यदि $$I(x)=\int e^{\sin ^2 x}(\cos x \sin 2 x-\sin x) d x$$ तथा $$I(0)=1$$ हैं, तो $$I\left(\frac{\pi}{3}\right)$$ बराबर हैं

रेखाओं $$\frac{x+2}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z-5}{2}$$ तथा $$\frac{x-4}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+3}{0}$$ के बीच न्यूनतम दूरी है :

माना दीर्घवृत्त $$E: x^2+9 y^2=9$$ धनात्मक $$x$$ तथा $$y$$ अक्षों को क्रमशः बिंदुओं $$A$$ तथा $$B$$ पर काटता है। माना $$E$$ का दीर्घ अक्ष , वृत्त $$C$$ का एक व्यास है। माना बिंदुओं $$A$$ तथा $$B$$ से होकर जाने वाली रेखा, वृत्त $$C$$ को बिंदु $$P$$ पर मिलती है। यदि, त्रिभुज जिसके शीर्ष $$A, P$$ तथा मूल बिंदु $$O$$ हैं, का क्षेत्रफल $$\frac{m}{n}$$ है, जहाँ $$m$$ तथा $$n$$ असहभाज्य हैं, तो $$m-n$$ बराबर है :

माना $$\mathrm{O}$$ मूल बिंदु है तथा बिंदु $$\mathrm{P}$$ का स्थिति सदिश $$-\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}$$ है। यदि बिंदुओं $$\mathrm{A}, \mathrm{B}$$ तथा $$\mathrm{C}$$ के स्थिति सदिश क्रमशः $$-2 \hat{i}+\hat{j}-3 \hat{k}, 2 \hat{i}+4 \hat{j}-2 \hat{k}$$ तथा $$-4 \hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$$ हैं, तो सदिशों $$\overrightarrow{A B}$$ तथा $$\overrightarrow{A C}$$ के लंबवत एक सदिश पर, सदिश $$\overrightarrow{O P}$$ का प्रक्षेप है

यदि $$f(x)=\frac{\left(\tan 1^{\circ}\right) x+\log _e(123)}{x \log _e(1234)-\left(\tan 1^{\circ}\right)}, x > 0$$ हैं, तो $$f(f(x))+f\left(f\left(\frac{4}{x}\right)\right)$$ का निम्नतम मान है

यदि $$\left(a x-\frac{1}{b x^2}\right)^{13}$$ में $$x^7$$ का गुणांक तथा $$\left(a x+\frac{1}{b x^2}\right)^{13}$$ में $$x^{-5}$$ का गुणांक बराबर हैं, तो $$a^4 b^4$$ बराबर है:

एक वृत्त का एक चाप $$P Q$$ इसके केन्द्र पर समकोण बनाता है। चाप $$P Q$$ का मध्य बिंदु $$R$$ है। यदि $$\overrightarrow{O P}=\vec{u}, \overrightarrow{O R}=\vec{v}$$ तथा $$\overrightarrow{O Q}=\alpha \vec{u}+\beta \vec{v}$$ हैं, तो $$\alpha, \beta^2$$ किस समीकरण के मूल हैं?

माना दो पासे फेंकने पर प्राप्त संख्याओं का योग $$\mathrm{N}$$ है। यदि $$2^N < N$$! होने की प्रायिकता $$\frac{m}{n}$$ है, जहाँ $$m$$ तथा $$n$$ असहभाज्य हैं, तो $$4 m-3 n$$ बराबर है:

$$30 \mathrm{~cm}$$ भुजा के टिन के एक एक वर्गाकार टुकड़े के प्रत्येक कोने पर एक वर्ग काटकर तथा इस प्रकार बनें टिन के फलकों को मोड़ कर ढक्कन रहित एक संदूक बनाना है। यदि संदूक का आयतन उच्चतम हैं, तो इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल (वर्ग $$\mathrm{cm}$$ में) बराबर है :

$$96 \cos \frac{\pi}{33} \cos \frac{2 \pi}{33} \cos \frac{4 \pi}{33} \cos \frac{8 \pi}{33} \cos \frac{16 \pi}{33}$$ बराबर है :

