माना किसी कार्नो इंजन की दक्षता निम्नवत दी हुई है, $$\eta=\frac{\alpha \beta}{\sin \theta} \log_e \frac{\beta x}{k T}$$, जहाँ $$\alpha$$ एवं $$\beta$$ स्थिरांक हैं ।यदि $$\mathrm{T}$$ तापमान है, $$\mathrm{k}$$ बोल्टजमैन स्थिरांक है, $$\theta$$ कोणीय विस्थापन है, एवं $$x$$ लम्बाई की विमाएँ रखता है। तो गलत विकल्प चुनिए :

समय $$\mathrm{t}=0$$ पर, कोई कण $$7 \hat{\mathrm{z}} \mathrm{cm}$$ की ऊँचाई से एक तल में स्थिर $$\mathrm{z}$$ के साथ चलना प्रारम्भ करता है। किसी क्षण पर, $$\hat{x}$$ एवं $$\hat{y}$$ दिशाओं के अनुदिश इसकी स्थिति क्रमशः $$3 \mathrm{t}$$ एवं $$5 \mathrm{t}^{3}$$ द्वारा परिभाषित है। समय $$t=1 \mathrm{~s}$$ पर, कण के त्वरण का मान होगा

किसी प्रेशर पम्प में $$10 \mathrm{~cm}^{2}$$ अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल वाली क्षैतिज नली से पानी $$20 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$$ की चाल से बाहर निकलता है । तो नली के बाहर क्षैतिज रूप से बह रहे पानी द्वारा, नली के सामने स्थित एक ऊध्व्वधर दीवार पर आरोपित बल का मान है :

(दिया है, जल का घनत्व $$=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}$$ )

$$\mathrm{m}$$ द्रव्यमान एवं '$$\mathrm{L}$$' लम्बाई की कोई एकसमान धात्वेक जंजीर, किसी द्रव्यमान रहित एवं घर्षण रहित घिरनी के ऊपर से होकर गुजर रही है । जब इसकी लम्बाई का '$$l$$' भाग, घिरनी के एक तरफ एवं बाकी '$$\mathrm{L}-l$$' भाग दूसरी तरफ लटक रहा है, तो इसे गिरने के लिए स्वतंत्र छोड दिया जाता है। किसी क्षण पर, जब $$l=\frac{L}{x}$$ है, तो जंजीर का त्वरण $$\frac{g}{2}$$ है | $$x$$ का मान होगा _____________

$$200 \mathrm{~g}$$ द्रव्यमान की एक गोली जिसकी प्रारमिक गतिज ऊर्जा का मान $$90 \mathrm{~J}$$ है, इसको एक बडे तालाब में दागा जाता है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। $$1 \mathrm{~s}$$ में में इसकी गतिज ऊर्जा घट कर $$40 \mathrm{~J}$$ हो जाती है। पूर्णतः विश्राम अवस्था में आने से पहले, गोली द्वारा तय की गई तालाब की न्यूनतम लम्बाई होगी-

माना दो एकसमान सरल लोलक घडियाँ हैं। घडी - $$1$$ पृथ्वी के तल पर है, एवं घडी - $$2$$ किसी स्पेस स्टेशन (अंतरिक्ष केन्द्र) में पृथ्वी के तल से $$h$$ ऊँचाई पर रखी है । घडी - $$1$$ एवं घडी - $$2$$ , $$4 \mathrm{~s}$$ एवं $$6 \mathrm{~s}$$ के आवर्त कालों पर क्रियान्वित होती है। तो $$h$$ का मान होगा

(माना पृथ्वी की त्रिज्या $$R_{E}=6400 \mathrm{~km}$$ एवं पृथ्वी पर $$\mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$$ )

माना $$1 \mathrm{~m}$$ त्रिज्या वाली बेलनाकार टंकी पानी से भरी है। पानी का ऊपरी तल, टंकी की तली से $$15 \mathrm{~m}$$ की ऊँचाई पर है । तली से $$5 \mathrm{~m}$$ की ऊँचाई पर, टंकी की दिवार में एक छेद है। किसी पिस्टन की सहायता से, पानी के ऊपरी तल पर $$5 \times 10^{5} \mathrm{~N}$$ का एक बल आरोपित किया जाता है। छेद से बाहर आने वाली धारा की गति होगी ____________

