एक आयत ABCD जिसकी भुजाएँ 2 और 4 हैं, दूसरे आयत PQRS में निहित है जिसके कोने आयत PQRS की भुजाओं पर स्थित हैं। जब आयत PQRS का क्षेत्रफल अधिकतम हो, तो आयत PQRS की भुजाओं को a और b कहा जाता है। तब (a+b)$$^2$$ का मान है :

यदि $$A=\{1,3,7,9,11\}$$ और $$B=\{2,4,5,7,8,10,12\}$$, तो एक-एक (one-one) नक्शों की कुल संख्या $$f: A \rightarrow B$$, जिसके लिए $$f(1)+f(3)=14$$, है :

मूल बिंदु $$\mathrm{O}$$ से खींची गई दो सीधी रेखाएँ रेखा $$3 x+4 y=12$$ को बिंदु $$\mathrm{P}$$ और $$\mathrm{Q}$$ पर प्रतिच्छेद करती हैं ऐसे कि $$\triangle \mathrm{OPQ}$$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है और $$\angle \mathrm{POQ}=90^{\circ}$$. यदि $$l=\mathrm{OP}^2+\mathrm{PQ}^2+\mathrm{QO}^2$$, तो $$l$$ से कम या बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक है :

यदि रेखा $$\frac{2-x}{3}=\frac{3 y-2}{4 \lambda+1}=4-z$$ रेखा $$\frac{x+3}{3 \mu}=\frac{1-2 y}{6}=\frac{5-z}{7}$$ के साथ समकोण बनाती है, तो $$4 \lambda+9 \mu$$ के बराबर है:

निम्नलिखित दो कथन पर विचार करें :

कथन I: किसी भी दो गैर-शून्य जटिल संख्याओं $$z_1, z_2,(|z_1|+|z_2|)\left|\frac{z_1}{\left|z_1\right|}+\frac{z_2}{\left|z_2\right|}\right| \leq 2\left(\left|z_1\right|+\left|z_2\right|\right) \text {, और }$$

कथन II : यदि $$x, y, z$$ तीन विशिष्ट जटिल संख्याएँ हैं और $$\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$$ तीन सकारात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं जिनके लिए $$\frac{\mathrm{a}}{|y-z|}=\frac{\mathrm{b}}{|z-x|}=\frac{\mathrm{c}}{|x-y|}$$, तब $$\frac{\mathrm{a}^2}{y-z}+\frac{\mathrm{b}^2}{z-x}+\frac{\mathrm{c}^2}{x-y}=1$$ है।

उपरोक्त दो कथनों के बीच,

माना A और B तीसरे क्रम के दो वर्ग मैट्रिक्स हैं जिनके लिए $$\mathrm{|A|=3}$$ और $$\mathrm{|B|=2}$$. तब $$|\mathrm{A}^{\mathrm{T}} \mathrm{A}(\operatorname{adj}(2 \mathrm{~A}))^{-1}(\operatorname{adj}(4 \mathrm{~B}))(\operatorname{adj}(\mathrm{AB}))^{-1} \mathrm{AA}^{\mathrm{T}}|$$ का मान है :

मान लीजिए एक वृत्त C जिसकी त्रिज्या 1 है और यह मूलभूत बिंदु के समीप हो, ऐसा है कि बिंदु $$(3,2)$$ के माध्यम से गुजरने वाली और निर्देशांक अक्षों के समानांतर रेखाएं इसे स्पर्श करती हैं। तब बिंदु $$(5,5)$$ से वृत्त C की सबसे छोटी दूरी है :

यदि $$f(x)=x^5+2 x^3+3 x+1, x \in \mathbf{R}$$ और $$g(x)$$ एक ऐसा फ़ंक्शन है जिसके लिए $$g(f(x))=x$$ सभी $$x \in \mathbf{R}$$ के लिए, तो $$\frac{g(7)}{g^{\prime}(7)}$$ का मान है :

क्वाड्रेटिक समीकरण $$a x^2+b x+c=0$$ में गुणांक $$a, b, c$$ सेट $$\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$$ में से चुने गए हैं। इस समीकरण में पुनरावृत्त जड़ें होने की संभावना है:

यदि समीकरणों की प्रणाली

$$\begin{array}{r} 11 x+y+\lambda z=-5 \\ 2 x+3 y+5 z=3 \\ 8 x-19 y-39 z=\mu \end{array}$$

के अनंत समाधान हैं, तो $$\lambda^4-\mu$$ का मान है :

समाकलन $$\int_\limits0^{\pi / 4} \frac{136 \sin x}{3 \sin x+5 \cos x} \mathrm{~d} x$$ का मान समान है :

यदि $$\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}=m$$ और $$\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\ldots+\frac{1}{99 \cdot 100}=\mathrm{n}$$, तो बिंदु $$(\mathrm{m}, \mathrm{n})$$ रेखा पर स्थित है

रेखाओं $$\frac{x+6}{3}=\frac{y}{2}=\frac{z+1}{1}$$ और $$\frac{x-7}{4}=\frac{y-9}{3}=\frac{z-4}{2}$$ के चौराहे के बिंदु की दूरी $$\mathrm{d}$$, बिंदु $$(7,8,9)$$ से है। तब $$\mathrm{d}^2+6$$ का मान है :

यदि फंक्शन $$f(x)=\frac{\sin 3 x+\alpha \sin x-\beta \cos 3 x}{x^3}, x \in \mathbf{R}$$, $$x=0$$ पर निरंतर है, तब $$f(0)$$ का मान है :

