दो पासे A और B फेंके जाते हैं। A और B पर प्राप्त संख्याओं को क्रमशः $$\alpha$$ और $$\beta$$ मान लें। यदि $$\alpha-\beta$$ का विचलन $$\frac{p}{q}$$ है, जहां $$p$$ और $$q$$ सहप्राइम हैं, तो $$p$$ के सकारात्मक गुणनखंडों का योग बराबर है

माना $$\mathrm{A}=\left[\begin{array}{cc} 1 & \frac{1}{51} \\ 0 & 1 \end{array}\right]$$ है। यदि $$\mathrm{B}=\left[\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ -1 & -1 \end{array}\right] \mathrm{A}\left[\begin{array}{cc} -1 & -2 \\ 1 & 1 \end{array}\right]$$ है, तो $$\sum_\limits{n=1}^{50} B^n$$ के सभी अवयवों का योग है:

अगर $$y=y(x), y > 0$$, एक विभेदी समीकरण का समाधान वक्र हो $$\left(1+x^{2}\right) \mathrm{d} y=y(x-y) \mathrm{d} x$$। अगर $$y(0)=1$$ और $$y(2 \sqrt{2})=\beta$$, तो

माना रेखाएँ $$l_1: \frac{x+5}{3}=\frac{y+4}{1}=\frac{z-\alpha}{-2}$$ तथा $$l_2: 3 x+2 y+z-2=0=x-3 y+2 z-13$$ सहलतीय हैं। यदि $$l_1$$ पर बिंदु $$\mathrm{P}(a, b, c)$$, बिंदु $$\mathrm{Q}(-4,-3,2)$$ के निकटतम है, तो $$|a|+|b|+|c|$$ बराबर है:

पांच अंकों की संख्या, 40000 से अधिक और 5 से विभाज्य, जो अंकों $$0,1,3,5,7$$ और 9 को दोहराए बिना बनाया जा सकता है, के बराबर है

माना सम्मिश्र तल में वृत्त $$\mathrm{C}$$ का केन्द्र $$\mathrm{z}_0=\frac{1}{2}(1+3 i)$$ तथा त्रिज्या $$r=1$$ हैं। माना $$\mathrm{z}_1=1+\mathrm{i}$$ हे तथा वृत्त के बाहर सम्मिश्र संख्या $$z_2$$ इस प्रकार हे कि $$\left|z_1-z_0\right|\left|z_2-z_0\right|=1$$ है। यदि $$z_0, z_1$$ तथा $$z_2$$ संरेख हैं, तो $$\left|z_2\right|^2$$ का छोटा मान बराबर है:

यदि बिंदु $$\left( {\alpha ,{{7\sqrt 3 } \over 3}} \right)$$ समीकरणों $$x\cos \theta + y\sin \theta = 7, \theta \in \left( {0,{\pi \over 2}} \right)$$ की रेखाओं के खंडों के मध्यबिंदुओं द्वारा चित्रित वक्र पर स्थित है, जो सहयोगी अक्षों के बीच होते हैं, तो $$\alpha$$ का मान क्या है?

माना द्विघातीय समीकरण $$x^2+\sqrt{6} x+3=0$$ के मूल $$\alpha, \beta$$ हैं। तो $$\frac{\alpha^{23}+\beta^{23}+\alpha^{14}+\beta^{14}}{\alpha^{15}+\beta^{15}+\alpha^{10}+\beta^{10}}$$ बराबर है:

एक अंडाकार वक्र के चार बिंदु $$\mathrm{P}\left(\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{7}}, \frac{6}{\sqrt{7}}\right), \mathrm{Q}, \mathrm{R}$$ और $$\mathrm{S}$$ हैं। चलिए $$\mathrm{PQ}$$ और $$\mathrm{RS}$$ आपस में समकोणीय हों और मूल के माध्यम से गुजरें। यदि $$\frac{1}{(P Q)^{2}}+\frac{1}{(R S)^{2}}=\frac{p}{q}$$, जहाँ $$p$$ और $$q$$ सहप्राइम हैं, तो $$p+q$$ के बराबर होता है