(दिया है, वातावरण दाब $$P_{A}=1.01 \times 10^{5} \mathrm{~Pa}$$, पानी का घनत्व $$\rho_{\mathrm{W}}=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}$$, गुरुत्वीय त्वरण $$\mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$$ )

$$27^{\circ} \mathrm{C}$$ तापमान पर किसी बर्तन में $$14 \mathrm{~g}$$ नाइट्रोजन गैस रखी है। गैस के अणुओं की वर्ग माध्य मूल चाल को दोगुना करने के लिए गैस को स्थानान्तरीत की जाने वाली आवश्यक ऊष्मा की मात्रा होगी

($$\mathrm{R}=8.32 \mathrm{~J} \mathrm{~mol}^{-1} \mathrm{~k}^{-1}$$ लीजिए)

$$\mathrm{K}$$ परावैद्युतांक वाले किसी गुटके के अनुप्रस्थकाट का क्षेत्रफल, एक समानान्तर पट्टिका संधारित्र की पट्टियों के क्षेत्रफल के बराबर है, एवं उसकी मोटाई $$\frac{3}{4} \mathrm{~d}$$ है, जहाँ $$\mathrm{d}$$, संधारित्र की पट्टियों के बीच की दूरी है । जब गुटके को संधारित्र की प्लेटों के बीच में रखा जाता है तो इसकी धारिता होगी (दिया है $$\mathrm{C}_{0}$$ संधारित्र की प्रारम्भिक धारिता है।)

$$1 \mathrm{~m}$$ लम्बी दो समानान्तर पट्टियों के बीच, $$\mathrm{E}=(8 \mathrm{~m} / \mathrm{e}) \mathrm{V} / \mathrm{m}$$ मान का एकसमान विद्युत क्षेत्र उत्पन्न किया जाता है, (जद्राँ $$\mathrm{m}=$$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान एवं $$\mathrm{e}=$$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है)। दोनो पट्टियों के बीच सममित रूप से एक इलेक्ट्रॉन $$2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$$ की चाल से प्रवेश करता है। जब यद्ध इलेक्ट्रान विद्युत क्षेत्र से बाद्र निकलता है, तो इसके पथ में दुए विक्षेप का कोण होगा

नीचे दो कथन दिए गए हैं :

कथन-$$\mathrm{I}$$: $$80 ~\Omega$$ प्रतिरोध के किसी एकसमान तार को चार बराबर भागों में काटा जाता है । अब इन भागों को पार्थ क्रम में जोड दिया जाता है। संयोजन का तुल्य प्रतिरोध $$5 ~\Omega$$ दोगा।

कथन-$$\mathrm{II}$$: किसी विद्युत परिपथ में $$\mathrm{2R}$$ एवं $$\mathrm{3R}$$ मान वाले दो प्रतिरोध पार्ध क्रम में जुडे हैं। $$\mathrm{3R}$$ एवं $$\mathrm{2R}$$ में उत्पन्त दुई उष्मीय ऊर्जाओं का अनुपात $$3: 2$$ होगा।

ऊपर दिए गए कथनों के आलोक में नीचे दिए गए विकल्पों में से सर्वधधिक उपयुक्त उत्तर चुनिए।

एक त्रिभुजाकार तार जिसमें $$10 \mathrm{~A}$$ मान की धारा प्रवाहित हो रही है, इसको $$0.5 \mathrm{~T}$$ मान के किसी एकसमान चुम्बकीय क्षेत्र में रखा जाता है, जैसा कि चित्र में दर्शाया गया है । $$\mathrm{CD}$$ भाग पर आरोपित चुम्बकीय बल का मान हैं :

(दिया है $$\mathrm{BC}=\mathrm{CD}=\mathrm{BD}=5 \mathrm{~cm}$$ )

