माना अवकल समीकरण $$x \log _{e} x \frac{d y}{d x}+y=x^{2} \log _{e} x,(x > 1)$$ का हल $$y=y(x)$$ है । यदि $$y(2)=2$$ है, तो $$y(e)$$ बराबर है

$$\mathbb{N}$$ पर एक संबंध $$\mathrm{R}, a \mathrm{R} b$$ यदि $$2 a+3 b, a, b \in \mathbb{N}, 5$$ का एक गुणज है द्वारा परिभाषित है, तो $$\mathrm{R}$$

एब्द OUGHT के अक्षरों को सभी संभव तरीकों में लिखा जाता है तथा इन शब्दों को एक शब्दकोश की तरह एक श्रेणी में व्यवस्थित किया जाता है। तो शब्द TOUGH की एक क्रम संख्या है

यदि $\vec{a}=\hat{i}+2 \hat{k}, \vec{b}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}, \vec{c}=7 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k}, \vec{r} \times \vec{b}+\vec{b} \times \vec{c}=\vec{o}$ है। तो $\vec{r} \cdot \vec{c}$ बराबर है

अंकों की संख्याओं, जो 3 या 4 से विभाज्य हैं परन्तु 48 से विभाज्य नहीं हैं, की संख्या है

माना एक याहच्छिक परीक्षण की प्रतिदर्श समष्टि $$\mathrm{S}=\left\{w_{1}, w_{2}, \ldots \ldots\right\}$$ है । माना $$P\left(w_{n}\right)=\frac{P\left(w_{n-1}\right)}{2}, n \geq 2$$ है । माना $$\mathrm{A}=\{2 \mathrm{k}+3 l: \mathrm{k}, l \in \mathbb{N}\}$$ तथा $$\mathrm{B}=\left\{w_{n}: \mathrm{n} \in \mathrm{A}\right\}$$ हैं । तो $$P(\mathrm{~B})$$ बराबर है :

एक फलन $$f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$$, के लिए $$f(1)+f(2)+3 f(3)+\ldots+x f(x)=x(x+1) f(x) ; x \geq2$$ तथा $$f(1)=1$$ है। तो $$\frac{1}{f(2022)}+\frac{1}{f(2028)}$$ बराबर है

$$\lambda$$ के सभी मानों, जिनके लिए समीकरण $$\cos ^{2} 2 x-2 \sin ^{4} x-2 \cos ^{2} x=\lambda$$ का एक वास्तविक हल $$x$$ है, का समुच्चय है

क्षेत्र $$\mathrm{A}=\left\{(x, y):|\cos x-\sin x| \leq y \leq \sin x, 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}\right\}$$ का क्षेत्रफल है

माना $\vec{a}=4 \hat{i}+3 \hat{j}$ तथा $\vec{b}=3 \hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k}$ हैं । यदि एक सदिश $\vec{c}$ के लिए $\vec{c} \cdot(\vec{a} \times \vec{b})+25=0, \vec{c} \cdot(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})=4$ हैं तथा $\vec{c}$ का $\vec{a}$ पर प्रक्षेप 1 है, तो $\vec{c}$ का $\vec{b}$ पर प्रक्षेप बराबर है

समाकलन $$\int_1^2\left(\frac{t^4+1}{t^6+1}\right) d t$$ का मान है

माना $$(1+x)^{99}$$ के प्रसार में $$x$$ की विषम घातों के गुणांकों का योग $$\mathrm{K}$$ है । माना $$\left(2+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{200}$$ के प्रसार में मध्य पद $$a$$ है । यदि $$\frac{{ }^{200} \mathrm{c}_{99} \mathrm{~K}}{a}=\frac{2^l \mathrm{~m}}{\mathrm{n}}$$ है, जहाँ $$\mathrm{m}$$ तथा $$\mathrm{n}$$ विषम संख्याएँ हैं, तो क्रमित युग्म $$(l, \mathrm{n})$$ बराबर है ।

समाकलन $$\int_\limits{1 / 2}^{2} \frac{\tan ^{-1} x}{x} d$$ का मान बराबर है

रेखाओं $$\frac{x-1}{2}=\frac{y+8}{-7}=\frac{z-4}{5}$$ तथा $$\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-6}{-3}$$ के बीच न्यूनतम दूरी है

माना फलन $$f$$ तथा $$g, \mathbb{R}$$ पर दो बार अवकलनीय हैं तथा

$$f^{\prime \prime}(x)=g^{\prime \prime}(x)+6 x$$

$$f^{\prime}(1)=4 g^{\prime}(1)-3=9$$

$$f(2)=3 g(2)=12$$

हैं । तो निम्न में से कौन सा सत्य नहीं है ?

4 -अंकों की संख्याओं, जिनका 54 के साथ महत्तम ऊभयनिष्ठ भाजक 2 है, की कुल संख्या है __________.

माना प्रेक्षणों के दो समुच्चय $$X=\{11,12,13, \ldots, 40,41\}$$ तथा $$Y=\{61,62,63, \ldots, 90,91\}$$ हैं । यदि इनके माध्य क्रमशः $$\bar{x}$$ तथा $$\bar{y}$$ हैं तथा $$\mathrm{X} \cup \mathrm{Y}$$ में सभीप्रेक्षणों का प्रसरण $$\sigma^{2}$$ है, तो $$\left|\bar{x}+\bar{y}-\sigma^{2}\right|$$ बराबर है ___________.

माना $$\alpha=8-14 i, A=\left\{z \in \mathbb{C}: \frac{\alpha z-\bar{\alpha} \bar{z}}{z^{2}-(\bar{z})^{2}-112 i}=1\right\}$$ तथा $$B=[z \in \mathrm{C}:|z+3 i|=4]$$ हैं । तो $$\sum_\limits{z \in A \cap B}(\operatorname{Re} z-\operatorname{Im} z)$$ बराबर _____________ है।

माना समीकरण $$x^{7}+3 x^{5}-13 x^{3}-15 x=0$$ के मूल $$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{7}$$ हैं तथा $$\left|\alpha_{1}\right| \geq\left|\alpha_{2}\right| \geq \ldots \geq\left|\alpha_{7}\right|$$ हैं । तो $$\alpha_{1} \alpha_{2}-\alpha_{3} \alpha_{4}+\alpha_{5} \alpha_{6}$$ बराबर है ___________

माना $$\left\{a_{k}\right\}$$ तथा $$\left\{b_{k}\right\}, k \in \mathbb{N}$$, दो G.P.s हैं, जिनके सार्व अनुपात क्रमशः $$\mathrm{r}_{1}$$ तथा $$\mathrm{r}_{2}$$ हैं, और $$a_{1}=b_{1}=4, \mathrm{r}_{1} < \mathrm{r}_{2}$$ हैं । माना $$\mathrm{c}_{k}=a_{k}+b_{k}, k \in \mathbb{N}$$ है । यदि $$\mathrm{c}_{2}=5$$ तथा $$\mathrm{c}_{3}=\frac{13}{4}$$ हैं, तो $$\sum_\limits{k=1}^{\infty} \mathrm{c}_{k}-\left(12 a_{6}+8 b_{4}\right)$$ बराबर है ____________.

माना $$A$$ एक सममित आव्यूह है जिसकी सारणिक $$2$$ है तथा $$\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 3 & \frac{3}{2}\end{array}\right] A=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ \alpha & \beta\end{array}\right]$$ है । यदि $$\mathrm{A}$$ के विकर्ण के अवयवों का योग $$s$$ है, तो $$\frac{\beta s}{\alpha^{2}}$$ बराबर है ____________.