8 एक समान पुस्तकों को 4 एक समान शेल्फों में रखने के ऐसे तरीकों, जिनमें खाली शेल्फों की संख्या कुछ भी हो सकती है, की संख्या है

माना रेखाओं $$3 x+2 y=14,5 x-y=6$$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $$\mathrm{A}$$ है तथा रेखाओं $$4 x+3 y=8, 6 x+y=5$$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $$\mathrm{B}$$ है। तो रेखा $$\mathrm{AB}$$ से बिंदु $$P(5,-2)$$ की दूरी है

यदि $$\int \frac{\sin ^{\frac{3}{2}} x+\cos ^{\frac{3}{2}} x}{\sqrt{\sin ^3 x \cos ^3 x \sin (x-\theta)}} d x=A \sqrt{\cos \theta \tan x-\sin \theta}+B \sqrt{\cos \theta-\sin \theta \cot x}+C$$ है, जहाँ $$C$$ समाकलन अचर हे, तो $$A B$$ बराबर है

बिंदु $$(2,3)$$ की रेखा $$2 x-3 y+28=0$$ से रेखा $$\sqrt{3} x-y+1=0$$ के समांतर मापी दूरी बराबर है

माना एक मात्रक सदिश $$\hat{u}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$$, सदिशों $$\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i}+\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{k}, \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{j}+\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{k}$$ तथा $$\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i}+\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{j}$$ से क्रमशः $$\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{3}$$ तथा $$\frac{2 \pi}{3}$$ के कोण बनाता है। यदि $$\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i}+\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{j}+\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{k}$$ है, तो $$|\hat{u}-\vec{v}|^2$$ बराबर है

फलन $$f(x)=\frac{x}{x^2-6 x-16}, x \in \mathbb{R}-\{-2,8\}$$

यदि समुच्चय $$\{1,2,3,4\}$$ पर सबसे छोटा तुल्यता संबंध $$\mathrm{R}$$ इस प्रकार है कि $$\{(1,2),(1,3)\} \subset \mathrm{R}$$ है, तो $$\mathrm{R}$$ में अवयवों की संख्या है ________

यदि पाँच प्रेक्षणों के माध्य तथा प्रसरण क्रमशः $$\frac{24}{5}$$ तथा $$\frac{194}{25}$$ हैं तथा प्रथम चार प्रेक्षणों का माध्य $$\frac{7}{2}$$ है, तो प्रथम चार प्रेक्षणों का प्रसरण बराबर है

माना $$\triangle P Q R$$ के शीर्ष $$P(3,2,3), Q(4,6,2)$$ तथा $$R(7,3,2)$$ हैं। तो $$\angle Q P R$$ बराबर है

माना $$y=\log _e\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right),-1< x<1$$ है। तो $$x=\frac{1}{2}$$ पर $$225\left(y^{\prime}-y^{\prime \prime}\right)$$ का मान है

यदि $$\log _e \mathrm{a}, \log _e \mathrm{~b}, \log _e \mathrm{c}$$ एक A.P. में हैं तथा $$\log _e \mathrm{a}-\log _e 2 \mathrm{~b}, \log _e 2 \mathrm{~b}-\log _e 3 \mathrm{c}, \log _e 3 \mathrm{c}-\log _e \mathrm{a}$$ भी एक A.P. में हैं, तो $$\mathrm{a}: \mathrm{b}: \mathrm{c}$$ बराबर है

यदि अवकल समीकरण $$x \cos \left(\frac{y}{x}\right) \frac{d y}{d x}=y \cos \left(\frac{y}{x}\right)+x, y(1)=\frac{\pi}{3}$$ का हल $$\sin \left(\frac{y}{x}\right)=\log _e|x|+\frac{\alpha}{2}$$ है, तो $$\alpha^2$$ बराबर है

पूर्णांकों $$1,2,3, \ldots, 50$$ से एक पूर्णांक याटच्छया चुना जाता है। चुने गए पूर्णांक के $$4,6$$ तथा $$7$$ में से कम से कम एक के गुणज होने की प्रायिकता है

माना $$\overrightarrow{O A}=\vec{a}, \overrightarrow{O B}=12 \vec{a}+4 \vec{b}$$ तथा $$\overrightarrow{O C}=\vec{b}$$ हैं, जहाँ $$\mathrm{O}$$ मूल बिंदु है। यदि संलग्न भुजाओं $$\mathrm{OA}$$ तथा $$\mathrm{OC}$$ का समांतर चतुर्भुज $$\mathrm{S}$$ है, तो $$\frac{\text { चतुर्भुज } O A B C \text { का क्षेत्रफल }}{S \text { का क्षेत्रफल }}$$ बराबर है _________

फलन $$f(x)=2 x+3(x)^{\frac{2}{3}}, x \in \mathbb{R}$$

यदि गुणोत्तर श्रेढ़ी $$a_1, a_2, a_3, \ldots$$ जिसमें $$a_1=\frac{1}{8}$$ तथा $$a_2 \neq a_1$$ हैं, का प्रत्येक पद, अगले दो पदों का समांतर माध्य है तथा $$S_n=a_1+a_2+\ldots . .+a_n$$ है, तो $$S_{20}-S_{18}$$ बराबर है

यदि सम्मिश्र संख्या $$z=2-i\left(2 \tan \frac{5 \pi}{8}\right)$$ के मापांक तथा कोणांक क्रमशः $$\mathrm{r}$$ तथा $$\theta$$ हैं, तो $$(\mathrm{r}, \theta)$$ बराबर है

