माना घात चार का एक बहुपद फलन $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ है, जिसके चरम मान $x=4$ और $x=5$ पर हैं। यदि $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^2}=5$ है, तो $f(2)$ बराबर है :

माना अवकल समीकरण $\left(x^2+1\right) y^{\prime}-2 x y=\left(x^4+2 x^2+1\right) \cos x, y(0)=1$ का हल $y=y(x)$ है। तो $\int_{-3}^3 y(x) \mathrm{d} x$ का मान है :

यदि $z \in \mathrm{C}$, जिसके लिए $\operatorname{Re}\left(\frac{z-1}{2 z+i}\right)+\operatorname{Re}\left(\frac{\bar{z}-1}{2 \bar{z}-i}\right)=2$ है, का बिंदुपथ r त्रिज्या और केन्द्र $(\mathrm{a}, \mathrm{b})$ का एक वृत्त है, तो $\frac{15 \mathrm{ab}}{\mathrm{r}^2}$ बराबर है :

माना एक A.P. का $n$ वाँ पद $a_n$ है। यदि $S_n=a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n=700, a_6=7$ और $S_7=7$ हैं, तो $a_n$ बराबर है :

एक थैले में 19 अनभिनत सिक्के हैं और दोनों तरफ चित्त का एक सिक्का है। एक सिक्का यादृच्छिक निकाल कर उछाला जाता है और चित्त प्रकट होता है। यदि निकाले गए सिक्के के अनभिनत होने की प्रायिकता $\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}, \operatorname{gcd}(\mathrm{m}, \mathrm{n})=1$ है, तो $\mathrm{n}^2-\mathrm{m}^2$ बराबर है :

यदि फलन $f(x)=\frac{5-x}{x^2-3 x+2}, x \neq 1,2$, का परिसर $(-\infty, \alpha] \cup[\beta, \infty)$ है, तो $\alpha^2+\beta^2$ बराबर है :

समीकरण $x|x-2|+3|x-3|+1=0$ के वास्तविक मूलों की संख्या है :

माना एक दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{\mathrm{a}^2}+\frac{y^2}{\mathrm{~b}^2}=1$ की एक नाभिलंब जीवा की लंबाई 10 है। यदि इसकी उत्केन्द्रता, फलन $f(\mathrm{t})=\mathrm{t}^2+\mathrm{t}+\frac{11}{12}, \mathrm{t} \in \mathrm{R}$, का न्यूनतम मान है, तो $\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2$ बराबर है :

माना दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{\mathrm{~b}^2}+\frac{y^2}{25}=1$ और अतिपरवलय $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{\mathrm{~b}^2}=1$ की उत्केन्द्रताएँ क्रमशः $\mathrm{e}_1$ और $\mathrm{e}_2$ हैं। यदि $b<5$ और $e_1 e_2=1$ हैं, तो उस दीर्घवृत्त, जो चारों नाभियों (दो दीर्घवृत्त की और दो अतिपरवल की) से होकर जाता है और जिसके अक्ष, निर्देशांक अक्षों के अनुदिश है, की उत्केन्द्रता है :

यदि बिंदु $\left(0,-\frac{1}{2}, 0\right)$ से होकर जाने वाली तथा रेखाओं $\overrightarrow{\mathrm{r}}=\lambda(\hat{i}+\mathrm{a} \hat{j}+\mathrm{b} \hat{k})$ और $\overrightarrow{\mathrm{r}}=(\hat{i}-\hat{j}-6 \hat{k})+\mu(-\mathrm{b} \hat{i}+\mathrm{a} \hat{j}+5 \hat{k})$ के लंबवत रेखा का समीकरण $\frac{x-1}{-2}=\frac{y+4}{\mathrm{~d}}=\frac{z-\mathrm{c}}{-4}$ है, तो $\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}+\mathrm{d}$ बराबर है :

यदि घनात्मक पदों की एक G.P. के दूसरे, चौथे और छठे पदों का योग 21 है तथा इसके आठवें, दसवें और बाहरवें पदों का योग 15309 है, तो इसके प्रथम नौ पदों का योग है :

यदि क्षेत्र $\left\{(x, y): 1+x^2 \leqslant y \leqslant \min \{x+7,11-3 x\}\right\}$ का क्षेत्रफल A है, तो 3 A बराबर है :

समीकरण $\cos 2 \theta \cos \frac{\theta}{2}+\cos \frac{5 \theta}{2}=2 \cos ^3 \frac{5 \theta}{2}$ के $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ में हलों की संख्या है :

रेखाओं $\mathrm{L}_1: x-1=y-2=\mathrm{z}$ और $\mathrm{L}_2: x-2=y=\mathrm{z}-1$ का विचार कीजिए। माना बिंदु $\mathrm{P}(5,1,-3)$ से रेखाओं $\mathrm{L}_1$ और $\mathrm{L}_2$ पर डाले गए लंब के पाद क्रमश: Q और R हैं। यदि त्रिभुज PQR का क्षेत्रफल A है, तो $4 \mathrm{~A}^2$ बराबर है :

