एक थैली में 8 गेंदें हैं, जिनके रंग सफेद या काले हो सकते हैं। बिना प्रतिस्थापन के यादृच्छिक रूप से 4 गेंदें निकाली जाती हैं और पाया जाता है कि 2 गेंदें सफेद हैं और अन्य 2 गेंदें काले हैं। संभावना यह है कि थैली में सफेद और काली गेंदों की संख्या बराबर है :

समाकलन $\int\limits_0^{\pi / 4} \frac{x \mathrm{~d} x}{\sin ^4(2 x)+\cos ^4(2 x)}$ का मान है :

यदि $\mathrm{A}=\left[\begin{array}{cc}\sqrt{2} & 1 \\ -1 & \sqrt{2}\end{array}\right], \mathrm{B}=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right], \mathrm{C}=\mathrm{ABA}^{\mathrm{T}}$ और $\mathrm{X}=\mathrm{A}^{\mathrm{T}} \mathrm{C}^2 \mathrm{~A}$, तब $\operatorname{det} \mathrm{X}$ का मान है :

यदि $\tan \mathrm{A}=\frac{1}{\sqrt{x\left(x^2+x+1\right)}}, \tan \mathrm{B}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x^2+x+1}}$ और

$\tan \mathrm{C}=\left(x^{-3}+x^{-2}+x^{-1}\right)^{1 / 2}, 0<\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}<\frac{\pi}{2}$, तब $\mathrm{A}+\mathrm{B}$ का मान है :

यदि $\mathrm{n}$ पाँच विभिन्न कर्मचारियों के चार अविभाज्य कार्यालयों में बैठने के तरीकों की संख्या है जहाँ कोई भी कार्यालय किसी भी संख्या में व्यक्तियों को सम्मिलित कर सकता है शून्य सहित, तब $\mathrm{n}$ का मान है :

यदि $\mathrm{S}=|\mathrm{z} \in \mathrm{C}:| z-1 \mid=1$ और $(\sqrt{2}-1)(z+\bar{z})-i(z-\bar{z})=2 \sqrt{2} \mid$ हो। यदि $z_1, z_2 \in \mathrm{S}$ ऐसे हों कि $\left|z_1\right|=\max\limits_{z \in s}|z|$ और $\left|z_2\right|=\min\limits _{z \in S}|z|$। तब $\left|\sqrt{2} z_1-z_2\right|^2$ का मान क्या है :

यदि 7 प्रेक्षण $170,125,230,190,210$, a, b का मध्यांक और मध्यांक के संबंध में माध्य विचलन क्रमशः 170 और $\frac{205}{7}$ है। तब इन 7 प्रेक्षणों का माध्य के संबंध में माध्य विचलन कितना है:

यदि $\overrightarrow{\mathrm{a}}=-5 \hat{i}+\hat{j}-3 \hat{k}, \overrightarrow{\mathrm{b}}=\hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}$ और

$\overrightarrow{\mathrm{c}}=(((\overrightarrow{\mathrm{a}} \times \overrightarrow{\mathrm{b}}) \times \hat{i}) \times \hat{i}) \times \hat{i}$ हो। तब $\vec{c} \cdot(-\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ का मान क्या है :

यदि $\mathbf{S}=\left\{x \in \mathbf{R}:(\sqrt{3}+\sqrt{2})^x+(\sqrt{3}-\sqrt{2})^x=10\right\}$ हो। तब $\mathrm{S}$ में तत्वों की संख्या कितनी है :

वक्र $x y+4 y=16$ और $x+y=6$ के द्वारा निर्मित क्षेत्रफल क्या है :

माना $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ और $g: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ को निम्नलिखित रूप में परिभाषित किया गया है:

$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\log _{\mathrm{e}} x, & x>0 \\ \mathrm{e}^{-x}, & x \leq 0\end{array}\right.$ और

$g(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & x \geqslant 0 \\ \mathrm{e}^x, & x<0\end{array}\right.$. तब, gof : $\mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ है :

