ধর $$\{ 1,2,3,\,.....,\,60\} $$ হতে ঐ সেটেই $$R$$ একটি সম্বন্ধ যাহা নিম্নরূপ $$R = \{ (a,b):b = pq,$$ যেখানে $$p,q$$ সহমৌলিক এবং $$p,q \ge 3\} $$ । $$R$$ এর পদসংখ্যা হল ঃ

$$z = 2 + 3i$$ হলে $${z^5} + {(\overline z )^5}$$ সমান ঃ

ধর $$A$$ ও $$B$$ হল $$3 \times 3$$ ক্রমের দুটি বাস্তব অশূন্য ম্যাট্রিক্স যাতে করে $$AB = 0$$, যেখানে $$0$$ হল $$3 \times 3$$ ক্রমের শূন্য ম্যাট্রিক্স। তাহলে $$AX = 0$$, যেখানে *** , সহসমীকরণগুলির জন্য নীচের কোনটি সঠিক?

যদি $${1 \over {(20 - a)(40 - a)}} + {1 \over {(40 - a)(60 - a)}}\, + \,...\, + \,{1 \over {(180 - a)(200 - a)}} = {1 \over {256}}$$, তবে $$a$$ এর সর্বোচ্চ মান হল ঃ

যদি $$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\alpha {e^x} + \beta {e^{ - x}} + \gamma \sin x} \over {x{{\sin }^2}x}} = {2 \over 3}$$, যেখানে $$\alpha ,\beta ,\gamma \in R$$, তবে নীচের কোনটি সত্য নয় ?

সমাকলনটির $$\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{1 \over {3 + 2\sin x + \cos x}}dx} $$ মান -

ধর $$y = y(x)$$ হল নীচের অবকল সমীকরণটির $$\left( {1 + {e^{2x}}} \right)\left( {{{dy} \over {dx}} + y} \right) = 1$$ এমন একটি সমাধান যাহা $$\left( {0,{\pi \over 2}} \right)$$ বিন্দুগামী। তাহলে $$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {e^x}y(x)$$ সমান ঃ

ধর $$L$$ এমন একটি রেখা যাহা $$bx + 10y - 8 = 0$$ ও $$2x - 3y = 0,b \in R - \left\{ {{4 \over 3}} \right\}$$ রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দুগামী। যদি $$L$$ রেখাটি $$(1,1)$$ বিন্দুগামী এবং $$17({x^2} + {y^2}) = 16$$ বৃত্তের একটি স্পর্শক হয়, তবে $${{{x^2}} \over 5} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1$$ এর উৎকেন্দ্রতা হবে ঃ

$$A(a,3)$$, $$B(b,5)$$ ও $$C(a,b)$$, $$ab > 0$$, শীর্ষবিন্দু যুক্ত একটি ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র $$P(1,1)$$ । যদি $$AP$$ রেখাটি $$BC$$ রেখাকে $$Q({k_1},{k_2})$$ বিন্দুতে ছেদ করে, $${k_1} + {k_2}$$ একটি সম্ভাব্য মান হবে ঃ

ধরি $$\widehat a$$ ও $$\widehat b$$ দুইটি আলাদা এমন একক ভেক্টর যাদের মধ্যেকার কোণ হল $${\pi \over 4}$$ । যদি $$(\widehat a + \widehat b)$$ এবং $$(\widehat a + 2\widehat b + 2(\widehat a \times \widehat b))$$ এর মধ্যেকার কোণ $$\theta $$ হয়, তবে $$164{\cos ^2}\theta $$ এর মান হবে ?

যদি $$f(\alpha ) = \int\limits_1^\alpha {{{{{\log }_{10}}t} \over {1 + t}}dt,\,\alpha > 0} $$, তবে $$f({e^3}) + f({e^{ - 3}})$$ এর মান ঃ

$$\left\{ {(x,y):|x - 1| \le y \le \sqrt {5 - {x^2}} } \right\}$$ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হল ঃ

ধর $$L:y = mx + c,\,m > 0$$ হল $$P:{y^2} = 4x$$ অধিবৃত্তের একটি নাভি জ্যা। মনেকর $$L$$ রেখাটি $$P$$ অধিবৃত্তটিকে $$M$$ ও $$N$$ বিন্দুতে ছেদ করেছে এবং $$L$$ রেখাটি $$H:{x^2} - {y^2} = 4$$ পরাবৃত্তের একটি স্পর্শক। আরও দেওয়া আছে যে $$O$$ হল $$P$$ অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু, $$F$$ হল $$H$$ পরাবৃত্তের নাভিবিন্দু, এবং $$F$$ বিন্দুটি $$x$$-এর ধনাত্মক দিকে অবস্থিত। তাহলে $$OMFN$$ চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল হবে ঃ

$$f:R \to R,\,f(x) = |x - 1|\cos |x - 2|\sin |x - 1| + (x - 3)|{x^2} - 5x + 4|$$, অপেক্ষটি যে যে বিন্দুতে অবকলযোগ্য নয় তাদের সংখ্যা হল ঃ

