माना $$f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$$ एक संतत फलन है जिसके लिए $$f(3 x)-f(x)=x$$ है। यदि $$f(8)=7$$ है, तो $$f(14)$$ बराबर है :

माना $$\mathrm{O}$$ मूल बिंदु है तथा $$\mathrm{A}$$, बिंदु $$z_{1}=1+2 i$$ है। यदि $$\mathrm{B}$$, बिंदु $$z_{2}, \operatorname{Re}\left(z_{2}\right) < 0$$, है तथा $$\mathrm{OAB}$$ एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है, जिसका कर्ण $$\mathrm{OB}$$ है, तो निम्न में से कौन सा सत्य नहीं है ?

यदि रैखिक समीकरण निकाय

$$ \begin{gathered} 8 x+y+4 z=-2 \\ x+y+z=0 \\ \lambda x-3 y=\mu \end{gathered} $$

के अनंत हल हैं, तो समतल $$8 x+y+4 z+2=0$$ से बिंदु $$\left(\lambda, \mu,-\frac{1}{2}\right)$$ की दूरी है :

विषम पूर्णांक संख्या $$\mathrm{a}$$, जिसके लिए $$y=1, y=3, x=0, x=y^ \mathrm{a}$$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल $$\frac{364}{3}$$ है, बराबर है :

60 तथा $$\mathrm{n}$$ पदों की दो G.P. क्रमश: $$2,2^{2}, 2^{3}, \ldots$$ तथा $$4,4^{2}, 4^{3}, \ldots$$ हैं। यदि सभी $$60+\mathrm{n}$$ पदों का गुणोत्तर माध्य $$(2)^\frac{225}{8}$$ है, तो $$\sum\limits_{\mathrm{k}=1}^{\mathrm{n}} \mathrm{k}(\mathrm{n}-\mathrm{k})$$ बराबर है :

यदि फलन $$f(x)=\left\{ {\matrix{ {{{{{\log }_e}(1 - x + {x^2}) + {{\log }_e}(1 + x + {x^2})} \over {\sec x - \cos x}}} & , & {x \in \left( {{{ - \pi } \over 2},{\pi \over 2}} \right) - \{ 0\} } \cr k & , & {x = 0} \cr } } \right.$$

$$x=0$$, पर संतत है, तो $$\mathrm{k}$$ बराबर है :

यदि $$f(x) = \left\{ {\matrix{ {x + a} & , & {x \le 0} \cr {|x - 4|} & , & {x > 0} \cr } } \right.$$ तथा $$g(x) = \left\{ {\matrix{ {x + 1} & , & {x < 0} \cr {{{(x - 4)}^2} + b} & , & {x \ge 0} \cr } } \right.$$,

$$\mathbf{R}$$ पर संतत हैं, तो $$(g \circ f)(2)+(f \circ g)(-2)$$ बराबर है :

माना $$f(x)=\left\{\begin{array}{cc} x^{3}-x^{2}+10 x-7, & x \leq 1 \\ -2 x+\log _{2}\left(b^{2}-4\right), & x>1 \end{array}\right.$$

है। तो $$\mathrm{b}$$ के सभी मानों, जिनके लिए $$f(x)$$ का अधिकतम मान $$x=1$$ पर है, का समुच्य है :

यदि $$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+2 y \tan x=\sin x, 0 < x < \frac{\pi}{2}, y\left(\frac{\pi}{3}\right)=0$$ हैं, तो $$y(x)$$ का अधिकतम मान है :

एक बिंदु $$P$$ इस प्रकार चलायमान है कि इसकी बिंदुओं $$(1,2)$$ तथा $$(-2,1)$$ से दूरियों के वर्गों का योग 14 है। माना $$\mathrm{P}$$ का बिंदुपथ $$f(x, y)=0$$ है, जो $$x$$-अक्ष को बिंदुओं $$\mathrm{A}, \mathrm{B}$$ पर तथा $$y$$-अक्ष को बिंदुओं $$\mathrm{C}, \mathrm{D}$$ पर काटता है। तो चतुर्भुज $$\mathrm{ACBD}$$ का क्षेत्रफल बराबर है :

बिंदु $$(1,2,4)$$ से होकर जाने वाली तथा रेखा $$x+y-z=0=x-2 y+3 z-5$$ के समांतर रेखा की, बिंदु $$(1,-2,5)$$ से लंब की लंबाई है :

माना $$\overrightarrow{\mathrm{a}}=\alpha \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$$ तथा $$\overrightarrow{\mathrm{b}}=2 \hat{i}+\hat{j}-\alpha \hat{k}, \alpha>0$$ हैं। यदि $$\overrightarrow{\mathrm{a}} \times \overrightarrow{\mathrm{b}}$$ का सदिश $$-\hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k}$$ पर प्रक्षेप 30 है, तो $$\alpha$$ बराबर है :