Let $\mathrm{A}=\{(\alpha, \beta) \in \mathbf{R} \times \mathbf{R}:|\alpha-1| \leqslant 4$ and $|\beta-5| \leqslant 6\}$ and $B=\left\{(\alpha, \beta) \in \mathbf{R} \times \mathbf{R}: 16(\alpha-2)^2+9(\beta-6)^2 \leqslant 144\right\}$. Then

माना बराबर परिमाण के दो सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ इस प्रकार हैं कि $\frac{|\vec{a}+\vec{b}|+|\vec{a}-\vec{b}|}{|\vec{a}+\vec{b}|-|\vec{a}-\vec{b}|}=\sqrt{2}+1$ है। तो $\frac{|\vec{a}+\vec{b}|^2}{|\vec{a}|^2}$ बराबर है :

Let $p$ be the number of all triangles that can be formed by joining the vertices of a regular polygon P of n sides and q be the number of all quadrilaterals that can be formed by joining the vertices of P. If $\mathrm{p}+\mathrm{q}=126$, then the eccentricity of the ellipse $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{\mathrm{n}}=1$ is:

माना एक यादृच्छिक चर $X$ मान $0,1,2,3$ लेता है, जिनके लिए $P(X=0)=P(X=1)=p, P(X=2)=P(X=3)$ और $\mathrm{E}\left(\mathrm{X}^2\right)=2 \mathrm{E}(\mathrm{X})$ हैं। तो $8 \mathrm{p}-1$ का मान है :

माना समीकरण निकाय

$$\begin{aligned} & x+5 y-z=1 \\ & 4 x+3 y-3 z=7 \\ & 24 x+y+\lambda z=\mu \end{aligned}$$

$\lambda, \mu \in \mathbf{R}$, के अनंत हल हैं। तो इस निकाय के हलों, यदि $x, y, z$ पूर्णांक हैं और $7 \leqslant x+y+z \leqslant 77$ को संतुष्ट करते हैं, की संख्या है :

यदि रेखाओं $y=x+1, y=4 x-8$ और $y=\mathrm{m} x+\mathrm{c}$ द्वारा बनाए गए त्रिभुज का लंबकेन्द्र $(3,-1)$ है, तो $\mathrm{m}-\mathrm{c}$ बराबर है :

श्रेणी $2 \times 1 \times{ }^{20} \mathrm{C}_4-3 \times 2 \times{ }^{20} \mathrm{C}_5+4 \times 3 \times{ }^{20} \mathrm{C}_6-5 \times 4 \times{ }^{20} \mathrm{C}_7+\cdots+18 \times 17 \times{ }^{20} \mathrm{C}_{20}$, का योग है __________ |

यदि फलन $f(x)=\frac{\tan (\tan x)-\sin (\sin x)}{\tan x-\sin x}, x=0$ पर संतत है, तो $f(0)$ बराबर है __________|

यदि $\int\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^3}\right)\left(\sqrt[23]{3 x^{-24}+x^{-26}}\right) \mathrm{d} x=-\frac{\alpha}{3(\alpha+1)}\left(3 x^\beta+x^\gamma\right)^{\frac{\alpha+1}{\alpha}}+\mathrm{C}, x>0,(\alpha, \beta, \gamma \in \mathbf{Z})$, जहाँ C समाकलन अचर है, तो $\alpha+\beta+\gamma$ बराबर है ________ I

माना एक मानक अतिपरवलय के अनुप्रस्थ और संयुग्मी अक्षों की लंबाईयाँ क्रमशः 2 a और 2 b हैं तथा इस अतिपरवलय की एक नाभि और संगत नियता क्रमश: $(-5,0)$ और $5 x+9=0$ हैं। यदि इस अतिपरवलय पर बिंदु $(\alpha, 2 \sqrt{5})$ की नाभीय दूरियों का गुणनफल $p$ है, तो $4 p$ बराबर है __________ I

माना $\mathrm{t}>-1$ के लिए समीकरण $\left((\mathrm{t}+2)^{1 / 6}-1\right) x^2+\left((\mathrm{t}+2)^{1 / 6}-1\right) x+\left((\mathrm{t}+2)^{1 / 21}-1\right)=0$ के मूल $\alpha_{\mathrm{t}}$ और $\beta_{\mathrm{t}}$ हैं। यदि $\lim _\limits{\mathrm{t} \rightarrow-1^{+}} \alpha_{\mathrm{t}}=\mathrm{a}$ और $\lim _\limits{\mathrm{t} \rightarrow-1^{+}} \beta_{\mathrm{t}}=\mathrm{b}$ हैं, तो $72(\mathrm{a}+\mathrm{b})^2$ बराबर है _________ |