यदि समीकरण प्रणाली

$$ \begin{aligned} & 2 x+3 y-z=5 \\\\ & x+\alpha y+3 z=-4 \\\\ & 3 x-y+\beta z=7 \end{aligned} $$

के अनंत समाधान होते हैं, तब $13 \alpha \beta$ के बराबर है :

यदि $0<\theta<\pi / 2$ के लिए, हाइपरबोला

$x^2-y^2 \operatorname{cosec}^2 \theta=5$ की उत्केंद्रता शंकु परिक्षेत्र की उत्केंद्रता की $\sqrt{7}$ गुणा है, तब $\theta$ का मान है :

माना $y=y(x)$ डिफरेंशियल समीकरण

$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=2 x(x+y)^3-x(x+y)-1, y(0)=1$ का समाधान है।

तब, $\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+y\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\right)^2$ के बराबर है :

माना $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ को निम्नलिखित रूप में परिभाषित किया गया है :

$$ f(x)= \begin{cases}\frac{a-b \cos 2 x}{x^2} ; & x<0 \\\\ x^2+c x+2 ; & 0 \leq x \leq 1 \\\\ 2 x+1 ; & x>1\end{cases} $$

यदि $f$ $\mathbf{R}$ में हर जगह निरंतर है और $m$ उन बिंदुओं की संख्या है जहाँ $f$ अवकलनीय नहीं है तब $\mathrm{m}+\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}$ के बराबर है :

माना $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, \mathrm{a}>\mathrm{b}$ एक दीर्घवृत्त है, जिसका विकेंद्रता $\frac{1}{\sqrt{2}}$ है और लेटसरेक्टम की लंबाई $\sqrt{14}$ है। तब $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ की विकेंद्रता का वर्ग है:

माना $3, a, b, c$ एक समांतर श्रेणी में हों और $3, a-1, b+1, c+9$ एक ज्यामितीय श्रेणी में हो। तब $a, b$ और $c$ का अंकगणितीय माध्य है:

माना $C: x^2+y^2=4$ और $C^{\prime}: x^2+y^2-4 \lambda x+9=0$ दो वृत्त हों। यदि $\lambda$ के सभी मानों का सेट जिससे वृत्त $\mathrm{C}$ और $\mathrm{C}$ दो विशिष्ट बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करें, $\mathrm{R}-[\mathrm{a}, \mathrm{b}]$ है, तब बिंदु $(8 \mathrm{a}+12,16 \mathrm{~b}-20)$ वक्र पर स्थित है :

यदि $5 f(x)+4 f\left(\frac{1}{x}\right)=x^2-2, \forall x \neq 0$ और $y=9 x^2 f(x)$, तब $y$ कठोरता से बढ़ता है :

यदि रेखाओं के बीच की सबसे छोटी दूरी

$\frac{x-\lambda}{-2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-1}{1}$ और $\frac{x-\sqrt{3}}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z-2}{1}$ के बीच 1 है, तो $\lambda$ के सभी संभव मूल्यों का योग है:

यदि $x=x(t)$ समीकरण $(t+1) \mathrm{d} x=\left(2 x+(t+1)^4\right) \mathrm{dt}, x(0)=2$ का समाधान है, तो, $x(1)$ के बराबर है _________.

$\mathrm{S}=\{(x, y, z): x, y, z \in \mathbf{Z}, x+2 y+3 z=42, x, y, z \geqslant 0\}$ में तत्वों की संख्या के बराबर है __________.

यदि $\left(1+\frac{1}{x}\right)^6\left(1+x^2\right)^7\left(1-x^3\right)^8 ; x \neq 0$ के विस्तार में $x^{30}$ का गुणांक $\alpha$ है, तो $|\alpha|$ के बराबर है ___________.