किसी धारावाही वृत्ताकार छल्ले के केन्द्र पर चुम्बकीय क्षेत्र का मान $$\mathrm{B}_{1}$$ है। दिए हुए वृत्ताकार छल्ले के केन्द्र से इसके अक्ष पर, इसकी त्रिज्या के $$\sqrt{3}$$ गुना दूरी पर चुम्बकीय क्षेत्र का मान $$\mathrm{B}_{2}$$ है। $$\mathrm{B}_{1} / \mathrm{B}_{2}$$ का मान होगा

एक ट्रान्सफॉरमर $$8 \mathrm{~kV}$$ के प्राथमिक वोल्टेज एवं $$160 \mathrm{~V}$$ के द्वितीयक वोल्टेज पर कार्य कर रहा है, एवं $$80 \mathrm{~kW}$$ के लोड (भार) को क्रियान्वेत कर रहा है। माना शुद्ध प्रतिरोधकीय लोड के लिए, यह ट्रान्सफॉरमर आदर्श है एवं इकाई शक्ति गुणांक पर कार्यरत है। प्राथमिक एवं द्वितीयक परिपथ में भारों का क्रमशः मान होगा।

सूर्य का प्रकाश, $$36 \mathrm{~cm}^{2}$$ क्षेत्रफल वाले किसी तल पर लम्बवत गिर रहा है, जो कि $$20$$ मिनट के समय अन्तराल में इस पर $$7.2 \times 10^{-9} \mathrm{~N}$$ का औसत बल आरोपित करता है। यदि पूर्ण अवशोषण की स्थिति मानी जाए, तो आपतित प्रकाश के ऊर्जा फ्लक्स का मान होगा

किसी निश्चित माध्यम में द्विउत्तल लैंस की शक्ति $$1.25 \mathrm{~m}^{-1}$$ है। माना लैंस का अपवर्तनांक $$1.5$$ है एवं उसके वक्रों की त्रिज्याएँ क्रमशः $$20 \mathrm{~cm}$$ एवं $$40 \mathrm{~cm}$$ है। परिवेश माध्यम का अपवर्तनांक परिकलित कीजिए।

फॉटोनों की दो धाराएँ. जिनकी ऊर्जाएँ, धातु के कार्यफलन की क्रमशः पाँच गुना एवं दस गुना हैं, उस धातु के तल पर आपतित होती हैं। दोनों परिस्थितियों में क्रमशः उत्सर्जित होने वाले फोटो इलेक्ट्रॉनों के अधिकतम वेगों का अनुपात होगा

किसी मीनार के शिखर से, एक गेंद को ऊध्वाधर ऊपर की ओर $$19.6 \mathrm{~ms}^{-1}$$ के वेग से फेंका जाता है। गेंद धरातल पर $$6 \mathrm{~s}$$ के बाद पहुँचती है। धरातल से गेंद द्वारा तय की गई अधिकतम ऊँचाई का मान $$\left(\frac{k}{5}\right) \mathrm{m}$$ है, तो $$\mathrm{k}$$ का मान होगा ____________

(माना $$\mathrm{g}=9.8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$$ )

$$\rho=\rho_{0}\left(1-\frac{x^{2}}{L^{2}}\right) \mathrm{kg} / \mathrm{m}$$ द्रव्यमान घनत्व एवं $$\mathrm{L}$$ (मीटर में) लम्बाई वाली किसी एक विमीय छड $$(\mathrm{AB})$$ का द्रव्यमान केन्द्र, इसके $$\mathrm{A}$$ सिरे से $$\frac{3 L}{\alpha} \mathrm{m}$$ की दूरी पर है। $$\alpha$$ का मान __________ है।

