यदि $\mathrm{L}_1: \frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-1}{2}$ और $\mathrm{L}_2: \frac{x+1}{-1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z}{1}$ दो रेखाएँ हैं।

मान लें $L_3$ एक रेखा हो जो बिंदु $(\alpha, \beta, \gamma)$ से होकर गुजरती है और $L_1$ और $L_2$ दोनों के लंबवत हो। यदि $L_3$ $\mathrm{L}_1$ को प्रतिच्छेद करती है, तो $|5 \alpha-11 \beta-8 \gamma|$ बराबर है:

माना $ P $ उन सात अंकों की संख्याओं का सेट है जिनके अंकों का योग 11 है। यदि $ P $ में संख्याएँ केवल अंकों 1, 2 और 3 का उपयोग करके बनाई जाती हैं, तो सेट $ P $ में तत्वों की संख्या है:

माना $ A = \begin{bmatrix} a_{ij} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \log_5 128 & \log_4 5 \\ \log_5 8 & \log_4 25 \end{bmatrix} $। यदि $ A_{ij} $ $ a_{ij} $ का कोफैक्टर है, $ C_{ij} = \sum\limits_{क=1}^{2} a_k A_{jk} , 1 \leq i, j \leq 2 $, और $ C=[C_{ij}] $, तो $ 8|C| $ बराबर है:

एक ए पी पर विचार करें जो धनात्मक पूर्णांक है, जिसके पहले तीन पदों का योग 54 है और पहले बीस पदों का योग 1600 और 1800 के बीच है। तब इसका 11^वां पद है:

माना दीर्घवृत्त $E_1: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, $a > b$ और $E_2: \frac{x^2}{A^2} + \frac{y^2}{B^2} = 1$, $A < B$ का विकेन्द्रता $\frac{1}{\sqrt{3}}$ है। उनके लैटस रेक्टम की लंबाइयों के गुणनफल $\frac{32}{\sqrt{3}}$ है और $E_1$ की फोकियों के बीच की दूरी 4 है। यदि $E_1$ और $E_2$ A, B, C और D पर मिलते हैं, तो चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल बराबर है:

दो पैराबोला का एक ही फोकस (4, 3) है और उनकी डायरेक्ट्रेस क्रमशः x-अक्ष और y-अक्ष हैं। यदि ये पैराबोला बिंदु A और B पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो (AB)² बराबर है:

∆ABC एक त्रिभुज है जो रेखाओं 7x – 6y + 3 = 0, x + 2y – 31 = 0 और 9x – 2y – 19 = 0 द्वारा निर्मित होता है। (h, k) बिंदु ∆ABC के सेंटरॉइड की रेखा 3x + 6y – 53 = 0 में छवि है। तब h² + k² + hk का मान बराबर है:

समीकरण का हलों की संख्या

$ \left( \frac{9}{x} - \frac{9}{\sqrt{x}} + 2 \right) \left( \frac{2}{x} - \frac{7}{\sqrt{x}} + 3 \right) = 0 $ है:

सबसे छोटी n की मान जिसके लिए $(\sqrt[3]{7}+\sqrt[12]{11})^n$ के बायनोमियल विस्तार में पूर्णांक पदों की संख्या 183 है :

$\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\sum\limits_{k=1}^n \frac{k^3+6 k^2+11 k+5}{(k+3)!}\right)$ का मान है :

मान लीजिए कि y = y(x) इस अवकल समीकरण का हल है :

$\cos x\left(\log _e(\cos x)\right)^2 d y+\left(\sin x-3 y \sin x \log _e(\cos x)\right) d x=0$, x ∈ (0, $\frac{\pi}{2}$ )। यदि $ y(\frac{\pi}{4}) $ = $-\frac{1}{\log_{e}2}$, तो $ y(\frac{\pi}{6}) $ के बराबर है :

मान लीजिए $ |z_1 − 8−2i| \leq 1 $ और $ |z_2−2+6i| \leq 2 $, $ z_1, z_2 \in \mathbb{C} $। तब $ |z_1 − z_2| $ का न्यूनतम मान है :

मान लीजिए $x_1, x_2, ..., x_{10}$ दस ऑब्जर्वेशन्स हैं जैसे कि $\sum\limits_{i=1}^{10} (x_i - 2) = 30$, $\sum\limits_{i=1}^{10} (x_i - \beta)^2 = 98$, $\beta > 2$ और उनका विचलन $\frac{4}{5}$ है। यदि $\mu$ और $\sigma^2$ क्रमशः $2(x_1 - 1) + 4\beta, 2(x_2 - 1) + 4\beta, ..., 2(x_{10} - 1) + 4\beta$ का माध्य और विचलन हैं, तो $\frac{\beta\mu}{\sigma^2}$ बराबर है :

