माना $$\mathrm{a, b}$$ तथा $$\mathrm{c}$$ एक समान्तर श्रेणी (जो कि अचर समान्तर श्रेणी नहीं है) के क्रमशः $$7$$ वें, $$11$$ वें तथा $$13$$ वें पद हैं। यदि ये एक गुणोत्तर श्रेणी के भी तीन क्रमागत पद हैं तो $$\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{c}}$$ बराबर है-

माना एक त्रिभुज की दो भुजाओं के समीकरण $$3 x-2 y+6=0$$ तथा $$4 x+5 y-20=0$$ है। तथा इस त्रिभुज का लंबकेंद्र $$(1,1)$$ पर है, तो इसकी तीसरी भुजा का समीकरण है :

$$\alpha$$ के उन सभी संभावित धन पूर्णांक मानों की संख्या जिनके लिए द्विघातीय समीकरण $$6 x^{2}-11 x+\alpha=0$$ के मूल परिमेय संख्याएँ है, हैं-

माना $$\mathrm{A}=\{x \in \mathbf{R}: x$$ एक धन पूर्णांक नहीं है $$\}$$ एक फलन $$\mathrm{f}: \mathrm{A} \rightarrow \mathbf{R}$$ निम्न प्रकार से परिभाषित है : $$f(x)=\frac{2 x}{x-1}$$, तो $$f$$ एक है:

अंकों $$0,1,3,7,9$$ के प्रयोग से (जहाँ अंकों को दोहराया जा सकता है ) बनाई जा सकने वाली प्राकृत संख्याएँ जो $$7000$$ से कम है, की संख्या है-

माना $$\mathrm{A}(4,-4)$$ तथा $$\mathrm{B}(9,6)$$ एक परवलय $$y^{2}=4 x$$ पर स्थित दो बिन्दु है। माना परवलय के चाप $$\mathrm{AOB}$$ (जहाँ $$\mathrm{O}$$ मूल बिन्दु है) पर स्थित एक बिन्दु $$\mathrm{C}$$ एक प्रकार चुना गया कि $$\triangle \mathrm{ACB}$$ का क्षेत्रफल अधिकतम है, तो $$\triangle \mathrm{ACB}$$ का क्षेत्रफल (वर्ग इकाईयों में) है-

यदि $$\mathrm{x}=3 \tan \mathrm{t}$$ तथा $$\mathrm{y}=3 \sec \mathrm{t}$$ है, तो $$\mathrm{t}=\frac{\pi}{4}$$ पर $$\frac{\mathrm{d}^{2} \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^{2}}$$ का मान है-

माना $$\mathrm{f}: \mathrm{R} \rightarrow \mathrm{R}$$ एक ऐसा अवकलीनय फलन है, कि सभी $$x, y, \in \mathbf{R}$$ के लिए $$|f(x)-f(y)| \leq 2|x-y|^{3 / 2}$$ है, तो $$\int\limits_{0}^{1} f^{2}(x) d x$$ बराबर है-

आँकड़ों के एक समूह में $$\mathrm{n}$$ प्रेक्षण $$x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$$. यदि $$\sum\limits_{t=1}^{\mathrm{n}}\left(x_{t}+1\right)^{2}=9 \mathrm{n}$$ तथा $$\sum\limits_{t=1}^{\mathrm{n}}\left(x_{t}-1\right)^{2}=5 \mathrm{n}$$ है, तो इन आँकड़ों का मानक विचलन है-

यदि $$f(x)=\int \frac{5 x^{8}+7 x^{6}}{\left(x^{2}+1+2 x^{7}\right)^{2}} d x,(x \geq 0)$$, तथा $$f(0)=0$$ है, तो $$f(1)$$ का मान है-

यदि $$A=\left[\begin{array}{ccc}e^{t} & e^{-t} \cos t & e^{-t} \sin t \\ e^{t} & -e^{-t} \cos t-e^{-t} \sin t & -e^{-t} \sin t+e^{-t} \cos t \\ e^{t} & 2 e^{-t} \sin t & -2 e^{-t} \cos t\end{array}\right]$$ है, तो $$\mathrm{A}$$ :

यदि रेखाएँ $$x=a y+\mathrm{b}, z=c y+\mathrm{d}$$ तथा $$x=\mathrm{a}$$' $$z+\mathrm{b}$$', $$y=\mathrm{c}$$' $$z+\mathrm{d}$$' लम्बवत् हैं, तो-

यदि द्विघात समीकरण $$x^{2}-m x+4=0$$ के दोनों मूल वास्तविक तथा भिन्न हैं और वे अंतराल $$[1,5]$$ में स्थित हैं, तो $$m$$ जिस अंतराल में स्थित है, वह है-

