माना एक फलन $$f(x)$$ इस प्रकार है कि सभी $$x, y \in \mathbb{N}$$ के लिए $$f(x+y)=f(x) \cdot f(y)$$ है। यदि $$f(1)=3$$ और $$\sum_\limits{k=1}^{n} f(k)=3279$$ है, तब $$\mathrm{n}$$ का मान है:

समीकरण $$3\left(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right)-2\left(x+\frac{1}{x}\right)+5=0$$ के वास्तविक हलों की संख्या है:

बिना पुनरावृति के अंकों $$3,5,6,7,8$$ के प्रयोग से बनने वाली $$7000$$ से बढ़ी पूर्ण संख्याओं की संख्या है

माना $$\vec{\alpha}=4 \hat{i}+3 \hat{j}+5 \hat{k}$$ एवं $$\vec{\beta}=\hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}$$ हैं। माना $$\vec{\beta}_{1}, \vec{\alpha}$$ के समान्तर है तथा $$\vec{\beta}_{2}, \vec{\alpha}$$ के लम्बवत हैं। यदि $$\vec{\beta}=\vec{\beta}_{1}+\vec{\beta}_{2}$$ है, तब $$5 \vec{\beta}_{2} \cdot(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$$ का मान है:

यदि समीकरणों

$$x+2 y+3 z=3$$

$$4 x+3 y-4 z=4$$

$$8 x+4 y-\lambda z=9+\mu$$

के अनंत हल है, तब कृमित युग्म $$(\lambda, \mu)$$ बराबर है:

$$a$$ के सभी मानों, जिनके लिए $$\lim_\limits{x \rightarrow a}([x-5]-[2 x+2])=0$$ है, जहाँ $$[\alpha]$$, महत्तम पूर्णांक $$\leq \propto$$ है, का समुच्चय है:

वृत्त $$C_1:(x-4)^2+(y-5)^2=4$$ की उन जीवाओ, जो वृत $$C_1$$ के केन्द्र पर $$\theta_i$$ कोण बनाती है, के मध्य बिन्दुओं का बिंदुपथ त्रिज्या $$r_i$$ का एक वृत्त है। यदि $$\theta_1=\frac{\pi}{3}, \theta_3=\frac{2 \pi}{3}$$ और $$r_1^2=r_2^2+r_3^2$$ है, तब $$\theta_2$$ बराबर है:

माना अवकल समीकरण $$\left(x^{2}-3 y^{2}\right) d x+3 x y ~d y=0, y(1)=1$$ का हल $$y=y(x)$$ है। तब $$6 y^{2}(\mathrm{e})$$ बराबर है:

यदि $$f(x)=\frac{2^{2 x}}{2^{2 x}+2}, x \in \mathbb{R}$$ है, तब $$f\left(\frac{1}{2023}\right)+f\left(\frac{2}{2023}\right)+\ldots+f\left(\frac{2022}{2023}\right)$$ बराबर है:

कोटि $$5$$ के वर्ग आव्यूहों, जिनके अवयव समुच्चय $$\{0,1\}$$ से हैं, प्रत्येक पंक्ति के सभी अवयवों का योग $$1$$ है तथा प्रत्येक स्थम्भ के सभी अवयवों का योग भी $$1$$ है, की संख्या है:

माना छः संख्याएं $$a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6}$$, समान्तर श्रेणी में है और $$a_{1}+a_{3}=10$$ है। यदि इन छः संख्याओं का माध्य $$\frac{19}{2}$$ है और इनका प्रसरण $$\sigma^{2}$$ है, तब $$8 \sigma^{2}$$ का मान है:

$$\left(\frac{1+\sin \frac{2 \pi}{9}+i \cos \frac{2 \pi}{9}}{1+\sin \frac{2 \pi}{9}-i \cos \frac{2 \pi}{9}}\right)^3$$ का मान है:

