एक अंकगणितीय प्रगति में यदि $\mathrm{S}_{40}=1030$ और $\mathrm{S}_{12}=57$, तो $\mathrm{S}_{30}-\mathrm{S}_{10}$ के बराबर है:

मान लीजिए $\mathrm{A}=\left[\mathrm{a}_{\mathrm{ij}}\right]$ क्रम 2 का एक वर्ग आव्यूह है जिसमें प्रविष्टियाँ 0 या 1 हैं। मान लीजिए E वह घटना है जहाँ A एक प्रतिवर्ती आव्यूह है। तब संभावना $\mathrm{P}(\mathrm{E})$ है :

मान लें $(2,3)$ वह सबसे बड़ा खुला अंतराल हो जिसमें फ़ंक्शन $f(x)=2 \log _{\mathrm{e}}(x-2)-x^2+a x+1$ सख्ती से बढ़ रहा है और (b, c) वह सबसे बड़ा खुला अंतराल जिसमें फ़ंक्शन $\mathrm{g}(x)=(x-1)^3(x+2-\mathrm{a})^2$ सख्ती से घट रहा है। तब $100(\mathrm{a}+\mathrm{b}-\mathrm{c})$ बराबर है:

मान लें $\mathrm{A}=\left\{x \in(0, \pi)-\left\{\frac{\pi}{2}\right\}: \log _{(2 / \pi)}|\sin x|+\log _{(2 / \pi)}|\cos x|=2\right\}$ और $\mathrm{B}=\{x \geqslant 0: \sqrt{x}(\sqrt{x}-4)-3|\sqrt{x}-2|+6=0\}$। तब $\mathrm{n}(\mathrm{A} \cup \mathrm{B})$ बराबर है:

वक्रों $y=\mathrm{e}^x, y=\left|\mathrm{e}^x-1\right|$ और y-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है :

कुछ $a, b$ के लिए, $f(x)=\left|\begin{array}{ccc}\mathrm{a}+\frac{\sin x}{x} & 1 & \mathrm{~b} \\ \mathrm{a} & 1+\frac{\sin x}{x} & \mathrm{~b} \\ \mathrm{a} & 1 & \mathrm{~b}+\frac{\sin x}{x}\end{array}\right|, x \neq 0, \lim _{x \rightarrow 0} f(x)=\lambda+\mu \mathrm{a}+\nu \mathrm{b}.$ तो $(\lambda+\mu+v)^2$ निम्नलिखित के बराबर है:

यदि $\alpha>\beta>\gamma>0$, तो अभिव्यक्ति $\cot ^{-1}\left\{\beta+\frac{\left(1+\beta^2\right)}{(\alpha-\beta)}\right\}+\cot ^{-1}\left\{\gamma+\frac{\left(1+\gamma^2\right)}{(\beta-\gamma)}\right\}+\cot ^{-1}\left\{\alpha+\frac{\left(1+\alpha^2\right)}{(\gamma-\alpha)}\right\}$ किसके बराबर है:

यदि समीकरण प्रणाली $$ \begin{aligned} & x+2 y-3 z=2 \\ & 2 x+\lambda y+5 z=5 \\ & 14 x+3 y+\mu z=33 \end{aligned} $$ का अनंत समाधानों की स्थिति हो, तो $\lambda+\mu$ का मान कितना होगा:

माना $A$ और $B$ क्रमशः एक द्विपद प्रसार $(1+x)^{2 \mathrm{n}-1}$ के $30^{\text {वें }}$ और $12^{\text {वें }}$ पद के गुणांक हैं। यदि $2 \mathrm{~A}=5 \mathrm{~B}$, तो n का मान है:

एक त्रिभुज के तीन शीर्षों के स्थिति वेक्टर $4 \vec{p}+\vec{q}-3 \vec{r},-5 \vec{p}+\vec{q}+2 \vec{r}$ और $2 \vec{p}-\vec{q}+2 \vec{r}$ हैं। यदि त्रिभुज के ऑर्थोसेंटर और परिघ्वलय केंद्र के स्थिति वेक्टर $\frac{\vec{p}+\vec{q}+\vec{r}}{4}$ और $\alpha \vec{p}+\beta \vec{q}+\gamma \vec{r}$ क्रमशः हैं, तो $\alpha+2 \beta+5 \gamma$ किसके बराबर है:

यदि $7=5+\frac{1}{7}(5+\alpha)+\frac{1}{7^2}(5+2 \alpha)+\frac{1}{7^3}(5+3 \alpha)+\ldots \ldots \ldots \ldots \infty$, तो $\alpha$ का मान क्या है:

यदि परवलय का समीकरण जिसकी शीर्ष $\mathrm{V}\left(\frac{3}{2}, 3\right)$ और डायरेक्ट्रिक्स $x+2 y=0$ है, $\alpha x^2+\beta y^2-\gamma x y-30 x-60 y+225=0$ हो, तो $\alpha+\beta+\gamma$ बराबर होता है:

