माना $$\mathrm{A}$$ तथा $$\mathrm{B}$$ दो $$3 \times 3$$ वास्तविक आव्यूह है जबकि $$\mathrm{A}$$ सममित आव्यूह है तथा $$\mathrm{B}$$ विषम सममित आव्यूह है। तो रैखिक समीकरण निकाय, $$(\mathrm{A}^{2} \mathrm{~B}^{2}-\mathrm{B}^{2} \mathrm{~A}^{2}) \mathrm{X}=\mathrm{O}$$, जबकि $$\mathrm{X}$$, एक $$3 \times 1$$ अज्ञात चरों का स्तम्भ आव्यूह है तथा $$\mathrm{O}$$, एक $$3 \times 1$$ शून्य आव्यूह है :

समाकलन $$\int\limits_{1}^{3}\left[x^{2}-2 x-2\right] d x$$ का मान, जबकि $$\mathrm{[x]}$$, महत्तम पूर्णांक $$\leq x$$ है, हैं :

माना $$\mathrm{a}, \mathrm{b} \in \mathrm{R}$$. यदि बिन्दु $$\mathrm{P}(\mathrm{a}, 6,9)$$ का रेखा, $$\frac{x-3}{7}=\frac{y-2}{5}=\frac{z-1}{-9}$$ में दर्पण प्रतिबिम्ब $$(20, b,-a-9)$$, है, तो $$|a+b|$$ बराबर है :

रैखिक समीकरण निकाय :

$$\mathrm{x}-2 \mathrm{y}=1, \mathrm{x}-\mathrm{y}+\mathrm{kz}=-2, \mathrm{ky}+4 \mathrm{z}=6, \mathrm{k} \in \mathrm{R}$$, के लिए, नीचे दिए कथनों पर विचार कीजिए :

(A) निकाय का केवल एक हल है, यदि $$\mathrm{k} \neq 2, \mathrm{k} \neq-2$$ है

(B) निकाय का केवल एक हल है, यदि $$\mathrm{k}=-2$$.

(C) निकाय का केवल एक हल है, यदि $$\mathrm{k}=2$$.

(D) निकाय का कोई हल नहीं है, यदि $$\mathrm{k}=2$$.

(E) निकाय के अनन्त हल हैं, यदि $$\mathrm{k} \neq-2$$ है।

तो निम्न कथनों में कौन से सत्य हैं ?

माना $$[0,2]$$ में $$\mathrm{f}(\mathrm{x})$$ एक अवकलनीय फलन है, जिसके लिए $$f^{\prime}(x)=f^{\prime}(2-x) \forall x \in(0,2), f(0)=1$$ तथा $$f(2)=e^{2}$$ है, तो $$\int\limits_{0}^{2} f(x) d x$$ का मान है :

माना $$\mathrm{R}$$ पर एक फलन $$\mathrm{f}$$ दो बार अवकलनीय है, जिसके लिए $$\mathrm{f}(0)=1, \mathrm{f}^{\prime}(0)=2$$ तथा $$\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x}) \neq 0 \forall \mathrm{x}\in \mathrm{R}$$ हैं। यदि $$\left|\begin{array}{cc}\mathrm{f}(\mathrm{x}) & \mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x}) \\ \mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x}) & \mathrm{f}^{\prime \prime}(\mathrm{x})\end{array}\right|=0, \forall \mathrm{x} \in \mathrm{R}$$ है, तो $$\mathrm{f}(1)$$ का मान जिस अन्तराल में है, वह है :

माना $$\mathrm{f}: \mathrm{R} \rightarrow \mathrm{R}$$,

$$f(x)= \begin{cases}-55 x, & \text { यदि } x<-5 \\ 2 x^{3}-3 x^{2}-120 x, & \text { यदि }-5 \leq x \leq 4 \\ 2 x^{3}-3 x^{2}-36 x-336, & \text { यदि } x>4,\end{cases}$$

द्वारा परिभाषित है। माना $$\mathrm{A}=\{\mathbf{x} \in \mathbf{R}: \mathrm{f}$$ वर्धमान है $$\}$$ तो $$\mathrm{A}$$ बराबर है :