यदि $$f(x)=x^{3}-x^{2} f'(1)+x f''(2)-f'''(3), x \in \mathbb{R}$$ है, तब

$$\int\limits_{\frac{3 \sqrt{2}}{4}}^{\frac{3 \sqrt{3}}{4}} \frac{48}{\sqrt{9-4 x^{2}}} d x$$ बराबर है:

समुच्चय $$\{\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}, \mathrm{d}\}$$ पर संबंध $$\mathrm{R}=\{(\mathrm{a}, \mathrm{b}),(\mathrm{b}, \mathrm{c}),(\mathrm{b}, \mathrm{d})\}$$ में न्यूनतम कितने अवयव जोडे जाएं जिससे कि यह एक तुल्यता संबंध हो ____________

यदि $$\frac{x+\sqrt{6}}{2}=\frac{y-\sqrt{6}}{3}=\frac{z-\sqrt{6}}{4}$$ और $$\frac{x-\lambda}{3}=\frac{y-2 \sqrt{6}}{4}=\frac{z+2 \sqrt{6}}{5}$$, के बीच न्यूनतम दूरी $$6$$ है, तब $$\lambda$$ के सभी संभव मानों के योग का वर्ग है __________

माना $$\vec{a}=\hat{i}+2 \hat{j}+\lambda \hat{k}, \vec{b}=3 \hat{i}-5 \hat{j}-\lambda \hat{k}, \vec{a} \cdot \vec{c}=7,2 \vec{b} \cdot \vec{c}+43=0, \vec{a} \times \vec{c}=\vec{b} \times \vec{c}$$ हैं। तब $$|\vec{a} \cdot \vec{b}|$$ बराबर है __________

माना $$\left(x-\frac{3}{x^{2}}\right)^{n}, x \neq 0 . n \in \mathbb{N}$$ के प्रसार में प्रथम तीन पदों के गुणांकों का योग $$376$$ है। तो $$x^{4}$$ का गुणांक ___________ है।

एक त्रिभुज $$\mathrm{ABC}$$ की भुजाओं $$\mathrm{AB}, \mathrm{BC}$$ तथा $$\mathrm{CA}$$ के समीकरण क्रमशः $$2 x+y=0, x+p y=21 a,(a \neq 0)$$ तथा $$x-y=3$$ हैं। माना $$\triangle \mathrm{ABC}$$ का केन्द्रक $$\mathrm{P}(2, \mathrm{a})$$ है। तब $$(\mathrm{BC})^{2}$$ बराबर है ____________

माना $$\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$$ पर परिभाषित एक अवकलनीय फलन $$f$$ है जिसके लिए $$f(x)>0$$ और

$$f(x)+\int\limits_{0}^{x} f(t) \sqrt{1-\left(\log _{e} f(t)\right)^{2}} d t=e, \forall x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$$ है। तब $$\left(6 \log _{e} f\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)^{2}$$ बराबर है ___________

यदि वक्रों $$\mathrm{y}^{2}-2 y=-x, x+y=0$$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल $$\mathrm{A}$$ है, तो $$8 \mathrm{~A}$$ बराबर है _____________ |

तीन कलश $$\mathrm{A}, \mathrm{B}$$ एवं $$\mathrm{C}$$ में क्रमशः $$4$$ लाल, $$6$$ काली; $$5$$ लाल, $$5$$ काली एवं $$\lambda$$ लाल, $$4$$ काली गेंद हैं। एक कलश याहच्छया चुना जाता है तथा इसमें से एक गेंद निकाली जाती है। यदि निकाली गई गेंद लाल है तथा इसके कलश $$\mathrm{C}$$ से निकाले जाने की प्रायिकता $$0.4$$ है, तो परवलय $$y^{2}=\lambda x$$ के अंतर्गत सबसे बड़े समबाहु त्रिभुज, जिसका एक शीर्ष परवलय के शीर्ष पर है, की भुजा की लंबाई का वर्ग है ___________