मान लें $\overrightarrow{\mathrm{a}}=3 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}, \overrightarrow{\mathrm{~b}}=\overrightarrow{\mathrm{a}} \times(\hat{i}-2 \hat{k})$ और $\overrightarrow{\mathrm{c}}=\overrightarrow{\mathrm{b}} \times \hat{k}$ । तब $\overrightarrow{\mathrm{c}}-2 \hat{j}$ का $\vec{a}$ पर प्रक्षेपण है :

उस अण्डाकार का जीवा का समीकरण, $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$, जिसका मध्य-बिंदु $(3,1)$ है:

बिंदु $\left(\frac{11}{2}, \alpha\right)$ त्रिभुज के भीतर या किनारों पर स्थित है, जिसके पक्ष $x+y=11, x+2 y=16$ और $2 x+3 y=29$ हैं। फिर $\alpha$ के सबसे छोटे और सबसे बड़े मानों का गुणनफल निम्नलिखित के बराबर है:

समूह A में 7 लड़के और 3 लड़कियाँ हैं, जबकि समूह B में 6 लड़के और 5 लड़कियाँ हैं। 4 लड़के और 4 लड़कियों को पिकनिक के लिए आमंत्रित करने के तरीकों की संख्या यदि उनमें से 5 समूह $A$ से और शेष 3 समूह $B$ से हों, बराबर है :

यदि $[x]$ को सबसे बड़ा पूर्णांक फलन के रूप में निरूपित किया जाए, और m और n क्रमशः उन बिंदुओं की संख्या हैं, जहाँ पर फलन $f(x)=[x]+|x-2|,-2< x<3$, निरंतर और अवकलनीय नहीं है। तब $\mathrm{m}+\mathrm{n}$ बराबर है :

समीकरण $x^2+3 x+2=\min \{|x-3|,|x+2|\}$ के वास्तविक हलों की संख्या है:

मान लें $f:(0, \infty) \rightarrow \mathbf{R}$ एक फलन है जो अपने परिभाषा के सभी बिंदुओं पर अवकलनीय है और यह शर्त संतुष्ट करता है $x^2 f^{\prime}(x)=2 x f(x)+3$, $f(1)=4$ के साथ। तो $2 f(2)$ के बराबर है :

फंक्शन $f:(-\infty, \infty) \rightarrow(-\infty, 1)$, जो $f(x)=\frac{2^x-2^{-x}}{2^x+2^{-x}}$ द्वारा परिभाषित है:

माना $\mathrm{P}$, बिन्दु $\mathrm{Q}(7,-2,5)$ का रेखा $\mathrm{L}: \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z}{4}$ पर प्रतिबिम्ब है और $\mathrm{R}(5, \mathrm{p}, \mathrm{q})$ $L$ पर स्थित एक बिन्दु है। तब $\triangle P Q R$ के क्षेत्रफल का वर्गफल _________ है।

यदि $\int \frac{2 x^2+5 x+9}{\sqrt{x^2+x+1}} \mathrm{~d} x=x \sqrt{x^2+x+1}+\alpha \sqrt{x^2+x+1}+\beta \log _{\mathrm{e}}\left|x+\frac{1}{2}+\sqrt{x^2+x+1}\right|+\mathrm{C}$, जहाँ $C$ समाकलन का स्थिरांक है, तो $\alpha+2 \beta$ __________ के बराबर है।

मान लीजिए $y=y(x)$ वह समाधान है जो इस अवकल समीकरण को संतुष्ट करता है: $2 \cos x \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}=\sin 2 x-4 y \sin x, x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$। यदि $y\left(\frac{\pi}{3}\right)=0$ है, तो $y^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right)+y\left(\frac{\pi}{4}\right)$ का मान _________ है।

संख्याओं की संख्या $f:\{1,2, \ldots, 100\} \rightarrow\{0,1\}$, जो 98 से कम या बराबर एक सकारात्मक पूर्णांक को 1 सौंपते हैं, ________ के बराबर है।

मान लें $\mathrm{H}_1: \frac{x^2}{\mathrm{a}^2}-\frac{y^2}{\mathrm{~b}^2}=1$ और $\mathrm{H}_2:-\frac{x^2}{\mathrm{~A}^2}+\frac{y^2}{\mathrm{~B}^2}=1$ दो हाइपरबोला हैं जिनकी लाटस रेक्टम लम्बाई $15 \sqrt{2}$ और $12 \sqrt{5}$ क्रमश: हैं। उनकी विसंगतियाँ $e_1=\sqrt{\frac{5}{2}}$ और $e_2$ क्रमश: हैं। यदि उनके अनुप्रस्थ अक्षों की लम्बाई का गुणनफल $100 \sqrt{10}$ है, तो $25 \mathrm{e}_2^2$ बराबर है _________ ।