माना एक अतिपरवलय $$H$$ की नाभियाँ, दीर्घवृत $$E: \frac{(x-1)^2}{100}+\frac{(y-1)^2}{75}=1$$ की नाभियों पर हैं तथा अतिपरवलय $$H$$ की उत्केन्द्रता, दीर्घवृत $$E$$ की उत्केन्द्रता व्युत्क्रम (reciprocal) है। यदि अतिपरवलय $$H$$ के अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $$\alpha$$ हे तथा इसके संयुग्मी अक्ष की लंबाई $$\beta$$ हे, तो $$3 \alpha^2+2 \beta^2$$ बराबर है

माना $$z$$ एक सम्मिश्र संख्या है, जिसके लिए $$\frac{z-2 i}{z+2 i}$$ का वास्तविक भाग शून्य है। तो $$|z-(6+8 i)|$$ का अधिकतम मान बराबर है

माना फलन $$f(x)=\frac{1}{2+\sin 3 x+\cos 3 x}, x \in \mathbb{R}$$ का परिसर $$[a, b]$$ हे। यदि $$a$$ और $$b$$ के A.M. तथा G.M. क्रमशः $$\alpha$$ तथा $$\beta$$ हैं, तो $$\frac{\alpha}{\beta}$$ बराबर है

माना $$\int_\limits0^x \sqrt{1-\left(y^{\prime}(t)\right)^2} d t=\int_\limits0^x y(t) d t, 0 \leq x \leq 3, y \geq 0, y(0)=0$$ हें। तो $$x=2$$ पर $$y^{\prime \prime}+y+1$$ बराबर है

किसी त्रिभुज $$\mathrm{ABC}$$ के दो शीर्ष $$\mathrm{A}(3,-1)$$ और $$\mathrm{B}(-2,3)$$ हैं तथा उसका लंब केन्द्र $$\mathrm{P}(1,1)$$ हे। यदि बिन्दु $$C$$ के निर्देशांक $$(\alpha, \beta)$$ हैं तथा त्रिभुज $$\mathrm{P A B}$$ के परिवृत्त का केन्द्र $$\mathrm{(h, k)}$$ है, तब $$(\alpha+\beta)+2(\mathrm{~h}+\mathrm{k})$$ का मान बराबर है

समाकलन $$\int_\limits{1 / 4}^{3 / 4} \cos \left(2 \cot ^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right) d x$$ बराबर है

माना समीकरण $$x^2-\sqrt{2} x-\sqrt{3}=0$$ के मूल $$\alpha, \beta ; \alpha>\beta$$ हैं। माना $$\mathrm{P}_n=\alpha^n-\beta^n, n \in \mathrm{N}$$ हे। तो $$(11 \sqrt{3}-10 \sqrt{2}) \mathrm{P}_{10}+(11 \sqrt{2}+10) \mathrm{P}_{11}-11 \mathrm{P}_{12}$$ बराबर हे

यदि $$\log _e y=3 \sin ^{-1} x$$ है, तो $$x=\frac{1}{2}$$ पर $$\left(1-x^2\right) y^{\prime \prime}-x y^{\prime}$$ बराबर है

यदि एक अनभिनत पासे को तीन बार फेंका जाता है, तो $$i=2,3$$ के लिए $$i$$-वीं बार फेंकने पर प्राप्त संख्या के, ($$i-1$$)-वीं बार फेंकने पर प्राप्त संख्या से अधिक होने की प्रायिकता हे

$$\lim _\limits{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}\left(\frac{\int_\limits{x^3}^{(\pi / 2)^3}\left(\sin \left(2 t^{1 / 3}\right)+\cos \left(t^{1 / 3}\right)\right) d t}{\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2}\right)$$ बराबर है

समाकलन $$\int_\limits{-1}^2 \log _e\left(x+\sqrt{x^2+1}\right) d x$$ का मान है

निम्नलिखित दो कथनों:

कथन $$\mathrm{I}$$ : माना $$\vec{a}=\hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}$$ और $$\vec{b}=2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$$ हैं। तो $$\vec{a} \times \vec{r}=\vec{a} \times \vec{b}$$ तथा $$\vec{a} \cdot \vec{r}=0$$ को संतुष्ट करने वाले सदिश $$\vec{r}$$ का परिमाण $$\sqrt{10}$$ हे।

कथन $$\mathrm{II}$$ : एक त्रिभुज $$A B C$$ में $$\cos 2 A+\cos 2 B+\cos 2 C \geq-\frac{3}{2}$$ है। में से

यदि बारंबारता बंटन

$$x$$	$$c$$	$$2c$$	$$3c$$	$$4c$$	$$5c$$	$$6c$$
$$f$$	2	1	1	1	1	1

का प्रसरण 160 है, तो $$c \in \mathbb{N}$$ का मान है

माना $$B=\left[\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 1 & 5\end{array}\right]$$ है तथा एक $$2 \times 2$$ आव्यूह $$A$$ के लिए $$A B^{-1}=A^{-1}$$ है। यदि $$B C B^{-1}=A$$ तथा $$C^4+\alpha C^2+\beta I=O$$ हैं, तो $$2 \beta-\alpha$$ बराबर है

$$\lim _\limits{x \rightarrow 0} \frac{e-(1+2 x)^{\frac{1}{2 x}}}{x}$$ बराबर है

बिंदुओं $$(1,2,3)$$ तथा $$(2,3,5)$$ से होकर जाने वाली रेखा $$L$$ का विचार कीजिए। रेखा $$\frac{3 x-11}{2}=\frac{3 y-11}{1}=\frac{3 z-19}{2}$$ के अनुदिश, बिंदु $$\left(\frac{11}{3}, \frac{11}{3}, \frac{19}{3}\right)$$ की रेखा $$\mathrm{L}$$ से दूरी है:

प्रथम चतुर्थांश में रेखा $$y=x$$ के नीचे दीचर्वृत $$x^2+3 y^2=18$$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) हे

माना $$a, a r, a r^2$$, ........... एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी हे। यदि $$\sum_\limits{n=0}^{\infty} a r^n=57$$ तथा $$\sum_\limits{n=0}^{\infty} a^3 r^{3 n}=9747$$ हें, तो $$a+18 r$$ बराबर है

$$\left(x^{2 / 3}+\frac{1}{2} x^{-2 / 5}\right)^9$$ के द्विपद प्रसार में $$x^{2 / 3}$$ तथा $$x^{-2 / 5}$$ के गुणांकों का योग है

माना $$\vec{a}=2 \hat{i}+\alpha \hat{j}+\hat{k}, \vec{b}=-\hat{i}+\hat{k}, \vec{c}=\beta \hat{j}-\hat{k}$$ हैं, जहाँ $$\alpha$$ और $$\beta$$ पूर्णांक हैं और $$\alpha \beta=-6$$ हे। माना क्रमित युग्म $$(\alpha, \beta)$$ के मान, जिनके लिए विकर्णों $$\vec{a}+\vec{b}$$ और $$\vec{b}+\vec{c}$$ के समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $$\frac{\sqrt{21}}{2}$$ है, $$\left(\alpha_1, \beta_1\right)$$ और $$\left(\alpha_2, \beta_2\right)$$ हैं। तो $$\alpha_1^2+\beta_1^2-\alpha_2 \beta_2$$ बराबर है

माना $$A=\{(x, y): 2 x+3 y=23, x, y \in \mathbb{N}\}$$ तथा $$B=\{x:(x, y) \in A\}$$. हें। तो $$A$$ से $$B$$ के एकेकी फलनों की संख्या है ___________.

माना परवलय $$y^2=6 x$$ पर तीन बिंदु $$A, B$$ तथा $$C$$ हैं और माना $$C$$ से होकर जाने वाली तथा $$x$$-अक्ष के समांतर रेखा $$L$$, रेखाखंड $$A B$$ को बिंदु $$D$$ पर मिलती हे। माना $$A$$ तथा $$B$$ से रेखा $$L$$ पर डाले गए लम्बों के पाद क्रमशः $$M$$ तथा $$N$$ हैं। तो $$\left(\frac{A M \cdot B N}{C D}\right)^2$$ बराबर है _________.

आव्यूहों $$A=\left[\begin{array}{cc}2 & -5 \\ 3 & m\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{l}20 \\ m\end{array}\right], X=\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right]$$ का विचार कीजिए। माना $$m$$ के सभी मान, जिनके लिए समीकरण निकाय $$A X=B$$ का ऋणात्मक हल (अर्थात, $$x<0$$ और $$y<0$$) का समुच्चय, अंतराल $$(a, b)$$ हे। तो $$8 \int_\limits a^b|A| d m$$ बराबर है _________.

एक अवकलनीय फलन $$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ के लिए, माना $$f^{\prime}(x)=3 f(x)+\alpha$$, जहाँ $$\alpha \in \mathbb{R}, f(0)=1$$ तथा $$\lim _\limits{x \rightarrow-\infty} f(x)=7$$ हें। तो $$9 f\left(-\log _e 3\right)$$ बराबर हे __________.

वृत्त $$C: x^2+y^2=4$$ तथा परवलय $$P: y^2=8 x$$ का विचार कीजिए। यदि $$\alpha$$ के सभी मानों, जिनके लिए बिंदु $$(\alpha, 0)$$ से होकर जाने वाली तीन भिन्न रेखाओं पर वृत्त $$C$$ की तीन जावाएँ, परवलय $$P$$ द्वारा समद्विभाजित होती हैं, का समुच्चय अंतराल $$(p, q)$$ हे, तो $$(2 q-p)^2$$ बराबर है ________.

बिंदु $$(6,1,5)$$ के रखा $$\frac{x-1}{3}=\frac{y}{2}=\frac{z-2}{4}$$ में प्रतिबिंब की मूल बिंदु से दूरी का वर्ग है _________.

माना $$p$$ के सभी मानों, जिनके लिए $$f(x)=\left(p^2-6 p+8\right)\left(\sin ^2 2 x-\cos ^2 2 x\right)+2(2-p) x+7$$ का एक भी क्रांतिक बिंदु नहीं है, का समुच्चय, अंतराल $$(a, b)$$ हे। तो $$16 a b$$ बराबर है __________.

100 और 1000 के बीच पूर्णांकों, जिनके अंकों का योग 14 है, की संख्या है _________.

माना प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन मुख्य मान लेते हैं। तो समीकरण $$2 \sin ^{-1} x+3 \cos ^{-1} x=\frac{2 \pi}{5}$$ के वास्तविक हलों की संख्या है ___________.

यदि $$\left(\frac{1}{\alpha+1}+\frac{1}{\alpha+2}+\ldots . .+\frac{1}{\alpha+1012}\right)-\left(\frac{1}{2 \cdot 1}+\frac{1}{4 \cdot 3}+\frac{1}{6 \cdot 5}+\ldots . .+\frac{1}{2024 \cdot 2023}\right)=\frac{1}{2024}$$ है, तो $$\alpha$$ बराबर हे __________.