निम्नलिखित डेटा का माध्य और विचरण: 6, 10, 7, 13, a, 12, b, 12 क्रमशः 9 और $${{37} \over 4}$$ हैं, तो (a $$-$$ b)² के बराबर है :

यदि $$\overrightarrow a = \widehat i + \widehat j + 2\widehat k$$ और $$\overrightarrow b = - \widehat i + 2\widehat j + 3\widehat k$$ हो, तो सदिश गुणनफल $$\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) \times \left( {\left( {\overrightarrow a \times \left( {\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right) \times \overrightarrow b } \right)} \right) \times \overrightarrow b } \right)$$ के बराबर है :

निश्चित अंतराल का मान

$$\int\limits_{ - {\pi \over 4}}^{{\pi \over 4}} {{{dx} \over {(1 + {e^{x\cos x}})({{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x)}}} $$ इसके बराबर है :

C को सभी जटिल संख्याओं का समुच्चय माना जाए। तब

$$S_1 = \{ z \in C \ | |z - 3 - 2i{|^2} = 8\}$$

$$S_2 = \{ z \in C \ | \mathop{\rm Re}\nolimits (z) \ge 5\}$$ और

$$S_3 = \{ z \in C | |z - \overline z| \ge 8\}$$।

तब $$S_1 \cap S_2 \cap S_3$$ में तत्वों की संख्या बराबर है :

यदि बंधित क्षेत्र
$$R = \left\{ {(x,y):\max \{ 0,{{\log }_e}x\} \le y \le {2^x},{1 \over 2} \le x \le 2} \right\}$$ का क्षेत्रफल है,
$$\alpha {({\log _e}2)^{ - 1}} + \beta ({\log _e}2) + \gamma $$, तो $${(\alpha + \beta - 2\lambda )^2}$$ का मान बराबर है :

एक प्रकाश की किरण बिंदु (2, 1) से होकर y-अक्ष पर एक बिंदु P पर परावर्तित होती है और फिर बिंदु (5, 3) के माध्यम से जाती है। यदि यह परावर्तित किरण दीर्घवृत्त की निदेशिका है जिसकी विलक्षणता $${1 \over 3}$$ है और इस निदेशिका से नजदीकी फोकस की दूरी $${8 \over {\sqrt {53} }}$$ है, तो दूसरी निदेशिका का समीकरण हो सकता है :

यदि x⁷ में गुणांक $${\left( {{x^2} + {1 \over {bx}}} \right)^{11}}$$ और x^$$-$$7 में गुणांक $${\left( {{x} - {1 \over {bx^2}}} \right)^{11}}$$, b $$\ne$$ 0, समान हैं, तो b का मान बराबर है :

यदि $$\sin \theta + \cos \theta = {1 \over 2}$$, तब 16(sin(2$$\theta$$) + cos(4$$\theta$$) + sin(6$$\theta$$)) का मान है :

माना $$A = \left[ {\matrix{ 1 & 2 \cr { - 1} & 4 \cr } } \right]$$. यदि A^$$-$$1 = $$\alpha$$I + $$\beta$$A, $$\alpha$$, $$\beta$$ $$\in$$ R, I एक 2 $$\times$$ 2 पहचान मैट्रिक्स है तब 4($$\alpha$$ $$-$$ $$\beta$$) का मान है :

माना $$f:\left( - {\pi \over 4},{\pi \over 4} \right) \to R$$ को $$f(x) = \left\{ {\matrix{ {{{(1 + |\sin x|)}^{{{3a} \over {|\sin x|}}}}} & , & {- {\pi \over 4} < x < 0} \cr b & , & {x = 0} \cr {{e^{\cot 4x/\cot 2x}}} & , & {0 < x < {\pi \over 4}} \cr }} \right.$$ के रूप में परिभाषित किया है।

यदि f x = 0 पर निरंतर है, तो 6a + b² का मान बराबर है :

यदि y = y(x) वह समाधान हो जो विभेदक समीकरण

$$\log _{}\left( {\frac{dy}{dx}} \right) = 3x + 4y$$ का समाधान है, जिसमें y(0) = 0 है।

यदि $$y\left( - \frac{2}{3}{{\log}_e}2 \right) = \alpha {{\log}_e}2$$ है, तो $$\alpha$$ का मान बराबर है :

माना f : R $$\to$$ R एक फंक्शन है ऐसा कि f(2) = 4 और f'(2) = 1 है। तब, $$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{{x^2}f(2) - 4f(x)} \over {x - 2}}$$ का मान बराबर है :

माना P और Q एक वृत्त पर दो विभिन्न बिंदु हैं जिसका केंद्र C(2, 3) पर है और जो मूल बिंदु O से होकर गुजरता है। अगर OC रेखा खंडों CP और CQ दोनों के लिए लंबवत है, तो {P, Q} का समुच्चय बराबर है :

