माना $$\mathrm{A}=\{x \in \mathbb{R}:[x+3]+[x+4] \leq 3\}$$,

$$\mathrm{B}=\left\{x \in \mathbb{R}: 3^x\left(\sum_\limits{r=1}^{\infty} \frac{3}{10^r}\right)^{x-3}<3^{-3 x}\right\}$$ हैं, जहाँ [t] महत्तम पूर्णांक फलन है। तब,

यदि समीकरण निकाय

$$\begin{aligned} & x+y+a z=b \\ & 2 x+5 y+2 z=6 \\ & x+2 y+3 z=3 \end{aligned}$$

के अनंत हल हैं। तब $$2 a+3 b$$ बराबर है :

सरल रेखाएँ $$\mathrm{l_1}$$ व $$\mathrm{l_2}$$ मूल बिन्दु से होकर जाती हैं और रेखा $$\mathrm{L}: 9 x+5 y=45$$ के अक्षों के बीच रेखाखंड को तीन बराबर भागों में बाँटती हैं। यदि रेखाओं $$\mathrm{l_1}$$ व $$\mathrm{l_2}$$ की प्रवणताएँ $$\mathrm{m}_1$$ व $$\mathrm{m}_2$$ हैं, तब रेखाओं $$\mathrm{y}=\left(\mathrm{m}_1+\mathrm{m}_2\right) x$$ और $$\mathrm{L}$$ का प्रतिछेदन बिन्दु किस रेखा पर है?

एक आयताकार समांतर षट्फलक का एक शीर्ष मूल बिंदु $$\mathrm{O}$$ पर है और $$x, y$$ तथा $$z$$ अक्षों के अनुदिश इसके किनारों (edges) की लम्बाईयाँ क्रमश: 3,4 तथा 5 इकाई हैं। माना इसका शीर्ष P, बिंदु $$(3,4,5)$$ पर है। तब विकर्ण OP तथा $$z$$ अक्ष के समांतर इसके एक किनारे, जो O या $$\mathrm{P}$$ से होकर नहीं जाता है, के बीच न्यूनतम दूरी है:

15 संख्याओं के माध्य व प्रसरण क्रमशः 12 व 14 हैं। 15 और संख्याओं के माध्य व प्रसरण क्रमशः 14 व $$\sigma^2$$ हैं। यदि सभी 30 संख्याओं का प्रसरण 13 है, तो $$\sigma^2$$ बराबर है :

माना $$\mathrm{A}=\left[\mathrm{a}_{\mathrm{ij}}\right]_{2 \times 2}$$, जहाँ सभी $$\mathrm{i}, \mathrm{j}$$ के लिए $$\mathrm{a}_{\mathrm{ij}} \neq 0$$ एवं $$\mathrm{A}^2=\mathrm{I}$$ हैं। माना $$\mathrm{A}$$ के विकर्ण के सभी अवयवों का योग $$\mathrm{a}$$ है और $$\mathrm{b} =|\mathrm{A}|$$ है। तब $$3 \mathrm{a}^2+4 \mathrm{~b}^2$$ बराबर है :

माना $$5 f(x)+4 f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x}+3, x>0$$ है। तब $$18 \int_\limits1^2 f(x) d x$$ का मान है :

माना $$I(x)=\int \frac{x^2\left(x \sec ^2 x+\tan x\right)}{(x \tan x+1)^2} d x$$ है । यदि $$I(0)=0$$ है, तब $$I\left(\frac{\pi}{4}\right)$$ का मान है:

माना $$\vec{a}=2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}, \vec{b}=\hat{i}-2 \hat{j}-2 \hat{k}$$ व $$\vec{c}=-\hat{i}+4 \hat{j}+3 \hat{k}$$ हैं यदि एक सदिश $$\vec{d}$$ सदिशों $$\vec{b}$$ व $$\vec{c}$$, दोनों के लम्बवत है और $$\vec{a} \cdot \vec{d}=18$$ हे, तब $$|\vec{a} \times \vec{d}|^2$$ का मान है:

माना $$a_1, a_2, a_3, \ldots, a_{\mathrm{n}}$$ समांतर श्रेणी के धनात्मक क्रमागत $$\mathrm{n}$$ पद हैं। यदि सर्वान्तर $$\mathrm{d}>0$$ है, तब $$\lim _\limits{n \rightarrow \infty} \sqrt{\frac{d}{n}}\left(\frac{1}{\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}+\sqrt{a_3}}+\ldots \ldots \ldots+\frac{1}{\sqrt{a_{n-1}}+\sqrt{a_n}}\right)$$ का मान है:

समीकरण $$\left|x^2-8 x+15\right|-2 x+7=0$$ के सभी मूलों का योग है :

यदि $$\left(\sqrt[4]{2}+\frac{1}{\sqrt[4]{3}}\right)^{\mathrm{n}}$$ के विस्तार में आरंभ से पाँचवे पद का अंत से पाँचवे पद से अनुपात $$\sqrt{6}: 1$$ है, तब आरंभ से तीसरा पद है :

यदि $$2 x^y+3 y^x=20$$ है, तब $$(2,2)$$ पर $$\frac{d y}{d x}$$ का मान है:

माना अवकल समीकरण $$(x \cos x) d y+(x y \sin x+y \cos x-1) d x=0,0 < x < \frac{\pi}{2}$$ का हल $$y=y(x)$$ है। यदि $$\frac{\pi}{3} y\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}$$ है, तब $$\left|\frac{\pi}{6} y^{\prime \prime}\left(\frac{\pi}{6}\right)+2 y^{\prime}\left(\frac{\pi}{6}\right)\right|$$ का मान है ___________

यदि क्षेत्र $$S=\left\{(x, y): 2 y-y^2 \leq x^2 \leq 2 y, x \geq y\right\}$$ का क्षेत्रफल $$\frac{n+2}{n+1}-\frac{\pi}{n-1}$$ के बराबर है, तब प्राकृतिक संख्या $$n$$ बराबर है __________

माना बिन्दु $$(\mathrm{p}, \mathrm{p}+1)$$ क्षेत्र $$E=\left\{(x, y): 3-x \leq y \leq \sqrt{9-x^2}, 0 \leq x \leq 3\right\}$$ के अन्दर स्थित है। यदि $$\mathrm{p}$$ के सभी मानों का समुच्चय अन्तराल $$(\mathrm{a}, \mathrm{b})$$ है, तब $$\mathrm{b}^2+\mathrm{b}-\mathrm{a}^2$$ बराबर है ____________

माना $$a \in \mathbb{Z}$$ है तथा $$[\mathrm{t}]$$ महत्तम पूर्णांक $$\leq \mathrm{t}$$ है। तब उन बिंदुओं, जहाँ $$f(x)=[a+13 \sin x], x \in(0, \pi)$$ अवकलनीय नहीं है, की संख्या हे ___________

माना $$\mathrm{A}=\{1,2,3,4, \ldots . ., 10\}$$ और $$\mathrm{B}=\{0,1,2,3,4\}$$ हैं। सम्बन्ध $$\mathrm{R}=\left\{(\mathrm{a}, \mathrm{b}) \in \mathrm{A} \times \mathrm{A}: 2(\mathrm{a}-\mathrm{b})^2+3(\mathrm{a}-\mathrm{b}) \in \mathrm{B}\right\}$$ में अवयवों की संख्या है ____________

प्रथम चर्तुर्थांश में बिंदु $$\mathrm{P}(\alpha, \beta)$$ से होकर जाने वाला एक वृत्त, निर्देशांक अक्षों को बिंदुओं $$\mathrm{A}$$ तथा $$B$$ पर स्पर्श करता है। बिंदु $$P$$, रेखा $$A B$$ से ऊपर है। बिंदु $$P$$ से $$A B$$ पर डाले गए लंब का पाद रेखाखंड $$\mathrm{AB}$$ पर बिंदु $$\mathrm{Q}$$ है। यदि $$\mathrm{PQ}=11$$ इकाई हे, तो $$\alpha \beta$$ का मान है ___________

20 भिन्न संतरों को 3 बच्चों में बाँटने के तरीकों, ताकि प्रत्येक बच्चे को कम से कम एक संतरा मिले, की संख्या है ___________