$${1 \over {1!50!}} + {1 \over {3!48!}} + {1 \over {5!46!}}\, + \,.....\, + \,{1 \over {49!2!}} + {1 \over {51!1!}}$$ का मान है :

माना समीकरण $$({\cos ^{ - 1}}(2x) - 2{\cos ^{ - 1}}(\sqrt {1 - {x^2}} ) = \pi ,x \in \left[ { - {1 \over 2},{1 \over 2}} \right]$$ के सभी हलों का समुच्चय $$\mathrm{S}$$ है। तब $$\sum\limits_{x \in S} {2{{\sin }^{ - 1}}({x^2} - 1)} $$ का मान है:

माना $$\mathbb{R}$$ में एक सम्बन्ध $$R$$ है जो निम्न प्रकार दिया गया है $$R=(a, b): 3 a-3 b+\sqrt{7}$$ अपरिमेय संख्या है | तब $$\mathrm{R}$$

रेखाओं $$\frac{x-5}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-4}{-3}$$ एवं $$\frac{x+3}{1}=\frac{y+5}{4}=\frac{z-1}{-5}$$ के बीच न्यूनतम दूरी है:

माना $$\lambda$$ के सभी वास्तविक मानों, जिनके लिए समीकरण निकाय

$$\lambda x+y+z=1$$

$$x+\lambda y+z=1$$

$$x+y+\lambda z=1$$

असंगत है, का समुच्चय $$S$$ है, तब $$\sum_\limits{\lambda \in S}\left(|\lambda|^{2}+|\lambda|\right)$$ का मान है:

माना $$S=\left\{x: x \in \mathbb{R}\right.$$ एवं $$(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{x^2-4}+(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{x^2-4}=10$$ हैं $$\}$$ है। तब $$n(S)$$ बराबर है :

यदि वृत्त $$\left|\frac{z-2}{z-3}\right|=2$$ के केन्द्र एवं त्रिज्या क्रमश: $$(\alpha, \beta)$$ एवं $$\gamma$$ हैं, तब $$3(\alpha+\beta+\gamma)$$ का मान है:

5 प्रेक्षणों का माध्य एवं प्रसरण क्रमश: 5 एवं 8 हैं। यदि तीन प्रेक्षण 1,3,5 हैं, तब शेष दो प्रेक्षणों के घनों का योग है:

माना $$\left(f(x)=2 x+\tan ^{-1} x \text { एवं } g(x)=\log _{e}\left(\sqrt{1+x^{2}}+x\right), x \in[0,3]\right.$$ हैं। तब

माना $$f(x)=\left|\begin{array}{ccc}1+\sin ^2 x & \cos ^2 x & \sin 2 x \\ \sin ^2 x & 1+\cos ^2 x & \sin 2 x \\ \sin ^2 x & \cos ^2 x & 1+\sin 2 x\end{array}\right|, x \in\left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right]$$ हैं यदि $$f$$ के अधिकतम व न्यूनतम मान क्रमश: $$\alpha$$ व $$\beta$$ हैं, तब

अवकल समीकरण $$\frac{d y}{d x}+\frac{x+a}{y-2}=0, y(1)=0$$ से प्राप्त संवृत वक्र $$\mathrm{C}$$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल $$4 \pi$$ है। माना वक्र $$\mathrm{C}$$ व $$\mathrm{y}$$ अक्ष के प्रतिच्छेदन बिन्दु $$\mathrm{P}$$ व $$\mathrm{Q}$$ हैं। यदि वक्र $$\mathrm{C}$$ के बिन्दु $$\mathrm{P}$$ व $$\mathrm{Q}$$ पर अभिलम्ब $$\mathrm{x}$$ अक्ष को क्रमश: बिन्दु $$\mathrm{R}$$ व $$\mathrm{S}$$ पर मिलते हैं, तब रेखा खण्ड $$\mathrm{RS}$$ की लम्बाई है:

एक त्रिभुज के शीर्ष (1, 2), (2, 3) और (3, 1) हैं। यदि इसका लंबकेन्द्र $$(\alpha,\beta)$$ है, तब $$\alpha+4 \beta$$ और $$4 \alpha+\beta$$ किस समीकरण के मूल हैं ?

यदि अवकल समीकरण $$\frac{d y}{d x}+y \tan x=x \sec x, 0 \leq x \leq \frac{\pi}{3}, y(0)=1$$ का हल वक्र $$y=y(x)$$ है, तो $$y\left(\frac{\pi}{6}\right)$$ का मान है:

यदि $$\int_\limits0^1\left(x^{21}+x^{14}+x^7\right)\left(2 x^{14}+3 x^7+6\right)^{1 / 7} d x=\frac{1}{l}(11)^{m / n}$$ है, जहाँ , $$l, m, n \in \mathbb{N}, \mathrm{m}$$ एवं $$\mathrm{n}$$ असहभाज्य हैं, तब $$1+m+n$$ का मान ______________ है।

माना $$a_{1}=8, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{n}$$ एक A.P. हैं। यदि इसके प्रथम चार पदों का योग 50 है तथा इसके अन्तिम चार पदों का योग 170 है, तब इसके मध्य दो पदों का गुणनफल ___________ है।

माना $$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ एक अवकलनीय फलन है, जिसके लिए ताकि $$f^{\prime}(x)+f(x)=\int_\limits{0}^{2} f(t) d t$$ है। यदि $$f(0)=e^{-2}$$ है, तो $$2 f(0)-f(2)$$ का मान _________ है।

$$19^{200}+23^{200}$$ को $$49$$ से विभाजित करने पर शेषफल है ___________

तीन अंकों की संख्याओं, जो या तो 2 या 3 से विभाज्य हैं परन्तु 7 से विभाज्य नही हैं, की संख्या है ____________.

ASSASSINATION शब्द के सभी अक्षरों के प्रयोग से, अर्थपूर्ण या अर्थहीन, बनाए जा सकने वाले शब्दों, जिनमें सभी स्वर एक साथ हों, की संख्या है ____________

माना वक्र $$y=x|x-3|, x$$-अक्ष तथा कोटियों $$x=-1$$ व $$x=2$$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल $$\mathrm{A}$$ है। तब $$12 \mathrm{~A}$$ का मान __________ है।

$$A(2,6,2), B(-4,0, \lambda), C(2,3,-1)$$ तथा $$D(4,5,0),|\lambda| \leq 5$$ एक चर्तुर्भुज $$A B C D$$ के शीर्ष हैं। यदि इसका क्षेत्रफल 18 वर्ग इकाई है, तो $$5-6 \lambda$$ का मान __________ है।

यदि $$f(x)=x^{2}+g^{\prime}(1) x+g^{\prime \prime}(2)$$ एवं $$g(x)=f(1) x^{2}+x f^{\prime}(x)+f^{\prime \prime}(x)$$ हैं, तो $$f(4)-g(4)$$ का मान ________ है।