मान लीजिए $$\alpha$$, $$\beta$$ समीकरण के दो मूल है

x² + (20)^1/4x + (5)^1/2 = 0. तो $$\alpha$$⁸ + $$\beta$$⁸ के बराबर है

संभावना, जिसमें यादृच्छिक रूप से चुनी गई दो अंकीय संख्या सेट {n $$\in$$ N : (2ⁿ $$-$$ 2) 3 का गुणज है} के बराबर होगी :

यदि $$A = \{ (x,y) \in R \times R|2{x^2} + 2{y^2} - 2x - 2y = 1\} $$, $$B = \{ (x,y) \in R \times R|4{x^2} + 4{y^2} - 16y + 7 = 0\} $$ और $$C = \{ (x,y) \in R \times R|{x^2} + {y^2} - 4x - 2y + 5 \le {r^2}\} $$ हो, तब $$A \cup B \subseteq C$$ होने के लिए |r| का न्यूनतम मान क्या है?

वास्तविक संख्या $$\alpha$$ और $$\beta$$ के लिए, निम्नलिखित रैखिक समीकरणों की प्रणाली पर विचार करें:

x + y $$-$$ z = 2, x + 2y + $$\alpha$$z = 1, 2x $$-$$ y + z = $$\beta$$. यदि प्रणाली के अनंत समाधान हैं, तो $$\alpha$$ + $$\beta$$ के बराबर है ______________.

माना $$\overrightarrow a = \widehat i + \widehat j + \widehat k,\overrightarrow b $$ और $$\overrightarrow c = \widehat j - \widehat k$$ ऐसे तीन वेक्टर हैं जिनके लिए $$\overrightarrow a \times \overrightarrow b = \overrightarrow c $$ और $$\overrightarrow a \,.\,\overrightarrow b = 1$$. यदि वेक्टर $$\overrightarrow b $$ का वेक्टर $$\overrightarrow a \times \overrightarrow c $$ पर प्रक्षेपण वेक्टर की लंबाई l है, तो 3l² का मान क्या है _____________.

यदि $$\log_3 2,\log_3(2^x - 5),\log_3\left(2^x - \frac{7}{2}\right)$$ एक समान्तर श्रेणी में हों, तो x का मान बराबर है _____________.

फ़ंक्शन का परिसीमा

$$f(x) = {\log _4}\left( {{{\log }_5}\left( {{{\log }_3}(18x - {x^2} - 77)} \right)} \right)$$ (a, b) हो। तो इंटीग्रल $$\int\limits_a^b {{{{{\sin }^3}x} \over {({{\sin }^3}x + {{\sin }^3}(a + b - x)}}} dx$$ का मान बराबर है _____________.

मान लीजिए $$f(x) = \left| {\matrix{ {{{\sin }^2}x} & { - 2 + {{\cos }^2}x} & {\cos 2x} \cr {2 + {{\sin }^2}x} & {{{\cos }^2}x} & {\cos 2x} \cr {{{\sin }^2}x} & {{{\cos }^2}x} & {1 + \cos 2x} \cr } } \right|,x \in [0,\pi ]$$. तो f(x) का अधिकतम मूल्य ______________ है.

मान लीजिए $$F:[3,5] \to R$$ एक ऐसा दो बार अवकलनीय फंक्शन है जो (3, 5) पर है ऐसे की

$$F(x) = {e^{ - x}}\int\limits_3^x {(3{t^2} + 2t + 4F'(t))dt} $$. अगर $$F'(4) = {{\alpha {e^\beta } - 224} \over {{{({e^\beta } - 4)}^2}}}$$, तो $$\alpha$$ + $$\beta$$ के बराबर है _______________.

मान लीजिए S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}। तो ऐसे संभावित फंक्शन f : S $$\to$$ S की संख्या जो यह संतुष्ट करते हैं कि f(m . n) = f(m) . f(n) हर m, n $$\in$$ S के लिए और m . n $$\in$$ S के बराबर है _____________.

यदि $$y = y(x), y \in \left[0,{\pi \over 2}\right)$$ वह समाधान हो जो विभेदक समीकरण $$\sec y\frac{dy}{dx} - \sin(x + y) - \sin(x - y) = 0$$ का समाधान है, जिसमें y(0) = 0 है, तो $$5y'\left({\pi \over 2}\right)$$ बराबर है _____________.

माना $$f:[0,3] \to R$$ को दिया गया है $$f(x) = \min \{ x - [x],1 + [x] - x\} $$ जहाँ [x] x से कम या बराबर सबसे बड़ी पूर्णांक है। P को वह सेट मानें जिसमें सभी x $$\in$$ [0, 3] शामिल हैं जहाँ f असतत है, और Q को वह सेट मानें जिसमें सभी x $$\in$$ (0, 3) शामिल हैं जहाँ f अव्युत्पन्नीय है। तब P और Q में तत्वों की संख्या का योग क्या है ______________.