$\lim _\limits{x \rightarrow 0} \operatorname{cosec} x\left(\sqrt{2 \cos ^2 x+3 \cos x}-\sqrt{\cos ^2 x+\sin x+4}\right)$ का मान है:

मान लीजिए कि $f: \mathbb{R}-\{0\} \rightarrow \mathbb{R}$ एक फ़ंक्शन है जहाँ $f(x)-6 f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{35}{3 x}-\frac{5}{2}$। यदि $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\alpha x}+f(x)\right)=\beta ; \alpha, \beta \in \mathbb{R}$ है, तो $\alpha+2 \beta$ के बराबर है

समीकरण $\left(x^2-9 x+11\right)^2-(x-4)(x-5)=3$ के सभी तर्कसंगत मूलों का गुणनफल बराबर है

कुछ $\mathrm{n} \neq 10$ के लिए, $(1+\mathrm{x})^{\mathrm{n}+4}$ के द्विपद विस्तार के 5 वें, 6 वें और 7 वें पदों के गुणांक ए.पी. में हैं। तब $(1+\mathrm{x})^{\mathrm{n}+4}$ के विस्तार में सबसे बड़ा गुणांक है:

मान लें $f(x)=\frac{2^{x+2}+16}{2^{2 x+1}+2^{x+4}+32}$। तब $8\left(f\left(\frac{1}{15}\right)+f\left(\frac{2}{15}\right)+\ldots+f\left(\frac{59}{15}\right)\right)$ का मान होगा

यदि $I(m, n)=\int_0^1 x^{m-1}(1-x)^{n-1} d x, m, n>0$, तो $I(9,14)+I(10,13)$ का मान है

यदि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण के मूल हैं $2 z^2-3 z-2 i=0$, जहां $i=\sqrt{-1}$, तब $16 \cdot \operatorname{Re}\left(\frac{\alpha^{19}+\beta^{19}+\alpha^{11}+\beta^{11}}{\alpha^{15}+\beta^{15}}\right) \cdot \operatorname{lm}\left(\frac{\alpha^{19}+\beta^{19}+\alpha^{11}+\beta^{11}}{\alpha^{15}+\beta^{15}}\right)$ के बराबर है

अल्पवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,(a>b)$ पर बिंदु $\left(\sqrt{3}, \frac{1}{2}\right)$ के फोकसीय दूरी के गुणनफल को $\frac{7}{4}$ माना जाता है। तो ऐसे दो वृत्तीयों की विवर्तनिकता का परस्पर अंतर क्या है?

मान लें कि $\mathrm{y}=\mathrm{y}(\mathrm{x})$ विभेदक समीकरण $\left(x y-5 x^2 \sqrt{1+x^2}\right) d x+\left(1+x^2\right) d y=0, y(0)=0$ का समाधान है। तो $y(\sqrt{3})$ के बराबर है

मान लें $\triangle A B C$ में, $A C$ की लंबाई 6 है, शिखर $B$ के स्थानांकों $(1,2,3)$ हैं और शिखर $A, C$ रेखा $\frac{x-6}{3}=\frac{y-7}{2}=\frac{z-7}{-2}$ पर स्थित हैं। तब $\triangle A B C$ का क्षेत्रफल (वर्ग इकाई में) क्या है?

रेखा जो बिंदुओं $(-1,2,1)$ से गुजरती है और रेखा $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z}{4}$ के समांतर है, रेखा $\frac{x+2}{3}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-4}{1}$ को बिंदु $P$ पर प्रतिच्छेद करती है। तो बिंदु $Q(4,-5,1)$ से $P$ की दूरी है

$A$ और $B$ बारी-बारी से एक जोड़ी पासा फेंकते हैं। A जीतता है यदि वह 5 का योग फेंकता है उससे पहले कि $B$ 8 का योग फेंकता है, और $B$ जीतता है यदि वह 8 का योग फेंकता है उससे पहले कि $A$ 5 का योग फेंकता है। संभावना क्या है, कि A जीतता है यदि A पहला पेच फेंकता है,

मान लीजिए $\vec{a}=\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}, \vec{b}=3 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ और $\vec{c}$ तीन सदिश हैं, जिनमें $\vec{c}$ $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के साथ समतलीय है। यदि सदिश $\vec{C}$ $\vec{b}$ के लंबवत है और $\vec{a} \cdot \vec{c}=5$, तो $|\vec{c}|$ का मान है

क्षेत्र $R=\left\{(x, y): x \leq y \leq 9-\frac{11}{3} x^2, x \geq 0\right\}$ पर विचार करें। अधिकतम आयत का क्षेत्रफल जिसकी भुजाएँ निर्देशांक अक्सों के समानांतर हैं और जो R के अंदर स्थित है, वह है:

क्षेत्र $\left\{(x, y): x^2+4 x+2 \leq y \leq|x+2|\right\}$ का क्षेत्रफल कितना है?