ধর $$S = \{ 1,2,3,\,....,2022\} $$ $$S$$ হইতে যদৃচ্ছভাবে তুলে নেওয়া একটি সংখ্যার সাথে $$2022$$ এর গসাগু $$1$$ হওয়ার সম্ভাবনা হল ঃ

$$f(x) = {3^{{{({x^2} - 2)}^3} + 4}},x \in R$$

এই অপেক্ষকটির জন্য নীচের উক্তিগুলি বিবেচনা করো ঃ

$$P:x = 0$$ বিন্দুটিতে $$f$$ এর স্থানীয় অবম মান আছে

$$Q:x = \sqrt 2 $$ বিন্দুটি $$f$$ এর একটি রুপান্তর বিন্দু

$$R:x > \sqrt 2 $$ এর জন্য $$f'$$ একটি বর্ধিষ্ণু অপেক্ষক

নীচের কোনটি সঠিক ?

ধর $$20$$ টি পর্যবেক্ষণ $${x_1},{x_2},\,....,\,{x_{20}}$$ এর গড় ও ভেদমান হল যথাক্রমে $$15$$ ও $$9$$ । যদি কোণ $$\alpha \in R$$ এর মানের জন্য $${({x_1} + \alpha )^2},{({x_2} + \alpha )^2},\,.....,\,{({x_{20}} + \alpha )^2}$$ এর গড় মান হল $$178$$ । এরূপ $$\alpha $$ দের সর্বোচ্চ মানের বর্গ হবে _____________ ।

ধর $${a_1},{a_2},{a_3},\,....$$ একটি সমান্তর প্রগতি যার জন্য $$\sum\limits_{r = 1}^\infty {{{{a_r}} \over {{2^r}}} = 4} $$ হয়। তাহলে $$4{a_2}$$ এর মান হবে ___________ ।

ধর $$n$$ একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা । আরও মনে করো যে $${\left( {\root 4 \of 2 + {1 \over {\root 4 \of 3 }}} \right)^n}$$ এর বিস্তৃতিটির $${1 \over {\root 4 \of 3 }}$$ এর ক্রমবর্ধমান ধাতে শুরু হতে পঞ্চম পদ ও শেষ হতে পঞ্চম পদের অনুপাত হল $$\root 4 \of 6 :1$$ । ঐ বিস্তৃতিটির শুরু হতে ষষ্ঠ পদ $${\alpha \over {\root 4 \of 3 }}$$ হলে $$\alpha $$ এর মান হবে ___________ ।

$$0$$ এবং $$1$$ ও $$3 \times 3$$ ম্যাট্রিক্স সংখ্যা, যাতে পদ সমূহের যোগফল একটি মৌলিক সংখ্যা, হল ____________ ।

ধর $$p$$ এবং $$p + 2$$ হল দুটি মৌলিক সংখ্যা এবং

$$\Delta = \left| {\matrix{ {p!} & {(p + 1)!} & {(p + 2)!} \cr {(p + 1)!} & {(p + 2)!} & {(p + 3)!} \cr {(p + 2)!} & {(p + 3)!} & {(p + 4)!} \cr } } \right|$$

আরও ধর $$\alpha $$ এবং $$\beta $$ হল $${p^\alpha }$$ এবং $${(p + 2)^\beta }$$ এর সর্বোচ্চ ঘাত যার জন্য $${p^\alpha }$$ এবং $${(p + 2)^\beta }$$ উভয়েই $$\Delta $$ এর ভাজক। এরূপ $$\alpha $$ এবং $$\beta $$ এর যোগফল হল _____________ ।

ধর $$S = \{ 4,6,9\} $$ এবং $$T = \{ 9,10,11,\,...,\,1000\} $$ । যদি $$A = \{ {a_1} + {a_2}\, + \,...\, + \,{a_k}:k \in N,{a_1},{a_2},{a_3},\,...,\,{a_k} \in S\} $$, তবে $$T - A$$ সেটের সমস্ত সংখ্যা হল ____________ ।

ধর $${c_1}:{x^2} + {y^2} - 2x - 6y + \alpha = 0$$ বৃত্তের $$y = x + 1$$ সরলরেখার সাপেক্ষে দর্পণ প্রতিবিম্ব হল $${c_2}:5{x^2} + 5{y^2} + 10gx + 10fy + 38 = 0$$ । যদি $$r\,{c_2}$$ বৃত্তের ব্যাসার্ধ হয়, তবে $$\alpha + {r^2}$$ এর মান হল ______________ ।