तथा $$\vec{b} \cdot \vec{c}=12$$ हैं।

कथनों :

(S1): $$|(\vec{a} \times \vec{b})+(\vec{a} \times \vec{b})|-|\vec{c}|=6(2 \sqrt{2}-1)$$

(S2): $$\angle \mathrm{ACB}=\cos ^{-1}\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right)$$

में

यदि छः फलकों के एक न्याय पासे को दो बार फेंकने पर प्रकट होने वाली संख्याएँ $$\alpha$$ तथा $$\beta$$ हैं, तो सभी $$x \in \mathbf{R}$$ के लिए $$x^{2}+\alpha x+\beta>0$$ होने की प्रायिकता है :

माना $$\mathrm{A}=\left(\begin{array}{rrr}2 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 0\end{array}\right)$$ तथा $$\mathrm{B}=\mathrm{A}-\mathrm{I}$$ हैं। यदि $$\omega=\frac{\sqrt{3} i-1}{2}$$ है, तो समुच्चय $$\left\{\mathrm{n} \in\{1,2, \ldots, 100\}: \mathrm{A}^{\mathrm{n}}+(\omega \mathrm{B})^{\mathrm{n}}=\mathrm{A}+\mathrm{B}\right.$$ है $$\}$$ में अवयवों की संख्या है _____________ |

शब्द 'MANKIND' के अक्षरों को सभी संभव क्रमों में लिखा जाता है तथा अंग्रेजी शब्दकोश की तरह क्रमानुसार व्यवस्थित किया जाता है। तो शब्द 'MANKIND' की क्रम संख्या है ______________ |

यदि $$\left(\mathrm{t}^{2} x^{\frac{1}{5}}+\frac{(1-x)^{\frac{1}{10}}}{\mathrm{t}}\right)^{15}, x \geqslant 0$$ के प्रसार में $$\mathrm{t}$$ से स्वतंत्र पद का अधिकतम मान $$\mathrm{K}$$ है, तो $$8 \mathrm{~K}$$ बराबर है ___________ |

माना $$\mathrm{a}, \mathrm{b}$$ दो शून्येत्तर वास्तविक संख्याएँ हैं। यदि समीकरण $$x^{2}-8 \mathrm{a} x+2 \mathrm{a}=0$$ के मूल $$\mathrm{p}$$ तथा $$\mathrm{r}$$ हैं और समीकरण $$x^{2}+12 \mathrm{~b} x+6 \mathrm{~b}=0$$ के मूल $$\mathrm{q}$$ तथा $$\mathrm{s}$$ हैं, जब कि $$\frac{1}{\mathrm{p}}, \frac{1}{\mathrm{q}}, \frac{1}{\mathrm{r}}, \frac{1}{\mathrm{~s}}$$ $$\mathrm{A.P.}$$ में हैं, तो $$\mathrm{a}^{-1}-\mathrm{b}^{-1}$$ बराबर है _____________।

माना $$f(x)=\left\{\begin{array}{l}\left|4 x^{2}-8 x+5\right|, \text { यदि } 8 x^{2}-6 x+1 \geqslant 0 \text { है } \\ {\left[4 x^{2}-8 x+5\right], \text { यदि } 8 x^{2}-6 x+1<0 \text { है, }}\end{array}\right.$$ जहाँ $$[\alpha]$$ महत्तम पूर्णांक $$\leq$$ है। तो $$\mathbf{R}$$ में उन बिंदुओं की संख्या, जहाँ $$f$$ अवकलनीय नहीं है, है ______________ |