यदि y = y(x) समीकरण

$$\frac{dy}{dx} = (y + 1)\left( {(y + 1){e^{\frac{x^2}{2}}} - x} \right)$$, 0 < x < 2.1, जिसमें y(2) = 0 है, का समाधान हो। तो x = 1 पर $$\frac{dy}{dx}$$ का मान है:

रेखीय समीकरण प्रणाली निम्नानुसार दी गई है

4x + $$\lambda$$y + 2z = 0

2x $$-$$ y + z = 0

$$\mu$$x + 2y + 3z = 0, $$\lambda$$, $$\mu$$ $$\in$$R.

का एक गैर-तुच्छ समाधान है। तब निम्नलिखित में से कौन सा सही है?

वक्र 4y² = x²(4 $$-$$ x)(x $$-$$ 2) द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल है :

यदि 15sin⁴$$\alpha$$ + 10cos⁴$$\alpha$$ = 6, किसी $$\alpha$$$$\in$$R के लिए, तब

27sec⁶$$\alpha$$ + 8cosec⁶$$\alpha$$ का मान क्या होगा :

चलिए $$\overrightarrow a $$ और $$\overrightarrow b $$ दो गैर-शून्य वैक्टर होते हैं जो एक दूसरे के लंबवत हैं और $$|\overrightarrow a | = |\overrightarrow b |$$. यदि $$|\overrightarrow a \times \overrightarrow b | = |\overrightarrow a |$$ है, तो वैक्टर $$\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b + \left( {\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right)} \right)$$ और $${\overrightarrow a }$$ के बीच का कोण है :

एक जटिल संख्या w = 1 $$-$$ $${\sqrt 3 }$$i है। ऐसी एक और जटिल संख्या z है जिसके लिए |zw| = 1 और arg(z) $$-$$ arg(w) = $${\pi \over 2}$$ है। तब मूल बिंदु, z और w के वर्टेक्स के साथ त्रिभुज का क्षेत्रफल बराबर होता है :

f : R $$ \to $$ R एक फ़ंक्शन को परिभाषित किया गया है जैसे की

$$f(x) = \left\{ \matrix{ {{\sin (a + 1)x + \sin 2x} \over {2x}},\text{यदि}\,x < 0 \hfill \cr b,\,\text{यदि}\,x\, = 0 \hfill \cr {{\sqrt {x + b{x^3}} - \sqrt x } \over {b{x^{5/2}}}},\text{यदि}\,x > 0 \hfill \cr} \right.$$

यदि f x = 0 पर सतत है, तो a + b का मान बराबर है :

माना g(x) = $$\int_0^x {f(t)dt} $$, जहाँ f [ 0, 3 ] में एक सतत फ़ंक्शन है ऐसा कि $${1 \over 3}$$ $$ \le $$ f(t) $$ \le $$ 1 सभी t$$\in$$ [0, 1] के लिए और 0 $$ \le $$ f(t) $$ \le $$ $${1 \over 2}$$ सभी t$$\in$$ (1, 3] के लिए। g(3) के में आने वाले सबसे बड़े संभावित अंतराल है :

$$2n$$ अवलोकनों की एक श्रृंखला में मान लें, उनमें से आधे $$a$$ के बराबर होते हैं और शेष आधे $$-$$a के बराबर होते हैं। इन अवलोकनों में से प्रत्येक में एक निरंतर $$b$$ जोड़कर, नई सेट का माध्य और मानक विचलन क्रमशः 5 और 20 हो जाते हैं। तब $$a^{2} + b^{2}$$ का मान कितना होगा:

एक त्रिभुज ABC में, यदि $$|\overrightarrow {BC} | = 8,|\overrightarrow {CA} | = 7,|\overrightarrow {AB} | = 10$$, तो वैक्टर $$\overrightarrow {AB} $$ का $$\overrightarrow {AC} $$ पर प्रक्षेपण बराबर है :

n $$\times$$ n वास्तविक मैट्रिसेज A और B की एक वर्ग पर एक संबंध R को परिभाषित करें जैसे कि

"ARB यदि कोई गैर-सिंगुलर मैट्रिक्स P मौजूद हो ऐसा कि PAP^$$-$$1 = B".