रैखिक समीकरण निकाय

$$ \begin{aligned} & 2 x-y+3 z=5 \\ & 3 x+2 y-z=7 \\ & 4 x+5 y+\alpha z=\beta, \end{aligned} $$

के लिए निम्न में से कौन सा सही नहीं है?

$$\lambda$$ लंबाई का एक रेखा खंड $$\mathrm{AB}$$ इस प्रकार खिसकता है कि बिंदु $$\mathrm{A}$$ तथा $$\mathrm{B}, \lambda$$ त्रिज्या के एक वृत्त की परिधि पर रहते हैं। तो उस बिंदु, जो रेखाखंड $$A B$$ को $$2: 3$$ के अनुपात में विभाजित करता है, का बिंदुपथ एक वृत्त है, जिसकी त्रिज्या है:

माना एक अवकलनीय फलन $$f$$ के लिए $$x^2 f(x)-x=4 \int_0^x t f(t) d t, f(1)=\frac{2}{3}$$ हैं। तो $$18 f(3)$$ बराबर है:

माना एक गुणोत्तर श्रेढ़ी के प्रथम पद $$a$$ तथा सार्व अनुपात $$r$$ धनात्मक पूर्णांक हैं। यदि इसके प्रथम तीन पदों के वर्गों का योग $$33033$$ है, तो इन तीन पदों का योग है:

माना संम्मिश्र संख्या $$z=x+i y$$ के लिए $$\frac{2 z-3 i}{2 z+i}$$ मात्र काल्पनिक है। यदि $$x+y^2=0$$ है, तो $$y^4+y^2-y$$ बराबर हैं:

माना $$f:(-2,2) \rightarrow \mathbb{R}$$

$$f(x)= \begin{cases}x[x] & ,-2 < x < 0 \\ (x-1)[x], & 0 \leq x < 2\end{cases}$$

द्वारा परिभाषित है, जहाँ $$[x]$$ महत्तम पूर्णांक फलन है। यदि अंतराल $$(-2,2)$$ में उन बिन्दुओं, जिन पर $$y=|f(x)|$$ संतत नही है तथा अवकलनीय नहीं है, की संख्या क्रमशः $$m$$ तथा $$n$$ है, तो $$m+n$$ बराबर है _______________

माना बिंदुओं $$(-1,0),(0,1)$$ तथा $$(1,0)$$ से होकर जाने वाला परवलय $$y=p(x)$$ है। यदि क्षेत्र $$\left\{(x, y):(x+1)^2+(y-1)^2 \leq 1, y \leq p(x)\right\}$$ का क्षेत्रफल $$\mathrm{A}$$ है, तो $$12(\pi-4 A)$$ बराबर है _____________

समुच्चय $$\left\{n \in \mathbb{Z}:\left|n^2-10 n+19\right| < 6\right\}$$ में अवयवों की संख्या है ___________

यदि बारंबारता बंटन

वर्ग :	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50
बारंबारता :	2	3	$$x$$	5	4

का माध्य 28 है, तो इसका प्रसरण है _____________

बिना पुनरावृत्ति के, अंकों $$1,2,3, \ldots .7$$ के क्रमचयों, जिनमें न तो श्रृंखला $$153$$ हो न ही श्रृंखला $$2467$$ हो, की संख्या है ____________

$$\left(1-x+2 x^3\right)^{10}$$ में $$x^7$$ का गुणांक है ___________

कुछ दंपत्तियों ने मिश्रित युगल बैडमिंटन प्रतियोगिता में भाग लिया। यदि खेले गए मैचों, जबकि किसी भी दंपत्ति ने एक ही मैच में भाग नहीं लिया हो, की संख्या $$840$$ हैं, तो प्रतियोगिता में भाग लेने वाले व्यक्तियों की कुल संख्या है ____________

माना तीन भिन्न धनात्मक वास्तविक संख्याओं $$a, b, c$$ के लिए $$(2 a)^{\log _e a}=(b c)^{\log _e b}$$ तथा $$b^{\log _e 2}=a^{\log _e c}$$ हैं। तो $$6 a+5 b c$$ बराबर है ____________