माना एक संतत फलन $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ के लिए $f(0)=1$ और $f(2 x)-f(x)=x, \forall x \in \mathbb{R}$ हैं। यदि $\lim _{n \rightarrow \infty}\left\{f(x)-f\left(\frac{x}{2^n}\right)\right\}=G(x)$ हे, तो $\sum_{r=1}^{10} G\left(r^2\right)$ बराबर हे

माना रेखाओं $\frac{x-3}{3}=\frac{y-\alpha}{-1}=\frac{z-3}{1}$ और $\frac{x+3}{-3}=\frac{y+7}{2}=\frac{z-\beta}{4}$ के बीच न्यूनतम दूरी $3 \sqrt{30}$ है। तो $5 \alpha+\beta$ का धनात्मक मान हे

माना $A=\{1,6,11,16, \ldots\}$ और $B=\{9,16,23,30, \ldots\}$ दो समुच्चय हैं, जिनमें दो समांतर श्रेढ़ियों के प्रथम 2025 पद हैं। तो $n(A \cup B)$ हे

समीकरण $x^2+4 x-n=0$, जहाँ $n \in[20,100]$ एक धनपूर्णांक है, का विचार कीजिए। तो $n$ के सभी भिन्न मानों, जिनके लिए दी गई समीकरण के मूल पूर्णांक हैं, की संख्या है

समुच्चयों $A=\left\{(x, y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}: x^2+y^2=25\right\}, B=\left\{(x, y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}: x^2+9 y^2=144\right\}$, $C=\left\{(x, y) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}: x^2+y^2 \leq 4\right\}$ और $D=A \cap B$ का विचार कीजिए। समुच्चय $D$ से समुच्चय $C$ के एकेकी फलनों की कुल संख्या है:

$1+3+5^2+7+9^2+\ldots$ का 40 पदों तक योग है

यदि $10 \sin ^4 \theta+15 \cos ^4 \theta=6$ है, तो $\frac{27 \operatorname{cosec}^6 \theta+8 \sec ^6 \theta}{16 \sec ^8 \theta}$ का मान है

$\int_{-1}^1 \frac{(1+\sqrt{|x|-x}) e^x+(\sqrt{|x|-x}) e^{-x}}{e^x+e^{-x}} d x$ का मान है

माना एक अवकलनीय फलन $f:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ के लिए $f(x)=1-2 x+\int_0^x e^{x-t} f(t) d t, x \in[0, \infty)$ है। तो $y=f(x)$ और निर्देशांक अक्षों से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल है

4 इंजीनियरों, 2 डॉक्टरों और 10 प्रोफेसरों से 12 व्यक्तियों की एक कमेटी, जिसमें कम से कम 3 इंजीनियर ओर कम से कम 1 डॉक्टर हों, बनाने की प्रायिकता है

एक डब्बे में 10 पेन हैं, जिनमें 3 खराब है। 2 पेन का एक सेम्पल याद्च्छया निकाला जाता है और माना इसमें खराब पेन की संख्या $X$ है। तो $X$ का प्रसरण है

दो सदिशों $\vec{u}=3 \hat{i}-\hat{j}$ और $\vec{v}=2 \hat{i}+\hat{j}-\lambda \hat{k}, \lambda>0$ का विचार कीजिए। इनके बीच का कोण $\cos ^{-1}\left(\frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{7}}\right)$ है। माना $\vec{v}=\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}$ है, जहाँ $\overrightarrow{v_1}$ सदिश $\vec{u}$ के समांतर है और $\overrightarrow{v_2}$, सदिश $\vec{u}$ के लंबवत है। तो $\left|\vec{v}_1\right|^2+\left|\vec{v}_2\right|^2$ का मान है

एक पूर्णांक $n \geq 2$ के लिए, यदि $(x+y)^{2 n-3}$ के द्विपद प्रसार में सभी गुणांकों का समांतर माध्य 16 है, तो बिंदु P $\left(2 n-1, n^2-4 n\right)$ की रेखा $x+y=8$ से दूरी है

