माना $$\mathrm{p}, \mathrm{q} \in \mathbb{R}$$ तथा $$(1-\sqrt{3})^{200}=2^{199}(p+i \mathrm{q}), i=\sqrt{-1}$$ तो $$\mathrm{p}+\mathrm{q}+\mathrm{q}^2$$ तथा $$\mathrm{p}-\mathrm{q}+\mathrm{q}^2$$ किस समीकरण के मूल हैं?

माना एक न्याय पासे को फेंकने पर प्राप्त संख्या $$\mathrm{N}$$ है। यदि समीकरण निकाय

$$x+y+z=1$$

$$2 x+\mathrm{Ny}+2 z=2$$

$$3 x+3 y+\mathrm{N} z=3$$

के अद्वितीय हल होने की प्रायिकता $$\frac{k}{6}$$ है, तो $$\mathrm{k}$$ तथा $$\mathrm{N}$$ के सभी संभव मानों का योग है

संबंध $$R=\{(a, b): \operatorname{gcd}(a, b)=1,2 a \neq b, a, b \in \mathbb{Z}\}$$ :

$$\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} {\left( {{1^{{1 \over {{{\sin }^2}t}}}} + {2^{{1 \over {{{\sin }^2}t}}}}\, + \,...\, + \,{n^{{1 \over {{{\sin }^2}t}}}}} \right)^{{{\sin }^2}t}}$$ बराबर है

$${\tan ^{ - 1}}\left( {{{1 + \sqrt 3 } \over {3 + \sqrt 3 }}} \right) + {\sec ^{ - 1}}\left( {\sqrt {{{8 + 4\sqrt 3 } \over {6 + 3\sqrt 3 }}} } \right)$$ बराबर है

माना अवकल समीकरण $$x^{3} d y+(x y-1) d x=0, x > 0, y\left(\frac{1}{2}\right)=3-\mathrm{e}$$ का हल $$y=y(x)$$ है। तो $$\mathrm{y}(1)$$ बराबर है

माना $$\Omega$$ एक प्रतिदर्श समष्टि है तथा $$\mathrm{A} \subseteq \Omega$$ एक घटना है। नीचे दो कथन दिए गए है:

(S1) : यदि $$\mathrm{P}(\mathrm{A})=0$$ है, तो $$\mathrm{A}=\emptyset$$ है

(S2) : यदि $$\mathrm{P}(\mathrm{A})=1$$ है, तो $$\mathrm{A}=\Omega$$ है

तो

वक्रो $$y^2+4 x=4$$ तथा $$y-2 x=2$$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है

समीकरण $$x^{2}-4 x+[x]+3=x[x]$$, जहाँ $$[x]$$ महत्तम पूर्णांक फलन है,

यदि $$\mathrm{A}$$ तथा $$\mathrm{B}, \mathrm{n} \times \mathrm{n}$$ के दो शून्येत्रर आव्यूह इस प्रकार हैं कि $$\mathrm{A}^{2}+\mathrm{B}=\mathrm{A}^{2} \mathrm{~B}$$ है, तो

तीन घनात्मक पूर्णांकों $$\mathrm{p}, \mathrm{q}, \mathrm{r}$$, के लिए $$x^{p q^{2}}=y^{q r}=z^{p^{2} r}, \mathrm{r}=\mathrm{pq}+1$$ हैं तथा $$3,3 \log _{y} x, 3 \log _{\mathrm{z}} \mathrm{y}, 7 \log _{x} z$$ एक A.P. में है, जिसका सार्व अंतर $$\frac{1}{2}$$ है। तो $$\mathrm{r}$$-$$\mathrm{p}$$-$$\mathrm{q}$$ बराबर है

माना $$\mathrm{P Q R}$$ एक त्रिभुज है। भुजाओं $$\mathrm{Q R, R P}$$ तथा $$\mathrm{P Q}$$ पर क्रमश: बिंदु $$\mathrm{A, B}$$ तथा $$\mathrm{C}$$ इस प्रकार हैं कि $$\frac{Q A}{A R}=\frac{R B}{B P}=\frac{P C}{C Q}=\frac{1}{2}$$ हैं, तो $$\frac{\text { क्षेत्रफल }(\triangle P Q R)}{\text { क्षेत्रफल }(\triangle A B C)}$$ बराबर है

माना $$f(x)=\left\{\begin{array}{cc} x^{2} \sin \left(\frac{1}{x}\right), & x \neq 0 \\ 0 & , x=0\end{array}\right.$$

है। तो $$x=0$$ पर

माना $$\lambda \in \mathbb{R}$$ है तथा माना समीकरण $$E:|x|^{2}-2|x|+|\lambda-3|=0$$ है। तो समुच्चय $$\mathrm{S}=\{x+\lambda: x, \mathrm{E}$$ का एक पूर्णांक हल है $$\}$$ में सबसे बड़ा अवयव है ____________

रेखाओं $$\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-6}{2}$$ तथा $$\frac{x-6}{3}=\frac{1-y}{2}=\frac{z+8}{0}$$ के बीच न्यूनतम दूरी है ___________

एक $$\mathrm{GP}$$ का चौथा पद $$500$$ है तथा इसका सार्व अनुपात $$\frac{1}{m}, m \in \mathbb{N}$$ है। माना इस $$\mathrm{GP}$$ के प्रथम $$\mathrm{n}$$ पदों का योग $$\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$$ है। यदि $$\mathrm{S}_{6} > \mathrm{S}_{5}+1$$ तथा $$\mathrm{S}_{7} < \mathrm{S}_{6}+\frac{1}{2}$$ है, तो $$\mathrm{m}$$ के संभव मानों की संख्या है ____________

माना $$\mathrm{C}$$ सबसे बड़ा वृत्त है, जिसका केन्द्र $$(2,0)$$ पर है तथा जो दीर्घवृत $$\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{16}=1$$ के अंतर्गत है। यदि बिंदु $$(1, \alpha)$$ वृत्त $$\mathrm{C}$$ पर है, तो $$10 \alpha^{2}$$ बराबर है ___________

12 उपलब्ध पाठक्रमों, जिनके 5 भाषा के पाठ्यक्रम हैं, में से एक लड़के को पाँच पाठ्यक्रम लेने हैं। यदि वह अधिकतम दो भाषा के पाठ्यक्रम ले सकता है, तो उसके द्वारा पाँच पाठ्यक्रम लेने के तरीकों की संख्या है ___________

$$12 \int_\limits{0}^{3}\left|x^{2}-3 x+2\right| d x$$ का मान है ____________

$$\frac{8}{\pi} \int_\limits{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(\cos x)^{2023}}{(\sin x)^{2023}+(\cos x)^{2023}} d x$$ का मान है ____________

संख्या 123412341 के सभी अंकों के प्रयोग से बनाई जा सकने वाली 9 अंकों की ऐसी संख्याओं, कि सम अंक केवल सम स्थानों पर हों, की संख्या है ___________