मान लीजिए $S_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\ldots$ पहले $n$ पदों तक। यदि एक A.P. के पहले छह पदों का योग जिसमें पहला पद -p है और सामान्य अंतर p है, $\sqrt{2026 \mathrm{~S}_{2025}}$ के बराबर है, तो A.P. के $20^{\text {th }}$ और $15^{\text {th }}$ पदों के बीच का परम अंतर क्या है?

10 मानों के सांख्यिकी डेटा $\mathrm{x}_1, \mathrm{x}_2, \ldots, \mathrm{x}_{10}$ के लिए, एक छात्र ने माध्य 5.5 और $\sum_{i=1}^{10} x_i^2=371$ पाया। बाद में उसने पाया कि उसने डेटा में दो मानों को गलत नोट किया था जैसा कि 4 और 5, जबकि सही मान क्रमशः 6 और 8 थे। सुधरे हुए डेटा का विविधता है

रेखाएं $3 x-4 y-\alpha=0,8 x-11 y-33=0$, और $2 x-3 y+\lambda=0$ संमिलित हैं। यदि बिंदु $ (1,2)$ का प्रतिबिंब रेखा $2 x-3 y+\lambda=0$ पर $\left(\frac{57}{13}, \frac{-40}{13}\right)$ है, तो $|\alpha \lambda|$ बराबर होगा

यदि समीकरणों की व्यवस्था

$$\begin{aligned} & 2 x-y+z=4 \\ & 5 x+\lambda y+3 z=12 \\ & 100 x-47 y+\mu z=212 \end{aligned}$$

के अनेकों समाधान हैं, तो $\mu-2 \lambda$ के बराबर है

माना कि वृत्त $C$ $x^2+y^2-2 x+4 y-4=0$ की रेखा $2 x-3 y+5=0$ के प्रतिबिंब के रूप में है और $A$ बिंदु $C$ पर ऐसा है कि $O A$ $x$-अक्ष के समानांतर है और $A$ अतिरिक्त केंद्र $O$ के दाईं ओर है। यदि $B(\alpha, \beta)$, जहाँ $\beta<4$, $C$ पर स्थित है और चाप $A B$ की लंबाई $C$ की परिधि का $(1 / 6)^{\text {th }}$ है, तो $\beta-\sqrt{3} \alpha$ बराबर है

मान लीजिए A एक $3 \times 3$ मैट्रिक्स है जिससे $\mathrm{X}^{\mathrm{T}} \mathrm{AX}=\mathrm{O}$ हर गैर-शून्य $3 \times 1$ मैट्रिक्स $X=\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]$ के लिए। यदि $\mathrm{A}\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1 \\ 4 \\ -5\end{array}\right], \mathrm{A}\left[\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0 \\ 4 \\ -8\end{array}\right]$, और $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(2(\mathrm{~A}+\mathrm{I})))=2^\alpha 3^\beta 5^\gamma, \alpha, \beta, \gamma \in N$, तो $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2$ है

मान लें $f$ एक अवकलनीय फलन है ताकि $2(x+2)^2 f(x)-3(x+2)^2=10 \int_0^x(t+2) f(t) d t, x \geq 0$. तब $f(2)$ का मान ________ है।

माना $S=\left\{p_1, p_2 \ldots, p_{10}\right\}$ पहले दस अभाज्य संख्याओं का सेट है। माना $A=S \cup P$, जहाँ $P$ $S$ के विभिन्न तत्वों के सभी संभावित गुणनों का सेट है। फिर सभी व्यवस्थित युग्मों की संख्या $(x, y), x \in S$, $y \in A$, ऐसी है कि $x$ को $y$ से विभाजित किया जा सकता है, ________ है।

यदि किसी $\alpha, \beta$ के लिए; $\alpha \leq \beta, \alpha+\beta=8$ और $\sec ^2\left(\tan ^{-1} \alpha\right)+\operatorname{cosec}^2\left(\cot ^{-1} \beta\right)=36$, तो $\alpha^2+\beta$ का मान __________ है।

3 अंकों वाली संख्याओं की संख्या, जो 2 और 3 से विभाज्य हैं, लेकिन 4 और 9 से विभाज्य नहीं हैं, _________ है।