फलन $$f(x)=\sin ^{-1}\left[2 x^{2}-3\right]+\log _{2}\left(\log _{\frac{1}{2}}\left(x^{2}-5 x+5\right)\right)$$, जहाँ [t] महत्तम पूर्णांक फलन है, का प्रांत है :

माना सभी $$(\alpha, \beta), \pi<\alpha, \beta<2 \pi$$, जिनके लिए सम्मिश्र संख्या $$\frac{1-i \sin \alpha}{1+2 i \sin \alpha}$$ विशुद्ध काल्पनिक तथा $$\frac{1+i \cos \beta}{1-2 i \cos \beta}$$ विशुद्ध वास्तविक है, का समुच्चय $$S$$ है। माना $$Z_{\alpha \beta}=\sin 2 \alpha+i \cos 2 \beta,(\alpha, \beta) \in S$$ हैं। तो $$\sum\limits_{(\alpha, \beta) \in S}\left(i Z_{\alpha \beta}+\frac{1}{i \bar{Z}_{\alpha \beta}}\right)$$ बराबर है :

यदि समीकरण

$${x^2} - \left( {5 + {3^{\sqrt {{{\log }_3}5} }} - {5^{\sqrt {{{\log }_5}3} }}} \right)x + 3\left( {{3^{{{({{\log }_3}5)}^{{1 \over 3}}}}} - {5^{{{({{\log }_5}3)}^{{2 \over 3}}}}} - 1} \right) = 0$$

के मूल $$\alpha, \beta$$ हैं, तो वह समीकरण, जिसके मूल $$\alpha+\frac{1}{\beta}$$ तथा $$\beta+\frac{1}{\alpha}$$ हैं, है :

यदि $$\mathrm{p} \neq \mathrm{q} \neq 0$$ के लिए, फलन $$f(x)=\frac{\sqrt[7]{\mathrm{p}(729+x)}-3}{\sqrt[3]{729+\mathrm{q} x}-9}, x=0$$ पर संतत है, तो :

माना $$f(x)=2+|x|-|x-1|+|x+1|, x \in \mathbf{R}$$ है। तो

(S1) : $$f^{\prime}\left(-\frac{3}{2}\right)+f^{\prime}\left(-\frac{1}{2}\right)+f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)+f^{\prime}\left(\frac{3}{2}\right)=2$$

(S2) : $$\int\limits_{-2}^{2} f(x) \mathrm{d} x=12$$

में

माना एक अपरिमित G.P., जिसका पहला पद a है तथा सार्व अनुपात r है, का योग 5 है। माना इसके प्रथम पाँच पदों का योग $${{98} \over {25}}$$ है। तो उस A.P., जिसका पहला पद 10 ar है, $$\mathrm{n}^{वाँ }$$ पद a_n है तथा सार्व अंतर 10 ar² है, के प्रथम 21 पदों का योग है :

$$y \leq 4 x^{2}, x^{2} \leq 9 y$$ तथा $$y \leq 4$$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है :

$$\int\limits_{0}^{2}\left(\left|2 x^{2}-3 x\right|+\left[x-\frac{1}{2}\right]\right) \mathrm{d}x$$, जहाँ [t] महत्तम पूर्णांक फलन है, बराबर है :

चित्र में दिखाए अनुसार $$y=y(x)$$ प्रथम चतुर्थांश में एक वक्र है। माना क्षेत्रफल $$\mathrm{A}_{1}$$, क्षेत्रफल $$\mathrm{A}_{2}$$ का दो गुना है। तो वक्र पर, रेखा $$2 x-12 y=15$$ के लंबवत, अभिलंब किस बिंदु से होकर नहीं जाता ?

एक त्रिभुज $$\mathrm{ABC}$$ की भुजाओं $$\mathrm{AB}, \mathrm{BC}$$ तथा $$\mathrm{CA}$$ के समीकरण क्रमश: $$2 x+y=0, x+\mathrm{p} y=39$$ तथा $$x-y=3$$ हैं तथा इसका परिकेन्द्र $$\mathrm{P}(2,3)$$ है। तो निम्न में से कौन सा सत्य नहीं है ?