माना $$\mathrm{E}_{1}, \mathrm{E}_{2}, \mathrm{E}_{3}$$ तीन परस्पर अपवर्जी घटनाएँ है तथा $$\mathrm{P}\left(\mathrm{E}_{1}\right)=\frac{2+3 \mathrm{p}}{6}, \mathrm{P}\left(\mathrm{E}_{2}\right)=\frac{2-\mathrm{p}}{8}$$ तथा $$\mathrm{P}\left(\mathrm{E}_{3}\right)=\frac{1-\mathrm{p}}{2}$$ हैं। यदि $$\mathrm{p}$$ के अधिकतम तथा निम्नतम मान $$\mathrm{p}_{1}$$ तथा $$\mathrm{p}_{2}$$ हैं, तो $$\left(\mathrm{p}_{1}+\mathrm{p}_{2}\right)$$ बराबर है :

$$\tan \left(2 \tan ^{-1} \frac{1}{5}+\sec ^{-1} \frac{\sqrt{5}}{2}+2 \tan ^{-1} \frac{1}{8}\right)$$ बराबर है :

किसी $$p, q, r \in \mathbf{R}$$, सभी धनात्मक या सभी ॠणात्मक नहीं हैं, के लिए समीकरण $$\left(\mathrm{p}^{2}+\mathrm{q}^{2}\right) x^{2}-2 \mathrm{q}(\mathrm{p}+\mathrm{r}) x+\mathrm{q}^{2}+\mathrm{r}^{2}=0$$ का एक मूल समीकरण $$x^{2}+2 x-8=0$$ का भी एक मूल है, तो $$\frac{\mathrm{q}^{2}+\mathrm{r}^{2}}{\mathrm{p}^{2}}$$ बराबर है ____________ |

5-अंकों की धन पूर्णांक संख्याओं, जिनके अंकों का गुणनफल 36 है, की संख्या है ____________ |

समीकरण $$x^{5}\left(x^{3}-x^{2}-x+1\right)+x\left(3 x^{3}-4 x^{2}-2 x+4\right)-1=0$$ के भिन्न वास्तविक मूलों की संख्या है ______________ |

यदि $$\mathrm{n}(2 \mathrm{n}+1) \int_{0}^{1}\left(1-x^{\mathrm{n}}\right)^{2 \mathrm{n}} \mathrm{d} x=1177 \int_{0}^{1}\left(1-x^{\mathrm{n}}\right)^{2 \mathrm{n}+1} \mathrm{~d} x$$ है, तो $$\mathrm{n} \in \mathrm{N}$$ बराबर है _____________ |

एक त्रिभुज $$\mathrm{ABC}$$ की भुजाओं $$\mathrm{AB}, \mathrm{BC}$$ तथा $$\mathrm{CA}$$ के समीकरण क्रमशः $$2 x+y=0, x+\mathrm{p} y=15 \mathrm{a}$$ तथा $$x-y=3$$ हैं। यदि इसका लंब केन्द्र $$(2, a),-\frac{1}{2} < a < 2$$ है, तो $$p$$ बराबर है ____________ ।

माना फलन $$f(x)=2 x^{2}-\log _{\mathrm{e}} x, x>0$$, अंतराल $$(0, \mathrm{a})$$ में ह्रासमान है तथा $$(\mathrm{a}, 4)$$ में वर्धमान है। परवलय $$y^{2}=4 \mathrm{a} x$$ के एक बिंदु $$\mathrm{P}$$ पर स्पर्श रेखा, बिंदु $$(8 \mathrm{a}, 8 \mathrm{a}-1)$$ से होकर जाती है, परन्तु बिंदु $$\left(-\frac{1}{\mathrm{a}}, 0\right)$$ से होकर नहीं जाती । यदि बिंदु $$P$$ पर अभिलंब का समीकरण $$\frac{x}{\alpha}+\frac{y}{\beta}=1$$ है, तो $$\alpha+\beta$$ बराबर है _______________।

माना रेखा $$\frac{x+1}{2}=\frac{y+2}{3}=\frac{z-1}{2}$$ पर बिंदु $$\mathrm{P}(4,2,7)$$ से $$\sqrt{26}$$ दूरी पर दो बिंदु $$\mathrm{Q}$$ तथा $$\mathrm{R}$$ है। तो त्रिभुज $$\mathrm{PQR}$$ के क्षेत्रफल का वर्ग बराबर है _______________ |