मान लीजिए उन $\lambda$ के मान $\lambda_1$ तथा $\lambda_2$ हैं जिनके लिए रेखाएँ $ \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{3} = \frac{z-3}{4} \quad \text{और} \quad \frac{x-\lambda}{3} = \frac{y-4}{4} = \frac{z-5}{5} $ के बीच की न्यूनतम दूरी $\dfrac{1}{\sqrt{6}}$ है। तब बिंदु $(0,0), (\lambda_1,\lambda_2)$ और $(\lambda_2,\lambda_1)$ से होकर गुजरने वाले वृत्त की त्रिज्या होगी

माना $f(x)=x-1$ और $g(x)=e^x, x \in \mathrm{R}$, हैं। यदि $\frac{d y}{d x}=\left(e^{-2 \sqrt{x}} g(f(f(x)))-\frac{y}{\sqrt{x}}\right), y(0)=0$ हैं, तो $y(1)$ बराबर हे

$\begin{aligned} & \text { यदि } \frac{1}{1^4}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\ldots \infty=\frac{\pi^4}{90} \text {, } \\ & \frac{1}{1^4}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{5^4}+\ldots \infty=\alpha \text {, } \\ & \frac{1}{2^4}+\frac{1}{4^4}+\frac{1}{6^4}+\ldots \infty=\beta \text {, } \\ & \text { हैं, तो } \frac{\alpha}{\beta} \text { बराबर है }\end{aligned}$

माना वर्ग OABC की एक भुजा की लंबाई $a$ है, जहाँ O मूल बिंदु है। इसकी भुजा OA धनात्मक $x$-अक्ष से न्यून कोण $\alpha$ बनाती है ओर इसके विकर्णों के समीकरण $(\sqrt{3}+1) x+(\sqrt{3}-1) y=0$ तथा $(\sqrt{3}-1) x-(\sqrt{3}+1) y+8 \sqrt{3}=0$ हैं। तो $a^2$ बराबर हे

बिंदु $P(a, 0)$ से होकर जाने वाली एक रेखा धनात्मक $x$-अक्ष से न्यून कोण $\alpha$ बनाती है। माना इस रेखा को बिंदु $P$ के सापेक्ष घड़ी की दिशा में $\frac{\alpha}{2}$ कोण तक घुमाया गया है। यदि नई स्थिति में इस रेखा की प्रवणता $2-\sqrt{3}$ हे ओर मूल बिंदु से इसकी दूरी $\frac{1}{\sqrt{2}}$ है, तो $3 a^2 \tan ^2 \alpha-2 \sqrt{3}$ का मान हे

माना समीकरण $x^2+x+1=0$ का एक हल $\alpha$ हे ओर किसी $a, b \in \mathbb{R}$ के लिए [$\left.\begin{array}{lll}4 & a & b\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1 & 16 & 13 \\ -1 & -1 & 2 \\ -2 & -14 & -8\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0\end{array}\right]$ हे। यदि $\frac{4}{\alpha^4}+\frac{m}{\alpha^a}+\frac{n}{\alpha^b}=3$, तो $m+n$ बराबर है _________

माना दीर्घवृत्त $3 x^2+p y^2=4, r$ त्रिज्या के वृत्त $x^2+y^2-2 x-4 y-11=0$ के केन्द्र $C$ से होकर जाता है। माना दीर्घवृत्त पर बिंदु $C$ की नाभीय दूरियाँ $f_1, f_2$ हैं। तो $6 f_1 f_2-r$ बराबर है

समीकरण $|x-2|^2+|x-2|-2=0$ के मूलों के वर्गों ओर समीकरण $x^2-2|x-3|-5=0$ के मूलों के वर्गों का योग है

$\cot ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+\tan ^2(2)}-1}{\tan (2)}\right)-\cot ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+\tan ^2\left(\frac{1}{2}\right)}+1}{\tan \left(\frac{1}{2}\right)}\right)$ का मान हे

माना $A=\left\{\theta \in[0,2 \pi]: 1+10 \operatorname{Re}\left(\frac{2 \cos \theta+i \sin \theta}{\cos \theta-3 i \sin \theta}\right)=0\right\}$ है। तो $\sum_\limits{\theta \in \mathrm{A}} \theta^2$ बराबर हे

नीचे दो कथन दिए गए हैं:

कथन I : $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\tan ^{-1} x+\log _e \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}-2 x}{x^5}\right)=\frac{2}{5}$ है।

कथन II : $\lim _{x \rightarrow 1}\left(x^{\frac{2}{1-x}}\right)=\frac{1}{e^2}$ है।

इन कथनों के लिए नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनिए

समाकलन $\int_\limits{-1}^{\frac{3}{2}}\left(\mid \pi^2 x \sin (\pi x)\mid\right) d x$ बराबर हे

Let $\mathrm{A}=\left[\begin{array}{ccc}2 & 2+p & 2+p+q \\ 4 & 6+2 p & 8+3 p+2 q \\ 6 & 12+3 p & 20+6 p+3 q\end{array}\right]$. If $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(3 A)))=2^m \cdot 3^n, m, n \in \mathrm{~N}$, then $m+n$ is equal to

माना $A=\{0,1,2,3,4,5\}$ हे। माना $A$ पर एक संबंध $R,(x, y) \in R$ यदि ओर केवल यदि $\max \{x, y\} \in$ $\{3,4\}$ हे, द्वारा परिभाषित हे। तो कथनों

$\left(\mathrm{S}_1\right): R$ में अवयवों की संख्या 18 हे, ओर

$\left(\mathrm{S}_2\right)$ : संबंध $R$ सममित हे कितु न तो स्वतुल्य है न ही संक्रामक हे में से

माना $f(x)$ एक धनात्मक फलन हे तथा $I_1=\int_{-\frac{1}{2}}^1 2 x f(2 x(1-2 x)) d x$ और $I_2=\int_{-1}^2 f(x(1-x)) d x$ हैं। तो $\frac{I_2}{I_1}$ का मान बराबर हे

एक समतल में 12 बिंदु हैं। इनमें से 5 बिंदु एक रेखा में हैं ओर इनके अतिरिक्त 12 बिंदुओं में से कोई भी तीन एक रेखा में नहीं हैं। तो इन 12 बिंदुओं में से किन्ही तीन को शीर्ष लेकर बनाए जा सकने वाले त्रिभुजों की कुल संख्या है

यदि दो घटनाओं $A$ और $B$ के लिए $P(A)=0.7, P(B)=0.4$ और $P(A \cap \bar{B})=0.5$ हैं, जहाँ $\bar{B}, B$ के पूरक को दर्शाता हे, तो $P(B \mid(A \cup \bar{B}))$ बराबर हे

माना $\vec{a}=\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{b}=2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ हैं। माना सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के तल में तथा $\vec{a}$ के लंबवत्, एक मात्रक सदिश $\hat{c}$ हे। तो ऐसा एक सदिश $\hat{c}$ हे

माना फलन $f(x)=\frac{x}{3}+\frac{3}{x}+3, x \neq 0,\left(-\infty, \alpha_1\right) \cup\left(\alpha_2, \infty\right)$ में निरंतर वर्धमान है और $\left(\alpha_3, \alpha_4\right) \cup\left(\alpha_4, \alpha_5\right)$ में निरंतर ह्रासमान है। तो $\sum\limits_{i=1}^5 \alpha_i^2$ बराबर है :

$\left(5^{\frac{1}{2}}+7^{\frac{1}{8}}\right)^{1016}$ के प्रसार में पूर्णांकीय पदों की संख्या हे

(1919) ${ }^{1919}$ के अंतिम दो अंकों का गुणनफल है _________

माना परिबद्ध क्षेत्र $\left\{(x, y): 0 \leq 9 x \leq y^2, y \geq 3 x-6\right\}$ का क्षेत्रफल $A$ है। तो $6 A$ बराबर है _________

माना त्रिज्या $r$ का एक वृत्त, $x$ - अक्ष को बिंदु $(a, 0), a<0$ पर ओर परवलय $y^2=9 x$ को बिंदु $(4,6)$ पर स्पर्श करता हे। तो $r$ बराबर हे __________

माना रेखाओं $x+2=y-1=z, \frac{x-3}{5}=\frac{y}{-1}=\frac{z-1}{1}$ और $\frac{x}{-3}=\frac{y-3}{3}=\frac{z-2}{1}$ द्वारा बने त्रिभुज का क्षेत्रफल $A$ हे। तो $A^2$ बराबर है _________

माना फलन $f(x)=\cos ^{-1}\left(\frac{4 x+5}{3 x-7}\right)$ का प्रांत $[\alpha, \beta]$ है और $g(x)=\log _2\left(2-6 \log _{27}(2 \mathrm{x}+5)\right)$ का प्रांत $(\gamma, \delta)$ हे। तो $|7(\alpha+\beta)+4(\gamma+\hat{o})|$ बराबर है _________