तब निम्न में से कौन सा सत्य है?

मान लीजिए एक समबाहु त्रिभुज ABC का केंद्रक मूल पर है। त्रिभुज की एक भुजा सीधी रेखा x + y = 3 के साथ है। यदि R और r क्रमश: $$\Delta$$ABC के परिवृत्त और अंतर्वृत्त की त्रिज्या हो, तो (R + r) का मान है:

f : R $$-$$ {3} $$ \to $$ R $$-$$ {1} को f(x) = $${{x - 2} \over {x - 3}}$$ द्वारा परिभाषित करें।

g : R $$ \to $$ R को g(x) = 2x $$-$$ 3 के रूप में दिया गया है। तब, x के उन सभी मानों का योग जिनके लिए f^$$-$$1(x) + g^$$-$$1(x) = $${{13} \over 2}$$ होता है, वह है :

एक समांतर श्रेणी के पहले 2n पदों का योग S₁ है। उसी समांतर श्रेणी के पहले 4n पदों का योग S₂ है। अगर (S₂ $$-$$ S₁) 1000 है, तो समांतर श्रेणी के पहले 6n पदों का योग बराबर होता है :

यदि $$\sum\limits_{r = 1}^{10} {r!({r^3} + 6{r^2} + 2r + 5) = \alpha (11!)} $$, तो $$\alpha$$ का मान ___________ है।

यदि f(x) और g(x) दो बहुपद हैं जिससे कि बहुपद P(x) = f(x³) + x g(x³) x² + x + 1 से विभाज्य है, तो P(1) का मान _________ के बराबर है।

$$\left[ {{{x + 1} \over {x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{1}{3}} + 1}} - {{x - 1} \over {x - x^{\frac{1}{2}}}}} \right]^{10}$$, x $$\ne$$ 1 में विस्तार के स्वतंत्र शब्द x के बराबर है ____________.

यदि y = y(x) विभेदक समीकरण

xdy $$-$$ ydx = $$\sqrt {({x^2} - {y^2})} dx$$, x $$ \ge $$ 1, के समाधान को दर्शाता है, जिसमें y(1) = 0 है। यदि x = 1, x = e^$$\pi$$, y = 0 और y = y(x) के बीच बंधा क्षेत्रफल $$\alpha$$e^2$$\pi$$ + $$\beta$$ है, तो 10($$\alpha$$ + $$\beta$$) का मान __________ है।

कोई I आइडेंटिटी मैट्रिक्स 2 $$\times$$ 2 का क्रम है और P = $$\left[ {\matrix{ 2 & { - 1} \cr 5 & { - 3} \cr } } \right]$$. फिर n$$\in$$N का मान जिसके लिए Pⁿ = 5I $$-$$ 8P बराबर है ____________.

f : R $$ \to $$ R को संतुष्ट करने वाला समीकरण f(x + y) = f(x) . f(y) सभी x, y $$\in$$R के लिए और किसी भी x$$\in$$R के लिए f(x) $$\ne$$ 0 है। यदि f फ़ंक्शन x = 0 पर अलग करने योग्य है और f'(0) = 3, तो

$$\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} {1 \over h}(f(h) - 1)$$ के बराबर ____________ है।

P(x) एक वास्तविक बहुपद है जिसकी डिग्री 3 है और जो x = $$-$$3 पर शून्य है। माना P(x) का स्थानीय न्यूनतम मान x = 1 पर है, स्थानीय अधिकतम मान x = $$-$$1 पर है और $$\int\limits_{ - 1}^1 {P(x)dx} $$ = 18 है, तो बहुपद P(x) के सभी गुणांकों का योग ____ है।