यदि $$\mathrm{P}$$ परवलय, $$\mathrm{y}=\mathrm{x}^{2}+4$$ पर एक ऐसा बिन्दु है, जो सरल रेखा $$\mathrm{y}=4 \mathrm{x}-1$$ के निकटतम है, तो $$\mathrm{P}$$ के निर्देशांक हैं :

समुच्चय $$\{1,2,3,4,5\}$$ से दो यादृच्छिक चुने गए उपसमुच्चयों के सर्वनिष्ठ में ठीक दो अवयव होने की प्रायिकता है :

$$\tan \left(\frac{1}{4} \sin ^{-1} \frac{\sqrt{63}}{8}\right)$$ का एक सम्भावित मान है :

क्षेत्र $$\mathrm{R}=\left\{(\mathrm{x}, \mathrm{y}): 5 \mathrm{x}^{2} \leq \mathrm{y} \leq 2 \mathrm{x}^{2}+9\right\}$$ का क्षेत्रफल है :

माना एक बिन्दु $$\mathrm{P}$$ इस प्रकार है कि इसकी बिन्दु $$(5,0)$$ से दूरी, बिन्दु $$(-5,0)$$ से दूरी का तीन गुना है। यदि बिंदु $$\mathrm{P}$$ का बिन्दु पथ एक वृत्त है जिसकी त्रिज्या $$\mathrm{r}$$ है, तो $$4 \mathrm{r}^{2}$$ बराबर है ____________ |

यदि दस धन पूर्णांकों $$1,1,1, \ldots ., 1, \mathrm{k}$$ का प्रसरण $$10$$ से कम है, तो $$\mathrm{k}$$ का अधिकतम संभावित मान है _____________ |

माना $$\lambda$$ एक पूर्णांक है। यदि रेखाओं $$\mathrm{x}-\lambda=2 \mathrm{y}-1=-2 \mathrm{z}$$ तथा $$x=y+2 \lambda=z-\lambda$$ के बीच की न्यूनतम दूरी $$\frac{\sqrt{7}}{2 \sqrt{2}}$$ है, तो $$|\lambda|$$ बराबर है ___________.

यदि $$\mathrm{a}+\alpha=1, \mathrm{~b}+\beta=2$$ तथा $$\mathrm{af}(\mathrm{x})+\alpha \mathrm{f}\left(\frac{1}{\mathrm{x}}\right)=\mathrm{bx}+\frac{\beta}{\mathrm{x}}, \mathrm{x} \neq 0$$ हैं, तो $$\frac{\mathrm{f}(\mathrm{x})+\mathrm{f}\left(\frac{1}{\mathrm{x}}\right)}{\mathrm{x}+\frac{1}{\mathrm{x}}}$$ बराबर है _____________.

माना $$\mathrm{i}=\sqrt{-1}$$ है यदि $$\frac{(-1+\mathrm{i} \sqrt{3})^{21}}{(1-\mathrm{i})^{24}}+\frac{(1+\mathrm{i} \sqrt{3})^{21}}{(1+\mathrm{i})^{24}}=k$$ है, तथा $$\mathrm{n}=[|\mathrm{k}|],|\mathrm{k}|$$ का महत्तम पूर्णांक भाग है, तो $$\sum\limits_{j=0}^{n+5}(j+5)^{2}-\sum\limits_{j=0}^{n+5}(j+5)$$ बराबर है ____________ |

समीकरण $$(x+1)^2+|x-5|=\frac{27}{4}$$ के वास्तविक मूलों की संख्या है ____________ |

छात्रा, $$\mathrm{S}_{1}, \mathrm{~S}_{2}, \ldots ., \mathrm{S}_{10}$$ को तीन समूहों $$\mathrm{A}, \mathrm{B}$$ तथा $$\mathrm{C}$$ में इस प्रकार विभाजित करना है कि प्रत्येक समूह में कम से कम एक छात्र हो तथा समूह $$\mathrm{C}$$ में अधिक से अधिक $$3$$ छात्र हों। तो इस प्रकार समूह बनाने की कुल संभावनायें हैं _____________ |

एक गुणोत्तर श्रेढ़ी के पहले चार पदों का योग $$\frac{65}{12}$$ है तथा उनके व्युत्क्रमों का योग $$\frac{65}{18}$$ है। यदि इसके पहले तीन पदों का गुणनफल $$1$$ हो और तीसरा पद $$\alpha$$ हो, तो $$2 \alpha$$ बराबर है ____________ |