यदि फलन $$f(x)=\left(\frac{\sqrt{3 e}}{2 \sin x}\right)^{\sin ^2 x}, x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$$, का स्थानीय उच्चतम मान $$\frac{k}{e}$$ है, तो $$\left(\frac{k}{e}\right)^8+\frac{k^8}{e^5}+k^8$$ बराबर है:

वक्र $$y=x^{3}$$ द्वारा घेरे गए क्षेत्र का क्षेत्रफल और इसके स्पर्शक का क्षेत्रफल बिंदु $$(-1,-1)$$ पर है

माना फलन $$f(x)=\sin ^{-1}\left(\log _{3 x}\left(\frac{6+2 \log _3 x}{-5 x}\right)\right)$$ का प्राँत $$\mathrm{D}$$ है। यदि $$\mathrm{g}(x)=x-[x]$$, ([x] महत्तम पूर्णांक फलन है), द्वारा परिभाषित फलन $$\mathrm{g}: \mathrm{D} \rightarrow \mathbb{R}$$ का परिसर $$(\alpha, \beta)$$ है, तो $$\alpha^2+\frac{5}{\beta}$$ बराबर है:

माना $$\mathrm{D}_{\mathrm{k}}=\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 k & 2 k-1 \\ n & n^2+n+2 & n^2 \\ n & n^2+n & n^2+n+2\end{array}\right|$$ है। यदि $$\sum_\limits{k=1}^n \mathrm{D}_{\mathrm{k}}=96$$, तो $$n$$ बराबर है ____________

माना तीन अंक a, b, c A. P. में हैं। इनमें से प्रत्यक अंक को तीन बार प्रयोग कर 9 अंकों की संख्याएँ इस प्रकार बनाई जाती हैं कि तीन क्रमागत संख्याएँ कम से कम एक बार A.P. में हों। इस प्रकार की कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं?

प्रथम चतुर्थांश में $$r_1$$ तथा $$r_2$$ त्रिज्या के दो वृत्त निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करते हैं। इनमें से प्रत्येक रेखा $$x+y=2$$ से $$2$$ इकाई का अंतःखंड काटता है। तो $$r_1^2+r_2^2-r_1 r_2$$ बराबर है:

एक न्याय $$n(n > 1)$$ फलकों के पासे को बार बार फेंका जाता है जब तक कि $$n$$ से कम संख्या प्राप्त न हो जाए। यदि पासे को फेंकने की आवश्यक संख्याओं का माध्य $$\frac{n}{9}$$ है, तो $$n$$ बराबर है:

यदि $$\int_\limits{-0.15}^{0.15}\left|100 x^2-1\right| d x=\frac{k}{3000}$$ है, तो $$k$$ बराबर है ____________

सेट $$\{1,2,3\}$$ पर, $$(1,2)$$ और $$(2,3)$$ सम्मिलित करने वाले संबंधों की संख्या, जो प्रतिबिंबी और संचारी होते हैं परन्तु सममिति नहीं होते, वह है __________.

माना $$[x]$$ महत्तम पूर्णांक $$\leq x$$ है। तो अंतराल $$(-2,1)$$ में उन बिंदुओं, जहाँ फलन $$f(x)=|[x]|+\sqrt{x-[x]}$$ असंतत है, की संख्या है ___________

सकारात्मक संख्याएं $$a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$$ और $$a_{5}$$ एक G.P. में हों। उनका माध्य और विचलन क्रमशः $$\frac{31}{10}$$ और $$\frac{m}{n}$$ हों, जहाँ $$m$$ और $$n$$ सहप्राइम हैं। अगर उनके व्युत्क्रमों का माध्य $$\frac{31}{40}$$ हो और $$a_{3}+a_{4}+a_{5}=14$$, तब $$m+n$$ के बराबर होगा ___________.

माना $$I(x)=\int \sqrt{\frac{x+7}{x}} \mathrm{~d} x$$ तथा $$I(9)=12+7 \log _e 7$$ हैं। यदि $$I(1)=\alpha+7 \log _e(1+2 \sqrt{2})$$ है, तो $$\alpha^4$$ बराबर है ___________