मान लीजिए $\vec{a}=\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{b}=2 \hat{i}+7 \hat{j}+3 \hat{k}$। मान लीजिए $\mathrm{L}_1 : \overrightarrow{\mathrm{r}}=(-\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k})+\lambda \vec{a}, \mathrm{\lambda} \in \mathbf{R}$ और $\mathrm{L}_2: \overrightarrow{\mathrm{r}}=(\hat{j}+\hat{k})+\mu \vec{b}, \mu \in \mathrm{R}$ दो रेखाएं हैं। यदि रेखा $\mathrm{L}_3$ $\mathrm{L}_1$ और $L_y$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरती है और $\vec{a}+\vec{b}$ के समानांतर है, तो $L_3$ बिंदु से गुजरती है :

मान लीजिए कि क्षेत्र का क्षेत्रफल

$ (x, y) : 2y \leq x^2 + 3,\ y + |x| \leq 3, \ y \geq |x - 1| $ हो $ A $। तो $ 6A $ के बराबर है :

मान लें $ \vec{a} = 2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}, \ \vec{b} = 3\hat{i} - 5\hat{j} + \hat{k} $ और $ \vec{c} $ एक सदिश हो, ताकि $ \vec{a} \times \vec{c} = \vec{a} \times \vec{b} = \vec{c} \times \vec{b} $ हो और $ (\vec{a} + \vec{c}) \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = 168 $ हो। तब $|\vec{c}|^2$ का अधिकतम मान है:

रेखा x+y=1 वृत्त $x^2+y^2=4$ को बिंदु A और B पर मिलती है। यदि AB पर लम्ब रेखा जो AB की मध्यबिन्दु से गुजरती है, वृत्त को C और D पर काटती है, तो चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल है :

अंतराल $ \left[0, \frac{\pi}{2}\right) $ पर एक संबंध R को परिभाषित करें जिसमें $ x $ R $ y $ तब और केवल तब जब $ \sec^2x - \tan^2y = 1 $ हो। तब R है:

मान लें M और m क्रमशः अधिकतम और न्यूनतम मान हैं

$f(x)=\left|\begin{array}{ccc}1+\sin ^2 x & \cos ^2 x & 4 \sin 4 x \\ \sin ^2 x & 1+\cos ^2 x & 4 \sin 4 x \\ \sin ^2 x & \cos ^2 x & 1+4 \sin 4 x\end{array}\right|, x \in R$

तब $ M^4 - m^4 $ है:

समाकलन $80 \int\limits_0^{\frac{\pi}{4}}\left(\frac{\sin \theta+\cos \theta}{9+16 \sin 2 \theta}\right) d \theta$ बराबर है:

मान लें कि [.] t से कम या उसके बराबर का सबसे बड़ा पूर्णांक है। तब p ∈ N का सबसे कम मान जिसके लिए

$ \lim\limits_{x \to 0^+} \left( x \left[ \frac{1}{x} \right] + \left[ \frac{2}{x} \right] + \ldots + \left[ \frac{p}{x} \right] \right) - x^2 \left( \left[ \frac{1}{x^2} \right] + \left[ \frac{2}{x^2} \right] + \ldots + \left[ \frac{9^2}{x^2} \right] \right) \geq 1 $ _______ के बराबर है।

मान लीजिए $S=\left\{m \in \mathbf{Z}: A^{m^2}+A^m=3 I-A^{-6}\right\}$, जहाँ $A=\left[\begin{array}{cc}2 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\right]$। तब $n(S)$ ________ के बराबर है।

मान लें S = $ \left\{ x : \cos^{-1} x = \pi + \sin^{-1} x + \sin^{-1} [2x + 1] \right\} $। तब $ \sum\limits_{x \in S} (2x - 1)^2 $ _______ के बराबर है।

मान लीजिए $f:(0, \infty) \rightarrow \mathbf{R}$ एक दो बार अवकलनीय फलन है। यदि कुछ $a e 0, \int\limits_0^1 f(\lambda x) \mathrm{d} \mathrm{\lambda}=a f(x), f(1)=1$ और $f(16)=\frac{1}{8}$ के लिए, तो $16-f^{\prime}\left(\frac{1}{16}\right)$ ________ के बराबर है।

6-अक्षरीय शब्दों की संख्या, चाहे अर्थ के साथ हों या बिना अर्थ के, जिसे शब्द MATHS के अक्षरों का उपयोग करके बनाया जा सकता है इस प्रकार कि कोई भी अक्षर जो शब्द में आता है, वह कम से कम दो बार आए, _________ है।