हमारे पास फलन

$$ f(x)=\frac{x}{3}+\frac{3}{x}+3\quad (x\neq0) $$

है। हमें यह ज्ञात करना है कि फंक्शन कहां निरंतर वर्धमान (increasing) और निरंतर ह्रासमान (decreasing) है, तथा डोमेन में इनका अंत बिंदु (endpoints) क्रमशः

• बढ़ते होने वाले अंतराल: $$(-\infty, \alpha_1) \cup (\alpha_2, \infty)$$

• घटते होने वाले अंतराल: $$ (\alpha_3, \alpha_4)\cup(\alpha_4, \alpha_5) $$

में किन बिंदुओं पर मोड़ आता है।

आइए चरणवार विश्लेषण करें:

1. सबसे पहले, फलन का व्युत्पन्न ज्ञात करते हैं:

  $$   f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{3}\right)+\frac{d}{dx}\left(\frac{3}{x}\right)+\frac{d}{dx}(3)   $$

  यहाँ,

  • $$\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{3}\right)=\frac{1}{3},$$

  • $$\frac{d}{dx}\left(\frac{3}{x}\right)=-\frac{3}{x^2},$$

  • $$\frac{d}{dx}(3)=0.$$

  अतः,

  $$   f'(x)=\frac{1}{3}-\frac{3}{x^2}.   $$

2. निरंतर वर्धमान व निरंतर ह्रासमान अंतराल जानने के लिए, $f'(x)=0$ के लिए हल करें:

  $$   \frac{1}{3}-\frac{3}{x^2}=0 \quad \Longrightarrow \quad \frac{1}{3}=\frac{3}{x^2}.   $$

  गुणा करके,

  $$   x^2=9 \quad \Longrightarrow \quad x=\pm3.   $$

  इसलिए, दो महत्वपूर्ण बिंदु (critical points) हैं:

  $$   x=-3 \quad \text{और} \quad x=3.   $$

3. अब विभिन्न अंतराल पर $f'(x)$ का चिन्ह देखते हैं:

  • यदि $$x<-3$$: तो $$x^2>9 \implies \frac{3}{x^2}<\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$$, अतः

    $$f'(x)=\frac{1}{3}-\frac{3}{x^2}>0.$$

    फ़ंक्शन $$(-\infty,-3)$$ में वर्धमान है।

  • यदि $$-3\frac{1}{3}$$, अतः

    $$f'(x)<0.$$

    फ़ंक्शन $$(-3,0)$$ में ह्रासमान है।

  • यदि $$0\frac{1}{3}\,$$, अतः

    $$f'(x)<0.$$

    फ़ंक्शन $$(0,3)$$ में ह्रासमान है।

  • यदि $$x>3$$: तो $$x^2>9 \implies \frac{3}{x^2}<\frac{1}{3}\,$$, अतः

    $$f'(x)>0.$$

    फ़ंक्शन $$(3,\infty)$$ में वर्धमान है।

4. इसे देखकर हम देखते हैं:

  - वर्धमान अंतराल हैं: $$(-\infty, -3) \quad \text{और} \quad (3, \infty),$$

   अतः इनका अंतिम बिंदु है $$\alpha_1=-3 \quad \text{और} \quad \alpha_2=3.$$

  - ह्रासमान अंतराल हैं: $$(-3, 0) \quad \text{और} \quad (0, 3).$$

   इनके अंत बिंदु क्रमशः:

    पहला घटने वाला अंतराल: $$\alpha_3=-3, \alpha_4=0,$$

    दूसरा घटते हुआ अंतराल: $$\alpha_4=0, \alpha_5=3.$$

5. अतः हमें पांच बिंदु मिलते हैं:

  $$   \alpha_1=-3,\quad \alpha_2=3,\quad \alpha_3=-3,\quad \alpha_4=0,\quad \alpha_5=3.   $$

6. अब $$\sum_{i=1}^5 \alpha_i^2$$ निकालते हैं:

  $$   \alpha_1^2+\alpha_2^2+\alpha_3^2+\alpha_4^2+\alpha_5^2=(-3)^2+3^2+(-3)^2+0^2+3^2.   $$

  इसका मान है:

  $$   9+9+9+0+9=36.   $$

इस प्रकार, सही उत्तर है: 36, जो Option C में है।