यदि $$\int_\limits0^1\frac{1}{\sqrt{3+x}+\sqrt{1+x}} \mathrm{~d} x=\mathrm{a}+\mathrm{b} \sqrt{2}+\mathrm{c} \sqrt{3}$$ है, जहाँ $$\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$$ परिमेय संख्याएँ है, तो $$2 \mathrm{a}+3 \mathrm{~b}-4 \mathrm{c}$$ बराबर है :

यदि $$\mathrm{S}=\{\mathrm{z} \in \mathrm{C}:|\mathrm{z}-\mathrm{i}|=|\mathrm{z}+\mathrm{i}|=|\mathrm{z}-1|\}$$ है, तो $$\mathrm{n}(\mathrm{S})$$ बराबर है :

माना $$S=\{1,2,3, \ldots, 10\}$$ है। माना $$S$$ के सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय $$M$$ है, तो संबंध $$\mathrm{R}=\{(\mathrm{A}, \mathrm{B}): \mathrm{A} \cap \mathrm{B} \neq \phi ; \mathrm{A} \mathrm{B} \in \mathrm{M}\}$$;

यदि वृत्त $$x^2+y^2-4 x-16 y+64=0$$ के केन्द्र से परवलय $$y^2=4 x$$ की न्यूनतम दूरी $$\mathrm{d}$$ है, तो $$\mathrm{d}^2$$ बराबर है :

यदि शीर्षों $$(1,2),(2,3)$$ तथा $$(3,1)$$ के त्रिभुज का लंबकेन्द्र $$(a, b)$$ है, तथा $$\mathrm{I}_1=\int_\limits{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}} x \sin \left(4 x-x^2\right) \mathrm{d} x, \mathrm{I}_2=\int_\limits{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}} \sin \left(4 x-x^2\right) \mathrm{d} x$$ है, तो $$36 \frac{\mathrm{I}_1}{\mathrm{I}_2}$$ बराबर है :

माना अवकल समीकरणों $$\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{dt}}+\mathrm{ax}=0$$ तथा $$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{dt}}+\mathrm{by}=0, \mathrm{a}, \mathrm{b} \in \mathbf{R}$$ के हल क्रमश: $$x=x(\mathrm{t})$$ तथा $$y=y(\mathrm{t})$$ हैं। यदि $$x(0)=2 ; y(0)=1$$ तथा $$3 y(1)=2 x(1)$$ हैं, तो $$x(t)=y(t)$$ के लिए $$\mathrm{t}$$ का मान है ;

बिंदु $$(7,-2,11)$$ की रेखा $$\frac{x-6}{1}=\frac{y-4}{0}=\frac{z-8}{3}$$ से रेखा $$\frac{x-5}{2}=\frac{y-1}{-3}=\frac{z-5}{6}$$ के अनुदिश दूरी है :

दीर्घवृत्त $$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$$ की उस जीवा, जिसका मध्य बिंदु $$\left(1, \frac{2}{5}\right)$$ है, की लम्बाई है :

फलन

$$f(x)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{\mathrm{a}\left(7 x-12-x^2\right)}{\mathrm{b}\left|x^2-7 x+12\right|} & , \quad x<3 \\ 2^{\frac{\sin (x-3)}{x-[x]}} & , \quad x>3 \\ \mathrm{~b} & , x=3 \end{array}\right.$$

जहाँ $$[x]$$ महत्तम पूर्णांक फलन है, का विचार कीजिए। यदि सभी क्रमित युग्मों $$(\mathrm{a}, \mathrm{b})$$, जिनके लिए $$x=3$$ पर $$f(x)$$ संतत है, का समुच्चय $$S$$ है, तो $$S$$ में अवयवों की संख्या है :

यदि $$\mathrm{a}=\lim _\limits{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\sqrt{1+x^4}}-\sqrt{2}}{x^4}$$ तथा $$\mathrm{b}=\lim _\limits{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^2 x}{\sqrt{2}-\sqrt{1+\cos x}}$$ हैं, तो $$\mathrm{ab}^3$$ का मान है :

आव्यूह $$f(x)=\left[\begin{array}{ccc}\cos x & -\sin x & 0 \\ \sin x & \cos x & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$$ के लिए

नीचे दो कथन दिए गए हैं :

कथन I : आव्यूह $$f(x)$$ का व्युत्क्रम $$f(-x)$$ है।

कथन II : $$f(x) f(y)=f(x+y)$$ है।

उपर्युक्त कथनों के लिये, नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनिए।

यदि चार भिन्न बिंदु $$(2 k, 3 k),(1,0),(0,1)$$ तथा $$(0,0)$$ एक वृत्त पर हैं, तो $$k$$ बराबर है :

यदि रेखाओं $$\frac{x-4}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{-3}$$ तथा $$\frac{x-\lambda}{2}=\frac{y+1}{4}=\frac{z-2}{-5}$$ के बीच न्यूनतम दूरी $$\frac{6}{\sqrt{5}}$$ है, तो $$\lambda$$ के सभी संभव मानों का योग है :

रेखा $$4 x+5 y=20$$ के प्रथम चतुर्थांश में भाग को मूल बिंदु से होकर जाने वाली रेखाएँ $$\mathrm{L}_1$$ तथा $$\mathrm{L}_2$$, समत्रिभाजित करती हैं। $$\mathrm{L}_1$$ तथा $$\mathrm{L}_2$$ के बीच एक कोण की स्पर्शज्या है :

$${ }^{n-1} C_r=\left(k^2-8\right)^n C_{r+1}$$ है यदि और केवल यदि :

श्रेढ़ियों $$4,9,14,19, \ldots \ldots, 25$$ पदों तक तथा $$3,6,9,12, \ldots \ldots, 37$$ पदों तक में उभयनिष्ठ पदों की संख्या है :

माना 10 प्रेक्षणों $$a_1, a_2, \ldots a_{10}$$ के लिए $$\sum_\limits{k=1}^{10} a_k=50$$ तथा $$\sum_\limits{\forall k< j} a_k \cdot a_j=1100$$ हैं। तो $$a_1, a_2, \ldots, a_{10}$$ का मानक विचलन बराबर है :

माना $$\overrightarrow{\mathrm{a}}=\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}, \overrightarrow{\mathrm{b}}=3(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})$$ है। माना एक सदिश $$\overrightarrow{\mathrm{c}}$$ के लिए $$\overrightarrow{\mathrm{a}} \times \overrightarrow{\mathrm{c}}=\overrightarrow{\mathrm{b}}$$ तथा $$\overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{c}}=3$$ हैं। तो $$\vec{a} \cdot((\vec{c} \times \vec{b})-\vec{b}-\vec{c})$$ बराबर है :

यदि $$\left(1-3 x+10 x^2\right)^{\mathrm{n}}$$ के प्रसार में सभी गुणांकों का योग $$\mathrm{A}$$ है तथा $$\left(1+x^2\right)^{\mathrm{n}}$$ के प्रसार में सभी गुणांकों का योग $$\mathrm{B}$$ है, तो :

फलन $$f: \mathbf{N}-\{1\} \rightarrow \mathbf{N} ; f(\mathrm{n})=$$ पूर्णांक $$\mathrm{n}$$ का सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड, द्वारा परिभाषित है। तो $$f$$ :

यदि $$8=3+\frac{1}{4}(3+p)+\frac{1}{4^2}(3+2 p)+\frac{1}{4^3}(3+3 p)+\cdots \cdots \infty$$ है, तो $$p$$ का मान है __________ |

यदि अवकल समीकरण $$(2 x+3 y-2) \mathrm{d} x+(4 x+6 y-7) \mathrm{d} y=0, y(0)=3$$ का हल $$\alpha x+\beta y+3 \log _{\mathrm{e}}|2 x+3 y-\gamma|=6$$ है, तो $$\alpha+2 \beta+3 \gamma$$ बराबर है __________ |

माना $$f(x)=x^3+x^2 f^{\prime}(1)+x f^{\prime \prime}(2)+f^{\prime \prime \prime}(3), x \in \mathbf{R}$$ है। तो $$f^{\prime}(10)$$ बराबर है ________ |

माना $$a \in \mathbf{R}$$ के सभी मानों, जिनके लिए समीकरण $$\cos 2 x+a \sin x=2 a-7$$ का एक हल है, का समुच्चय $$[p, q]$$ है तथा $$\mathrm{r}=\tan 9^{\circ}-\tan 27^{\circ}-\frac{1}{\cot 63^{\circ}}+\tan 81^{\circ}$$ है। तो $$\mathrm{pqr}$$ बराबर है __________ |

माना एक अवकलनीय फलन $$f:(0, \infty) \rightarrow \mathbf{R}$$ के लिए, $$f(x)-f(y) \geqslant \log _{\mathrm{e}}\left(\frac{x}{y}\right)+x-y, \forall x, y \in(0, \infty)$$ है। तो $$\sum_\limits{\mathrm{n}=1}^{20} f^{\prime}\left(\frac{1}{\mathrm{n}^2}\right)$$ बराबर है ________ |

माना क्षेत्र $$\left\{(x, y): x-2 y+4 \geqslant 0, x+2 y^2 \geqslant 0, x+4 y^2 \leq 8, y \geqslant 0\right\}$$ का क्षेत्रफल $$\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}$$ है, जहाँ $$\mathrm{m}$$ तथा $$\mathrm{n}$$ असहभाज्य संख्याएँ हैं। तो $$\mathrm{m}+\mathrm{n}$$ बराबर है _________ |

माना $$\mathrm{A}=\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right], \mathrm{B}=\left[\mathrm{B}_1, \mathrm{~B}_2, \mathrm{~B}_3\right]$$ हैं, जहाँ $$\mathrm{B}_1, \mathrm{~B}_2, \mathrm{~B}_3$$ स्तंभ आव्यूह हैं तथा $$\mathrm{AB}_1=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right], \mathrm{AB}_2=\left[\begin{array}{l} 2 \\ 3 \\ 0 \end{array}\right], \mathrm{AB}_3=\left[\begin{array}{l} 3 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right]$$ हैं। यदि $$\alpha=|B|$$ तथा $$B$$ के विकर्ण के सभी अवयवों का योग $$\beta$$ है, तो $$\alpha^3+\beta^3$$ बराबर है __________ |

$$\alpha$$ का न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक मान, जिसके लिए सदिशों $$\alpha \hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k}$$ तथा $$\alpha \hat{i}+2 \alpha \hat{j}-2 \hat{k}$$ के बीच का कोण, एक न्यून कोण है, बराबर है _________ |

यदि $$\alpha$$ समीकरण $$x^2+x+1=0$$ को संतुष्ट करता है तथा $$(1+\alpha)^7=\mathrm{A}+\mathrm{Ba}+\mathrm{Ca}^2, \mathrm{~A}, \mathrm{~B}, \mathrm{C} \geqslant 0$$ हैं, तो $$5(3 \mathrm{~A}-2 \mathrm{~B}-\mathrm{C})$$ बराबर है __________ |

एक न्याय पासे को छः प्राप्त होने तक बार बार फैंका जाता है। माना पासे को फेंकने की आवश्यक संख्या $$X$$ है तथा माना $$\mathrm{a}=\mathrm{P}(\mathrm{X}=3), \mathrm{b}=\mathrm{P}(\mathrm{X} \geqslant 3)$$ तथा $$\mathrm{c}=\mathrm{P}(\mathrm{X} \geqslant 6 \mid \mathrm{X}>3)$$ हैं। तो $$\frac{\mathrm{b}+\mathrm{c}}{\mathrm{a}}$$ बराबर है _________ |