माना रेखा $L: \frac{x-6}{3}=\frac{y-7}{2}=\frac{z-7}{-2}$ पर दो भिन्न बिंदु $A$ और $B$ हैं। बिंदु $(1,2,3)$ से रेखा $L$ पर डाले गए लंब के पाद से $A$ और $B$ दोनों $2 \sqrt{17}$ की दूरी पर हैं। यदि $O$ मूलबिंदु है, तो $\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}$ बराबर है

माना $f, g:(1, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{2 x+3}{5 x+2}$ और $g(x)=\frac{2-3 x}{1-x}$ द्वारा परिभाषित हैं। यदि फलन $f \circ g:[2,4] \rightarrow \mathbb{R}$ का परिसर $[\alpha, \beta]$ हे, तो $\frac{1}{\beta-\alpha}$ बराबर हे

यदि $\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{(x-1)(6+\lambda \cos (x-1))+\mu \sin (1-x)}{(x-1)^3}=-1, \lambda, \mu \in \mathbb{R}$ हैं, तो $\lambda+\mu$ बराबर है

माना एक त्रिभुज की तीन भुजाऐं रेखाओं $4 x-7 y+10=0, x+y=5$ और $7 x+4 y=15$ पर हैं। तो इसके लंबकेन्द्र की, रेखाओं $x=0, y=0$ और $x+y=1$ से बने त्रिभुज के लंबकेन्द्र से दूरी हे

$\left(\sqrt[3]{2}+\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\right)^n, n \in \mathbb{N}$ के प्रसार में, यदि आरंभ से 15 वें पद का अंत से 15 वें पद से अनुपात $\frac{1}{6}$ है, तो ${ }^n \mathrm{C}_3$ का मान हे

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के मुख्य मान लेने पर, $\sin ^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} x+\frac{1}{2} \sqrt{1-x^2}\right),-\frac{1}{2}< x<\frac{1}{\sqrt{2}}$, का मान

माना $C$ वृत्त $x^2+(y-1)^2=2$ हे, दो दीर्घवृत्तों $E_1$ और $E_2$ के केन्द्र मूल बिंदु पर हैं तथा दीर्घ अक्ष क्रमशः $x$ अक्ष और y -अक्ष पर हैं। माना सरल रेखा $x+y=3$, वक्रों $C, E_1$ और $E_2$ को क्रमशः $P\left(x_1, y_1\right), Q\left(x_2, y_2\right)$ और $R\left(x_3, y_3\right)$ पर स्पर्श करती हे। यदि रेखा खंड QR का मध्य बिंदु $P$ है और $P Q=\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ है, तो $9\left(x_1 y_1+x_2 y_2+x_3 y_3\right)$ का मान हे ________

माना उन बिंदुओं, जहाँ पर फलन $f(x)=\max \left\{x, x^3, x^5, \ldots, x^{21}\right\}, x \in \mathbb{R}$, अवकलनीय नहीं है और संतत नहीं है, की संख्या क्रमशः $m$ और $n$ है। तो $m+n$ बराबर है _________

माना $\mathrm{A}=\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & 0 & -\sin \theta \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin \theta & 0 & \cos \theta\end{array}\right]$ हे। यदि किसी $\theta \in(0, \pi)$ के लिए $\mathrm{A}^2=\mathrm{A}^{\mathrm{T}}$ है, तो आव्यूह $(\mathrm{A}+\mathrm{I})^3+(\mathrm{A}-\mathrm{I})^3-6 \mathrm{~A}$ के विकर्ण के अवयवों का योग है ________ .

यदि क्षेत्र $\{(x, y):|x-5| \leq y \leq 4 \sqrt{x}\}$ का क्षेत्रफल $A$ है, तो $3 A$ बराबर है _________

माना $\mathrm{A}=\{z \in \mathrm{C}:|z-2-i|=3\}, \mathrm{B}=\{z \in \mathrm{C}: \operatorname{Re}(z-i z)=2\}$ और $\mathrm{S}=\mathrm{A} \cap \mathrm{B}$ हैं। तो $\sum_{z \in S}|z|^2$ बराबर हे ________