यदि बिंदु $$\mathrm{P}(\mathrm{a}, 4,2), \mathrm{a}>0$$, से रेखा $$\frac{x+1}{2}=\frac{y-3}{3}=\frac{z-1}{-1}$$ पर डाले गए लंब की लंबाई $$2 \sqrt{6}$$ इकाई है तथा इस रेखा में बिंदु $$\mathrm{P}$$ का प्रतिबिंब $$\mathrm{Q}\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$$ है, तो $$\mathrm{a}+\sum\limits_{i=1}^{3} \alpha_{i}$$ बराबर है :

छः फलकों का एक पासा इस प्रकार अभिनत है कि

$$3 \times \mathrm{P}$$ (एक अभाज्य संख्या $$)=6 \times \mathrm{P}($$ एक भाज्य संख्या $$)=2 \times \mathrm{P}(1)$$ है।

माना $$X$$ एक यादृच्छिक चर है, जो यह दर्शाता है कि इस पासे को कुछ बार फेंकने पर कितनी बार पूर्ण वर्ग प्राप्त होता है। यदि इस पासे को दो बार फेंका जाता है, तो $$X$$ का माध्य है :

समुच्चय $$\mathrm{A}=\left\{x \in \mathbf{N}: x^{2}-10 x+9 \leq 0\right\}$$ से समुच्चय $$\mathrm{B}=\left\{\mathrm{n}^{2}: \mathrm{n} \in \mathbf{N}\right\}$$ में ऐसे फलनों, जिनके लिए $$f(x) \leq(x-3)^{2}+1, \forall x \in \mathrm{A}$$ है, की संख्या है _____________ |

माना $$6 x$$ की बढ़ती घाती में $$(3+6 x)^{\mathrm{n}}$$ के द्विपद प्रसार में $$x=\frac{3}{2}$$ पर $$9^{\text {वें }}$$ पद का मान अधिकतम होने के लिए, $$\mathrm{n}$$ का निम्नतम मान $$\mathrm{n}_{0}$$ है। यदि $$x^{6}$$ के गुणांक का $$x^{3}$$ के गुणांक से अनुपात $$\mathrm{k}$$ है, तो $$\mathrm{k}+\mathrm{n}_{0}$$ बराबर है ________________ |

एक पानी की टंकी लंब वृत्तीय शंकु, जिसका अक्ष ऊर्ध्वाधर तथा शीर्ष नीचे की ओर है, के आकार की है। इसका अर्ध शीर्ष कोण $$\tan ^{-1} \frac{3}{4}$$ है। इसमें 6 घन मीटर प्रति घंटे की दर से पानी डाला जाता है। जब टंकी में पानी की गहराई 4 मीटर है, उस समय टंकी के गीले वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल के बढ़ने की दर (वर्ग मीटर प्रति घंटे में) है ____________ |

वक्र $$C: \left(x^{2}+y^{2}-3\right)+\left(x^{2}-y^{2}-1\right)^{5}=0$$ के बिंदु $$(\alpha, \alpha), \alpha>0$$ पर $$3 y^{\prime}-y^{3} y^{\prime \prime}$$ का मान बराबर है ____________ |

माना $$f(x)=\min \{[x-1],[x-2], \ldots,[x-10]\}$$ है, जहाँ $$[\mathrm{t}]$$ महत्तम पूर्णांक $$\leq \mathrm{t}$$ है। तो $$ \int\limits_{0}^{10} f(x) \mathrm{d} x+\int\limits_{0}^{10}(f(x))^{2} \mathrm{~d} x+\int\limits_{0}^{10}|f(x)| \mathrm{d} x$$ बराबर है ______________ |

माना $$f$$ एक अवकलनीय फलन है, $$f(x)=\frac{2}{\sqrt{3}} \int\limits_{0}^{\sqrt{3}} f\left(\frac{\lambda^{2} x}{3}\right) \mathrm{d} \lambda, x>0$$ तथा $$f(1)=\sqrt{3}$$ हैं। यदि $$y=f(x)$$, बिंदु $$(\alpha, 6)$$ से होकर जाता है, तो $$\alpha$$ बराबर है ____________ |

माना तीन सदिश $$\overrightarrow{\mathrm{a}}, \overrightarrow{\mathrm{b}}, \overrightarrow{\mathrm{c}}$$ सहतलीय नहीं है तथा $$\overrightarrow{\mathrm{a}} \times \overrightarrow{\mathrm{b}}=4 \overrightarrow{\mathrm{c}}, \overrightarrow{\mathrm{b}} \times \overrightarrow{\mathrm{c}}=9 \overrightarrow{\mathrm{a}}, \overrightarrow{\mathrm{c}} \times \overrightarrow{\mathrm{a}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{b}}$$, $$\alpha>0$$ हैं। यदि $$|\vec{a}|+|\vec{b}|+|\vec{c}|=\frac{1}{36}$$ है, तो $$\alpha$$ बराबर है ______________ |