माना $$\mathrm{S}, x y$$-तल में स्थित ऐसी सभी त्रिभुजों का समुच्चय है जिनका एक शीर्ष मूल बिन्दु पर है तथा दूसरे दो शीर्ष निर्देशांक अक्षों पर हैं तथा जिनके निर्देशांक पूर्णांकीय है। यदि $$\mathrm{S}$$ की प्रत्येक त्रिभुज का क्षेत्रफल $$50$$ वर्ग इकाई है, तो समुच्चय $$\mathrm{S}$$ के अवयवों की संख्या है-

क्षेत्र $$\mathrm{A}=\{(x, y): 0 \leq y \leq x|x|+1$$ तथा $$-1 \leq x \leq 1\}$$ का वर्ग इकाईयों में क्षेत्रफल है:

यदि रैखिक समीकरण निकाय

$$ \begin{gathered} x-4 y+7 z=g \\ 3 y-5 z=h \\ -2 x+5 y-9 z=k \end{gathered} $$

संगत (consistent) हैं, तो:

माना कि द्विघातीय समीकरण $$x^{2}+x+1=0$$, का एक मूल $$z_{0}$$ है। यदि $$z=3+6 i ~z_{0}^{81}-3 i ~z_{0}^{93}$$ है, तो कोणांक $$z(\arg z)$$ बराबर है-

माना $$f:[0,1] \rightarrow \mathrm{R}$$ इस प्रकार है कि सभी $$x, y \in[0,1]$$ के लिए $$f(x y)=f(x) . f(y)$$ है तथा $$f(0) \neq 0$$ है। यदि $$y=y(x)$$ अवकल समीकरण $$\frac{d y}{d x}=f(x)$$ को संतुष्ट करता है और $$y(0)=1$$ है, तो $$y\left(\frac{1}{4}\right)+y\left(\frac{3}{4}\right)$$ बराबर है-

यदि $$x=\sin ^{-1}(\sin 10)$$ तथा $$y=\cos ^{-1}(\cos 10)$$ है, तो $$y-x$$ बराबर है-

सभी $$x \in \mathbf{R}$$ के लिए, माना $$[x]$$ एक महत्तम पूर्णांक है जो $$x$$ के समान अथवा उससे कम है, तो $$\lim\limits_{\mathrm{x} \rightarrow 0} \frac{x([x]+|x|) \sin [x]}{x}$$ बराबर है-

माना $$\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\sqrt{2} \hat{k}, \vec{b}=b_{1} \hat{i}+b_{2} \hat{j}+\sqrt{2} \hat{k}$$ और $$\overrightarrow{\mathrm{c}}=5 \hat{i}+\hat{j}+\sqrt{2} \hat{k}$$ तीन सदिश इस प्रकार है कि सदिश $$\overrightarrow{\mathrm{b}}$$ का $$\overrightarrow{\mathrm{a}}$$ पर प्रक्षेप सदिश $$\overrightarrow{\mathrm{a}}$$ है। यदि $$\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}$$, सदिश $$\overrightarrow{\mathrm{c}}$$ के लम्बवत है तब $$|\overrightarrow{\mathrm{b}}|$$ बराबर है-

एक अतिपरवय का केंद्र मूल बिन्दु पर है, तथा यह बिन्दु $$(4,2)$$ से होकर जाता है और इसका अनुप्रस्थ (transverse) अक्ष, $$x$$-अक्ष के अनुदिश है जिसकी लम्बाई $$4$$ है। तो इस अतिपरवलय की उत्केंद्रता (eccentricity) है-

एक कलश में $$5$$ लाल तथा $$2$$ हरी गेंदे हैं। इस कलश में से यादृच्छया एक गेंद निकाली गई। यदि निकाली गई गेंद हरी है, तो कलश में एक लाल गेंद डाली जाती है तथा यदि निकाली गई गेंद लाल है, तो कलश में एक हरी गेंद डाली जाती है, जबकि निकाली गई गेंद वापिस नहीं डाली जाती। अब इसमें से यादृच्छया एक दूसरी गेंद निकाली गई, तो इस दूसरी गेंद के लाल होने की प्रायिकता है-

यदि $$\int\limits_{0}^{\pi / 3} \frac{\tan \theta}{\sqrt{2 \mathrm{ksec} \theta}} \mathrm{d} \theta=1-\frac{1}{\sqrt{2}},(\mathrm{k} > 0)$$ है, तो $$\mathrm{k}$$ का मान है-