माना $3,7,11,15, \ldots, 403$ और $2,5,8,11, \ldots, 404$ दो सांख्यिकीय श्रेणियाँ हैं। तब उनमें साझा शब्दों का योग ___________ के बराबर है।

$\{x\}$ को $x$ का भिन्नांशीय भाग माना जाए और $f(x)=\frac{\cos ^{-1}\left(1-\{x\}^2\right) \sin ^{-1}(1-\{x\})}{\{x\}-\{x\}^3}, x \neq 0$ हो। यदि $\mathrm{L}$ और $\mathrm{R}$ क्रमशः $f(x)$ का $x=0$ पर बाएँ हाथ की सीमा और दाएँ हाथ की सीमा को दर्शाता है, तो $\frac{32}{\pi^2}\left(\mathrm{~L}^2+\mathrm{R}^2\right)$ का मान ___________ है।

माना, रेखा $\mathrm{L}: \sqrt{2} x+y=\alpha$ वृत्त $x^2+y^2=3$ और परबोल $x^2=2 y$ के प्रथम चतुर्थांश में स्थित अंतःछेदन बिंदु $\mathrm{P}$ से होकर जाती है। माना, रेखा $\mathrm{L}$ दो वृत्तों $\mathrm{C}_1$ और $\mathrm{C}_2$ को स्पर्श करती है, जिनकी त्रिज्या समान है, अर्थात् $2 \sqrt{3}$ है। यदि वृत्तों $C_1$ और $C_2$ के केंद्र $Q_1$ और $Q_2$ $y$-अक्ष पर स्थित हैं, तो त्रिभुज $\mathrm{PQ}_1 \mathrm{Q}_2$ के क्षेत्रफल का वर्ग ___________ के बराबर है।

माना, $\mathrm{P}=\{\mathrm{z} \in \mathbb{C}:|z+2-3 i| \leq 1\}$ और $\mathrm{Q}=\{\mathrm{z} \in \mathbb{C}: z(1+i)+\bar{z}(1-i) \leq-8\}$ है। माना, $\mathrm{P} \cap \mathrm{Q}$ में, $|z-3+2 i|$ का मान $z_1$ पर अधिकतम और $z_2$ पर न्यूनतम है। यदि $\left|z_1\right|^2+2\left|z_2\right|^2=\alpha+\beta \sqrt{2}$, जहाँ $\alpha, \beta$ पूर्णांक हैं, तब $\alpha+\beta$ का मान ___________ के बराबर है।

यदि $\int\limits_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{8 \sqrt{2} \cos x \mathrm{~d} x}{\left(1+\mathrm{e}^{\sin x}\right)\left(1+\sin ^4 x\right)}=\alpha \pi+\beta \log _{\mathrm{e}}(3+2 \sqrt{2})$, जहाँ $\alpha, \beta$ पूर्णांक हैं, तब $\alpha^2+\beta^2$ का मान है :

रेखाओं के बीच सबसे छोटी दूरी की रेखा मान लें

$$ \begin{aligned} & \mathrm{L}_1: \overrightarrow{\mathrm{r}}=(\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k})+\lambda(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) \text { और } \\\\ & \mathrm{L}_2: \overrightarrow{\mathrm{r}}=(4 \hat{i}+5 \hat{j}+6 \hat{k})+\mu(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}) \end{aligned} $$

क्रमशः $\mathrm{L}_1$ और $\mathrm{L}_2$ को $\mathrm{P}$ और $\mathrm{Q}$ में प्रतिच्छेद करती है। यदि $(\alpha, \beta, \gamma)$ रेखा खंड $\mathrm{PQ}$ का मध्य बिंदु है, तो $2(\alpha+\beta+\gamma)$ का मान ____________ है।

माना $A=\{1,2,3, \ldots, 20\}$ हो। माना $R_1$ और $R_2$ $A$ पर दो संबंध हैं जैसे कि

$R_1=\{(a, b): \text{b a द्वारा विभाज्य है}\}$

$R_2=\{(a, b): \text{a b का पूर्णांक गुणक है}\}$

तब, $R_1-R_2$ में तत्वों की संख्या _____________ के बराबर है।