(जहाँ $$x$$ सिरे $$\mathrm{A}$$ से दूरी है)

$$4 \mathrm{~mm}^{2}$$ अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल और $$0.5 \mathrm{~m}$$ लम्बाई वाली कोई रस्सी, एक $$2 \mathrm{~kg}$$ द्रव्यमान के ठोस पिण्ड से जुडी हुई है। पिण्ड को किसी त्रिज्या $$0.5 \mathrm{~m}$$ त्रिज्या वाले उर्ध्वधर वृत्ताकार पथ पर घुमाया जाता है । वृत्ताकार पथ के निम्नतम बिंदु पर, पिण्ड की चाल $$5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$$ है। जब पिण्ड वृत्ताकार पथ के निम्नतम बिन्दु पर है तो उस समय रस्सी में उत्पत्र विकृति का मान _________ $$\times 10^{-5}$$ होगा।

(माना यंग गुणांक $$=10^{11} \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2}$$ एवं $$\mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$$ )

किसी निश्चित ताप पर, किसी गैस के अणुओं की स्वातंत्र्य कोटि $$8$$ है । यह गैस $$150 \mathrm{~J}$$ कार्य करती है जब इसको स्थिर दाब पर प्रसारित किया जाता है। गैस द्वारा अवशोषित ऊष्मा की मात्रा ____________ $$\mathrm{J}$$ होगी।

$$x$$-अक्ष के अनुदिश गति करते हुए $$4 \mathrm{~kg}$$ द्रव्यमान के किसी कण की स्थितिज ऊर्जा निम्नवत है $$\mathrm{U}=4(1-\cos 4 x) \mathrm{~J}$$ लघु दोलनों $$(\sin \theta \simeq \theta)$$ के लिए कण का आवर्त काल $$\left(\frac{\pi}{\mathrm{K}}\right) s$$ है। $$\mathrm{K}$$ का मान है।

$$220 \mathrm{~V}$$ एवं $$100 \mathrm{~W}$$ का एक विद्युत बल्ब, $$220 \mathrm{~V}$$ एवं $$60 \mathrm{~W}$$ वाले किसी दूसरे बल्ब के साथ श्रेणी क्रम में जुडा है। यदि संयोजन के सिरों पर वोल्टेज $$220 \mathrm{~V}$$ है, तो $$100 \mathrm{~W}$$ वाले बल्ब द्वारा उपभोग की गई शक्ति का मान लगभग _____________ है।

दिए हुए परिपथ में, कुंजी '$$S$$' को बंद करने के तुरंत बाद $$6 V$$ वाली बैट्री द्वारा प्रवाहित धारा का मान ____________ $$A$$ होगा।

कोई वस्तु '$$\mathrm{o}$$', किसी अवतल दर्पण के समक्ष चित्र में दिखाए अनुसार रखी है, जिसके वक्र की त्रिज्या $$200 \mathrm{~cm}$$ है। वस्तु, दर्पण की तरफ $$2 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$$ की चाल से चलना शुरू करती है। यदि वस्तु की प्रारम्भिक दूरी $$100 \mathrm{~cm}$$ है, तो $$10 \mathrm{~s}$$ बाद, प्रतिबिम्ब की स्थिति दर्पण से ___________ $$\mathrm{cm}$$ दूर होगी।

उत्तल लेंस के एक प्रयोग में, फोकस से मापी गई प्रतिबिम्ब दूरी ( $$v'$$) एवं वस्तु दूरी ( $$u'$$) के बीच का अभिरेख एक वक्र $$v'u'=225$$ प्राप्त होता है। यदि सभी दूरियाँ $$\mathrm{cm}$$ मात्रक में मापी गई हैं। लैंस की फ़ोकल दूरी का परिमाण ___________ $$\mathrm{cm}$$ है।

सरल लोलक का उपयोग करते हुए, गुरुत्वीय त्वरण $$(g)$$ को ज्ञात करने के किसी प्रयोग में, $$1$$ सेकण्ड रिसोल्यूशन (विभेदन काल) वाली घडी के $$100$$ दोलनों के समय से मापा गया आवर्तकाल $$0.5 \mathrm{~s}$$ आता है। यदि मापी गई लम्बाई का मान $$10 \mathrm{~cm}$$ है जिसमें ज्ञात शुद्धि $$1 \mathrm{~mm}$$ है। $$g$$ के परिकलित मान में प्राप्त शुद्धता $$x \%$$ है। $$x$$ का मान ____________ है।