समीकरण $$\frac{3 \cos 2 x+\cos ^3 2 x}{\cos ^6 x-\sin ^6 x}=x^3-x^2+6$$ के हलों $$x \in \mathbb{R}$$ का योगफल है

माना समीकरण $$\cos \left(2 \sin ^{-1} x\right)=\frac{1}{9}$$ का एक हल $$x=\frac{m}{n}$$ ($$m, n$$ असहभाज्य घनपूर्णांक हैं) है और माना समीकरण $$m x^2-n x-m+n=0$$ के मूल $$\alpha, \beta(\alpha>\beta)$$ हैं। तो बिंदु $$(\alpha, \beta)$$ किस रेखा पर है

मान $$A=\left[\begin{array}{ccc}2 & 1 & 2 \\ 6 & 2 & 11 \\ 3 & 3 & 2\end{array}\right]$$ तथा $$P=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 0 \\ 5 & 0 & 2 \\ 7 & 1 & 5\end{array}\right]$$ हैं। तो $$\left|P^{-1} A P-2 I\right|$$ के अभाज्य गुणनखंडों का योग है

माना $$\mathrm{O}$$ मूल बिंदु हे तथा रेखाओं $$\frac{x-5}{4}=\frac{y-4}{1}=\frac{z-5}{3}$$ तथा $$\frac{x+8}{12}=\frac{y+2}{5}=\frac{z+11}{9}$$ पर क्रमशः बिंदुओं $$\mathrm{M}$$ तथा $$\mathrm{N}$$ के लिए दी गई रेखाओं के बीच न्यूनतम दूरी $$\mathrm{MN}$$ है। तो $$\overrightarrow{O M} \cdot \overrightarrow{O N}$$ बराबर है ________.

माना क्षेत्र $$\left.(x, y): 0 \leq x \leq 3,0 \leq y \leq \min \left\{x^2+2,2 \mathrm{x}+2\right\}\right\}$$ का क्षेत्रफल $$\mathrm{A}$$ है। तो $$12 \mathrm{~A}$$ बराबर है ________.

माना समुच्चय $$C=\left\{(x, y) \mid x^2-2^y=2023, x, y \in \mathbb{N}\right\}$$ है। तो $$\sum_\limits{(x, y) \in C}(x+y)$$ बराबर है __________.

माना किसी $$r_1, r_2 \in \mathbb{R}$$ के लिए रेखा $$45 x+5 y+3=0$$ की प्रवणता $$27 r_1+\frac{9 r_2}{2}$$ है। तो $$\lim _\limits{x \rightarrow 3}\left(\int_\limits3^x \frac{8 t^2}{\frac{3 r_2 x}{2}-r_2 x^2-r_1 x^3-3 x} d t\right)$$ बराबर हे

माना समीकरण $$x^2-\sqrt{6} x+3=0$$ के मूल $$\alpha, \beta$$ हैं तथा $$\operatorname{Im}(\alpha)>\operatorname{Im}(\beta)$$ हे। माना $$3$$ से अभाज्य पूर्णांक $$a, b$$ हैं तथा घन पूर्णांक $$n$$ के लिए $$\frac{\alpha^{99}}{\beta}+\alpha^{98}=3^n(a+i b), i=\sqrt{-1}$$ है। तो $$n+a+b$$ बराबर है ________.

माना एक A.P. के किसी भी तीन भिन्न क्रमागत पदों $$a, b, c$$ के लिए रेखाएं $$a x+b y+c=0$$ एक बिंदु $$\mathrm{P}$$ पर संगामी हैं तथा बिंदु $$\mathrm{Q}(\alpha, \beta)$$ के लिए समीकरण निकाय

$$\begin{aligned} & x+y+z=6, \\ & 2 x+5 y+\alpha z=\beta \text { तथा } \end{aligned}$$

$$x+2 y+3 z=4$$, के अनंत हल है। तो $$(P Q)^2$$ बराबर है __________.

माना परवलय $$y^2=4 x$$ पर एक बिंदु $$P(\alpha, \beta)$$ है। यदि $$P$$, परवलय $$x^2=8 y$$ की उस जीवा, जिसका मध्य बिंदु $$\left(1, \frac{5}{4}\right)$$ है, पर भी है, तो $$(\alpha-28)(\beta-8)$$ बराबर है __________.

$$64^{32^{32}}$$ को $$9$$ से विभाजित करने पर शेषफल है _________.

माना $$f(x)=\sqrt{\lim _\limits{r \rightarrow x}\left\{\frac{2 r^2\left[(f(r))^2-f(x) f(r)\right]}{r^2-x^2}-r^3 e^{\frac{f(r)}{r}}\right\}}$$, अंतराल $$(-\infty, 0) \cup(0, \infty)$$ में अवकलनीय है तथा $$f(1)=1$$ है। यदि $$f(a)=0$$ है, तो $$e a$$ का मान है _________.

यदि $$\int_\limits{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \sqrt{1-\sin 2 x} d x=\alpha+\beta \sqrt{2}+\gamma \sqrt{3}$$, जहाँ $$\alpha, \beta$$ तथा $$\gamma$$ परिमेय संख्याएँ हैं, तो $$3 \alpha+4 \beta-\gamma$$ बराबर है __________.