किसी रेखा $$2 x+3 y-\mathrm{k}=0, \mathrm{k}>0$$, जो $$x$$-अक्ष और $$y$$-अक्ष से $$\mathrm{A}$$ और $$\mathrm{B}$$ बिंदुओं पर काटती है, के व्यास के रूप में $$A B$$ रेखा खंड वाले वृत्त का समीकरण $$x^2+y^2-3 x-2 y=0$$ है और दीर्घवृत्त $$x^2+9 y^2=k^2$$ के लैटस रेक्टम की लंबाई $$\frac{m}{n}$$ है, जहाँ $$m$$ और $$n$$ सहप्रमेय हैं, तो $$2 \mathrm{~m}+\mathrm{n}$$ के बराबर है

$$\int_\limits{-\pi}^\pi \frac{2 y(1+\sin y)}{1+\cos ^2 y} d y$$ का मान है :

मान लीजिए $$\theta \in\left[0, \frac{\pi}{4}\right]$$ $4 \cos \theta-3 \sin \theta=1$ का हल है। तब $$\cos \theta$$ बराबर है :

फ़ंक्शन के लिए

$$f(x)=\sin x+3 x-\frac{2}{\pi}\left(x^2+x\right), \text { जहां } x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right],$$

निम्नलिखित दो कथनों पर विचार करें :

(I) $$f$$ $$\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$$ में बढ़ रहा है।

(II) $$f^{\prime}$$ $$\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$$ में कम हो रहा है।

उपरोक्त दो कथनों के बीच,

यदि $$\mathrm{A}(1,-1,2), \mathrm{B}(5,7,-6), \mathrm{C}(3,4,-10)$$ और $$\mathrm{D}(-1,-4,-2)$$ चतुष्कोण ABCD के शीर्ष हैं, तो उसका क्षेत्रफल है:

यदि $$y=y(x)$$ डिफरेंशियल समीकरण $$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+2 y=\sin (2 x), y(0)=\frac{3}{4}$$ का समाधान है, तब $$y\left(\frac{\pi}{8}\right)$$ के बराबर है :

पैराबोलास $$y=x^2-5x$$ और $$y=7x-x^2$$ द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ________ है।

10 वस्तुओं के एक समूह से, जिसमें 3 दोषपूर्ण वस्तुएँ शामिल हैं, 5 वस्तुओं का नमूना यादृच्छिक रूप से लिया जाता है। यादृच्छिक चर $$X$$ नमूने में दोषपूर्ण वस्तुओं की संख्या को दर्शाता है। यदि $$X$$ का विचलन $$\sigma^2$$ है, तो $$96 \sigma^2$$ के बराबर है __________।

मान लीजिए $$\mathrm{AB}$$ परबोला $$y^2=12 x$$ की एक फोकल तार है जिसकी लंबाई $$l$$ है और ढलान $$\mathrm{m}<\sqrt{3}$$. यदि तार $$\mathrm{AB}$$ की मूलभूत दूरी $$\mathrm{d}$$ है, तो $$l \mathrm{~d}^2$$ का मान है _________.

एक पासा चार बार फेंकने पर 16 का योग प्राप्त करने के तरीकों की संख्या ________ है।

यदि $$f$$ एक विभेद्य फ़ंक्शन हो जो अंतराल $$(0, \infty)$$ में परिभाषित है ताकि $$f(1)=1$$ और $$\lim _\limits{t \rightarrow x} \frac{t^2 f(x)-x^2 f(t)}{t-x}=1$$ प्रत्येक $$x>0$$ के लिए हो। फिर $$2 f(2)+3 f(3)$$ के बराबर है _________।

यदि $$S=\{a \in \mathbf{R}:|2 a-1|=3[a]+2\{a \}\}$$, जहाँ $$[t]$$ का अर्थ है $$t$$ से कम या बराबर का सबसे बड़ा पूर्णांक और $$\{t\}$$ का अर्थ है $$t$$ का भिन्नात्मक भाग, तो $$72 \sum_\limits{a \in S} a$$ का मान _________ है।

अगर $$a_1, a_2, a_3, \ldots$$ धनात्मक पदों के समान्तर श्रेणी में हों।

और $$A_k=a_1^2-a_2^2+a_3^2-a_4^2+\ldots+a_{2 k-1}^2-a_{2 k}^2$$ हो।

यदि $$\mathrm{A}_3=-153, \mathrm{~A}_5=-435$$ और $$\mathrm{a}_1^2+\mathrm{a}_2^2+\mathrm{a}_3^2=66$$ है, तो $$\mathrm{a}_{17}-\mathrm{A}_7$$ के बराबर है ________।

दिए गए हैं $$\overrightarrow{\mathrm{a}}=\hat{i}-3 \hat{j}+7 \hat{k}, \overrightarrow{\mathrm{b}}=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$$ और $$\overrightarrow{\mathrm{c}}$$ ऐसा वेक्टर है कि $$(\overrightarrow{\mathrm{a}}+2 \overrightarrow{\mathrm{b}}) \times \overrightarrow{\mathrm{c}}=3(\overrightarrow{\mathrm{c}} \times \overrightarrow{\mathrm{a}})$$। यदि $$\vec{a} \cdot \vec{c}=130$$ है, तो $$\vec{b} \cdot \vec{c}$$ का मान __________ है।

यदि $$\left(1+2 x-3 x^3\right)\left(\frac{3}{2} x^2-\frac{1}{3 x}\right)^9$$ के विस्तार में स्थिरांक पद $$\mathrm{p}$$ है, तो $$108 \mathrm{p}$$ का मान ________ है।

समीकरण $$|x||x+2|-5|x+1|-1=0$$ के विशिष्ट वास्तविक जड़ों की संख्या _____ है।