माना $$\mathrm{S}=\left\{z=x+i y: \frac{2 z-3 i}{4 z+2 i}\right.$$ एक वास्तविक संख्या है $$\}$$ तो निम्न में कौन सा सही नहीं है?

भित्र कंपनियों की तीन कारों में आठ व्यक्तियों को शहर $$\mathrm{A}$$ से शहर $$\mathrm{B}$$ ले जाना है। यदि प्रत्येक कार में अधिकतम तीन व्यक्ति बेठ सकते हैं, तो इन व्यक्तियों को ले जाने के तरीकों की संख्या है :

माना $$(22)^{2022}+(2022)^{22}$$ को $$3$$ से विभाजित करने पर शेषफल $$\alpha$$ है तथा $$7$$ से विभाजित करने पर शेषफल $$\beta$$ है। तो $$\left(\alpha^2+\beta^2\right)$$ बराबर है :

माना $$\mathrm{g}(x)=f(x)+f(1-x)$$ तथा $$f^{\prime \prime}(x) > 0, x \in(0,1)$$ है। यदि $$\mathrm{g}$$ अंतराल $$(0, \alpha)$$ में ह्रासमान है तथा अंतराल $$(\alpha, 1)$$ में वर्धम है, तो $$\tan ^{-1}(2 \alpha)+\tan ^{-1}\left(\frac{1}{\alpha}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{\alpha+1}{\alpha}\right)$$ बराबर है।

$$(1+x)^{\mathrm{p}}(1-x)^{\mathrm{q}}$$ में $$x$$ तथा $$x^2$$ के गुणांक क्रमशः $$4$$ तथा $$-5$$ हैं, तो $$2 \mathrm{p}+3 \mathrm{q}$$ बराबर है

माना $$f$$ एक संतत फलन है तथा $$\int_\limits0^{t^2}\left(f(x)+x^2\right) d x=\frac{4}{3} t^3, \forall t > 0$$ है। तो $$f\left(\frac{\pi^2}{4}\right)$$ बराबर हे

$$\alpha, \beta, \gamma, \delta \in \mathbb{N}$$ के लिए, यदि $$\int\left(\left(\frac{x}{e}\right)^{2 x}+\left(\frac{e}{x}\right)^{2 x}\right) \log _e x d x=\frac{1}{\alpha}\left(\frac{x}{e}\right)^{\beta x}-\frac{1}{\gamma}\left(\frac{e}{x}\right)^{\delta x}+C$$ है, जहाँ $$e=\sum_\limits{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !}$$ तथा $$\mathrm{C}$$ समाकलन अचर है, तो $$\alpha+2 \beta+3 \gamma-4 \delta$$ बराबर है :

माना बंटन

$$x_i$$	0	1	2	3	4	5
$$f_i$$	$$\mathrm{k+2}$$	$$\mathrm{2k}$$	$$\mathrm{k^2-1}$$	$$\mathrm{k^2-1}$$	$$\mathrm{k^2+1}$$	$$\mathrm{k-3}$$

जहाँ $$\sum f_i=62$$ है, का माध्य $$\mu$$ तथा मानक विचलन $$\sigma$$ हैं। यदि $$[x]$$ महत्तम पूर्णांक $$\leq x$$ है, तो $$\left[\mu^2+\sigma^2\right]$$ बराबर है:

माना $$\vec{a}=2 \hat{i}+7 \hat{j}-\hat{k}, \vec{b}=3 \hat{i}+5 \hat{k}$$ तथा $$\vec{c}=\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$$ हैं। माना सदिशों $$\vec{a}$$ तथा $$\vec{b}$$ के लंबवत एक सदिश $$\vec{d}$$ है तथा $$\vec{c} \cdot \vec{d}=12$$ है। तो $$(-\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}) \cdot(\vec{c} \times \vec{d})$$ बराबर है:

यदि एक त्रिभुज $$\mathrm{ABC}$$ के परिकेन्द्र तथा लंबकेन्द्र क्रमशः $$\mathrm{P}$$ तथा $$\mathrm{Q}$$ हैं, तो $$\overrightarrow{\mathrm{PA}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}}$$ बराबर हैं:

माना $$\mathrm{A}$$ बिंदु $$(1,2)$$ है तथा वक्र $$x^2+y^2=16$$ पर कोई बिंदु $$\mathrm{B}$$ है। यदि रेखा खंड $$\mathrm{AB}$$ को $$3: 2$$ के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु $$\mathrm{P}$$ के बिंदुपथ का केन्द्र $$\mathrm{C}(\alpha, \beta)$$ है, तो रेखाखंड $$\mathrm{AC}$$ की लंबाई है :

माना $$\mathrm{A}=\{2,3,4\}$$ तथा $$\mathrm{B}=\{8,9,12\}$$ हैं। तो संबंध $$\mathrm{R}=\left\{\left(\left(\mathrm{a}_1, \mathrm{~b}_1\right),\left(\mathrm{a}_2, \mathrm{~b}_2\right)\right) \in(\mathrm{A} \times \mathrm{B}, \mathrm{A} \times \mathrm{B}): \mathrm{a}_1, \mathrm{~b}_2\right.$$ को विभाजित करता है तथा $$\mathrm{a}_2, \mathrm{~b}_1$$ को विभाजित करता है} में अवयवों की संख्या है :

माना बिंदुओं $$(1,1)$$ तथा $$\left(\frac{1}{10}, 100\right)$$ से होकर जाने वाले एक वक्र के किसी बिंदु P पर स्पर्श रेखा धनात्मक $$x$$ - तथा $$y$$ - अक्षों को क्रमशः बिंदुओं $$\mathrm{A}$$ तथा $$\mathrm{B}$$ पर काटती है। यदि $$\mathrm{PA}: \mathrm{PB}=1: \mathrm{k}$$ हे तथा अवकल समीकरण $$e^{\frac{d y}{d x}}=k x+\frac{k}{2}, \mathrm{y}(0)=\mathrm{k}$$ का हल $$y=y(x)$$ है, तो $$4 y(1)-6 \log _e 3$$ बराबर है __________.

यदि क्षेत्र $$\left\{(x, \mathrm{y}):\left|x^2-2\right| \leq y \leq x\right\}$$ का क्षेत्रफल $$\mathrm{A}$$ है, तो $$6 \mathrm{~A}+16 \sqrt{2}$$ बराबर है:

सभी अंकों $$2,1,2,3$$ के प्रयोग से $$4$$ अंकों की बनाई जा सकने वाली सभी संख्याओं का योग है:

माना $$\lambda$$ के मानों, जिनके लिए समीकरण निकाय

$$6 \lambda x-3 y+3 z=4 \lambda^2$$,

$$2 x+6 \lambda y+4 z=1$$,

$$3 x+2 y+3 \lambda z=\lambda$$ का कोई हल नहीं है, का समुच्चय $$\mathrm{S}$$ है। तो $$12 \sum_\limits{\lambda \in S}|\lambda|$$ बराबर है ___________

यदि फलन $$f(x)=\sec ^{-1}\left(\frac{2 x}{5 x+3}\right)$$ का प्राँत $$[\alpha, \beta) ~\mathrm{U}~(\gamma, \delta]$$ है, तो $$|3 \alpha+10(\beta+\gamma)+21 \delta|$$ बराबर है _____________.

माना एक समांतर चतुर्भुज की दो संलग्र भुजाओं के समीकरण $$2 x-3 y=-23$$ तथा $$5 x+4 y=23$$ हैं। यदि इसके एक विकर्ण $$\mathrm{AC}$$ का समीकरण $$3 x+7 y=23$$ है तथा $$\mathrm{A}$$ की दूसरे विकर्ण से दूरी $$\mathrm{d}$$ है, तो $$50 \mathrm{~d}^2$$ बराबर है: