माना $$a_{1}=1, a_{2}, a_{3}, a_{4}, \ldots$$. क्रमागत धन पूर्णांक हैं। तब $$\tan ^{-1}\left(\frac{1}{1+a_{1} a_{2}}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{1}{1+a_{2} a_{3}}\right)+\ldots . .+\tan ^{-1}\left(\frac{1}{1+a_{2021} a_{2022}}\right)$$ बराबर है:

$$\alpha, \beta \in \mathbb{R}$$ के लिए, माना समीकरण निकाय

$$x-y+z=5$$

$$2 x+2 y+\alpha z=8$$

$$3 x-y+4 z=\beta$$

के अनंत हल है । तब $$\alpha$$ व $$\beta$$ निम्न में से किसके मूल है:

दो संख्याओं $$a$$ व $$b, a \in\{2,4,6, \ldots ., 100\}$$ व $$b \in\{1,3,5, \ldots ., 99\}$$ को इस प्रकार चुनने के तरीकों, कि $$a+b$$ को $$23$$ से विभाजित करने पर शेषफल $$2$$ प्राप्त हो, की संख्या है:

माना $$a_1$$ के सभी मानों, जिनके लिए $$100$$ क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों $$a_1, a_2, a_3, \ldots, a_{100}$$ का माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन $$25$$ है, का समुच्चय $$S$$ है, तब $$S$$ बराबर है।

माना $$a, b, c > 1$$ हैं, $$a^{3}, b^{3}$$ व $$c^{3}$$ समान्तर श्रेढी में तथा $$\log _{a} b, \log _{c} a$$ व $$\log _{b} c$$ गुणोत्तर श्रेढी में हैं। यदि समान्तर श्रेढी के प्रथम 20 पदों का योग, जिसका प्रथम पद $$\frac{a-8 b+c}{10}$$ है तथा सार्वअंतर $$\frac{a-8 b+c}{10}$$ है, $$-444$$ है। तब $$a b c$$ बराबर है:

माना $$f, g$$ तथा $$h$$ वास्तविक मान फलन हैं जो $$\mathrm{IR}$$ पर इस प्रकार परिभाषित हैं

$$f(x) = \left\{ \matrix{ {x \over {|x|}},\,x \ne 0 \hfill \cr 1,\,x = 0 \hfill \cr} \right.,\,g(x) = \left\{ \matrix{ {{\sin (x + 1)} \over {(x + 1)}},\,x \ne 1 \hfill \cr 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,x = - 1 \hfill \cr} \right.$$

एवं $$h(x)=2[x]-f(x)$$, जहाँ $$\mathrm{[x]}$$ महत्तम पूर्णांक $$\leq x$$ है। तब $$\lim_\limits{x \rightarrow 1} g(h(x-1))$$ का मान है:

माना $$[0,10]$$ में $$p$$ का अधिकतम पूर्णांक मान, जिसके लिए समीकरण $$x^{2}-p x+\frac{5}{4} p=0$$ के मूल परिमेय हैं, $$\mathrm{q}$$ है। तब क्षेत्र $$\left\{(x, y): 0 \leq y \leq(x-q)^{2}, 0 \leq x \leq q\right\}$$ का क्षेत्रफल है:

यदि फलनों $$f(x)=\frac{x^{3}}{3}+2 b x+\frac{a x^{2}}{2}$$ तथा $$g(x)=\frac{x^{3}}{3}+a x+b x^{2}, a \neq 2 b$$ का एक उभ्यानिष्ठ चरम बिन्दु है, तब $$a+2 b+7$$ बराबर है:

परवलय: $$a x^{2}+2 b x+c y=0$$ व $$d x^{2}+2 e x+f y=0$$ रेखा $$y=1$$ पर मिलते हैं। यदि $$a, b, c, d, e, f$$ घनात्मक वास्तविक संखाएँ हैं और $$a, b, c$$ $$\mathrm{G.P.}$$ में हैं, तब

माना $$\vec{a}$$ तथा $$\vec{b}$$ दो सदिश है। माना $$|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=4$$ तथा $$\vec{a} \cdot \vec{b}=2$$ है। यदि $$\vec{c}=(2 \vec{a} \times \vec{b})-3 \vec{b}$$ है, तब $$\vec{b} \cdot \vec{c}$$ का मान है:

फलन $$f(x)=\sqrt{3-x}+\sqrt{2+x}$$ का परिसर है:

अवकल समीकरण $$\frac{d y}{d x}=-\left(\frac{x^{2}+3 y^{2}}{3 x^{2}+y^{2}}\right), y(1)=0$$ का हल है:

माना $$x=(8 \sqrt{3}+13)^{13}$$ और $$y=(7 \sqrt{2}+9)^9$$ हैं। यदि $$[\mathrm{t}]$$ महत्तम पूर्णांक $$\leq t$$ है, तब

माना $$A=\{1,2,3,5,8,9\}$$ है। तब संभव फलनों $$f: A \rightarrow A$$, जब कि $$m, n \in A$$ तथा $$m \cdot n \in A$$ को संतुष्ट करने वाले सभी $$\mathrm{m}, \mathrm{n}$$ के लिए $$f(m \cdot n)=f(m) \cdot f(n)$$, है, की संख्या है _____________

सभी सात अंकों $$1,2,2,2,3,3,5$$ के प्रयोग से बनाई जा सकने वाली सात अंकों की विषम संख्याओं की संख्या है ____________

माना क्षेत्र $$\left\{(x, y): y \geq x^{2}, y \geq(1-x)^{2}, y \leq 2 x(1-x)\right\}$$ का क्षेत्रफल $$\mathrm{A}$$ है। तब $$540 \mathrm{~A}$$ का मान बराबर है ___________

यदि वास्तविक संख्या $$a > 0$$, जिसके लिए $$x^{2}-5 a x+1=0$$ तथा $$x^{2}-a x-5=0$$ का एक उभ्यनिष्ठ वास्तविक मूल है, का मान $$\frac{3}{\sqrt{2 \beta}}$$ है, तब $$\beta$$ बराबर है _____________

माना $$C(\sqrt{2}, \sqrt{3})$$ केन्द्र के एक वृत्त पर दो भित्र बिन्दु $$P\left(a_{1}, b_{1}\right)$$ एवं $$Q\left(a_{2}, b_{2}\right)$$ हैं। माना $$\mathrm{O}$$ मूल बिन्दु है तथा $$\mathrm{OC}$$, रेखाओं $$\mathrm{CP}$$ एवं $$\mathrm{CQ}$$ दोनों पर लम्बवत है। यदि त्रिभुज $$\mathrm{OCP}$$ का क्षेत्रफल $$\frac{\sqrt{35}}{2}$$ है, तो $$a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+b_{1}^{2}+b_{2}^{2}$$ बराबर है _______________

माना रेखा $$\mathrm{L}$$ बिन्दु $$\mathrm{P}(2,3,1)$$ से होकर जाती है तथा रेखा $$x+3 y-2 z-2=0=x-y+2 z$$ के समान्तर है । यदि बिन्दु $$(5,3,8)$$ की रेखा $$\mathrm{L}$$ से दूरी $$\alpha$$ है, तो $$3 \alpha^{2}$$ बराबर है ___________

एक थैले में भित्र रंगों की छः गेंद हैं। माना एक-एक कर प्रतिस्थापन सहित दो गेंद निकाली जाती हैं तथा दोनों गेंदों के एक ही रंग के होने की प्रायिकता $$p$$ है। फिर एक-एक कर प्रतिस्थापन सहित चार गेंद निकाली जाती हैं तथा ठीक तीन गेंदों का एक ही रंग के होने की प्रायिकता $$\mathrm{q}$$ है। यदि $$p: q=m: n$$ है, जहाँ $$m$$ व $$n$$ असहभाज्य है तब $$m+n$$ बराबर है _________

यदि $$\int \sqrt{\sec 2 x-1} d x=\alpha \log _{e}\left|\cos 2 x+\beta+\sqrt{\cos 2 x\left(1+\cos \frac{1}{\beta} x\right)}\right|+$$ अचर, तो $$\beta-\alpha$$ बराबर है ____________

एक संख्या $$\mathrm{x}$$ का $$50$$ वाँ मूल $$12$$ है एवं दूसरी संख्या $$y$$ का $$50$$ वाँ मूल $$18$$ है। तब $$(x+y)$$ को $$25$$ से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल है ___________