यदि $$S_1 = \left\{ x \in \mathbb{R} - \{ 1,2\} :\frac{(x + 2)(x^2 + 3x + 5)}{ - 2 + 3x - x^2} \geq 0 \right\}$$ और $$S_2 = \left\{ x \in \mathbb{R}:3^{2x} - 3^{x + 1} - 3^{x + 2} + 27 \leq 0 \right\}$$ हो, तो $$S_1 \cup S_2$$ का मान है :

जटिल संख्या $${{{{(1 + 2i)}^8}\,.\,{{(1 - 2i)}^2}} \over {(3 + 2i)\,.\,\overline {(4 - 6i)} }}$$ का वास्तविक भाग समान है :

माना S उन सभी पूर्णांक मानों का सेट है जिसके लिए द्विघात समीकरण $$3x^2 + (\alpha - 6)x + (\alpha + 3) = 0$$ की दो वास्तविक जड़ों के वर्गों का योग न्यूनतम है। तब S है :

यदि $$A = \left[ {\matrix{ 1 & { - 2} & \alpha \cr \alpha & 2 & { - 1} \cr } } \right]$$ और $$B = \left[ {\matrix{ 2 & \alpha \cr { - 1} & 2 \cr 4 & { - 5} \cr } } \right],\,\alpha \in C$$ हो, तो det(AB) = 0 के लिए $$\alpha$$ के सभी मानों का योग का परम मान क्या है :

दो सकारात्मक वास्तविक संख्याओं a और b के लिए जिनके मान संतुष्ट करते हैं कि $${1 \over {a^2}} + {1 \over {b^3}} = 4$$, तब $${\left( a{x^{1 \over 8}} + b{x^{-1 \over {12}}} \right)^{10}}$$ के विस्तार में नियतांक का न्यूनतम मान है :

यदि xy⁴ अधिकतम मान (x, y) पर पहुंचता है बिंदुओं (50 + $$\alpha$$, 0) और (0, 50 + $$\alpha$$) के माध्यम से गुजरने वाली रेखा पर, $$\alpha$$ > 0, तब (x, y) भी इस रेखा पर स्थित होता है:

माना $$f(x) = 4{x^3} - 11{x^2} + 8x - 5,\,x \in R$$ हो। फिर f :

मान लीजिए m और M क्रमशः $$f(x) = {\sin ^{ - 1}}2x + \sin 2x + {\cos ^{ - 1}}2x + \cos 2x,\,x \in \left[ {0,{\pi \over 8}} \right]$$ के न्यूनतम और अधिकतम मान हैं। तो m + M का मान क्या है :

माना $$\alpha$$₁, $$\alpha$$₂ ($$\alpha$$₁ < $$\alpha$$₂) $$\alpha$$ के मान हैं जिस पर बिंदु ($$\alpha$$, $$-$$3), (2, 0) और (1, $$\alpha$$) संयोजी होते हैं। तब वह रेखा का समीकरण जो ($$\alpha$$₁, $$\alpha$$₂) से होकर गुजरती है और x-अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ $${\pi \over 3}$$ का कोण बनाती है, वह है :

माना दीर्घवृत्त $${x^2} + {a^2}{y^2} = 25{a^2}$$ का विषमता (eccentricity) उस अतिपरवलय $${x^2} - {a^2}{y^2} = 5$$ के विषमता के b गुणा है, जहां a वक्रों y = e^x और y = log_ex के बीच न्यूनतम दूरी है। तब $${a^2} + {1 \over {b^2}}$$ का मान है :

माना $$\alpha = \tan \left( {{{5\pi } \over {16}}\sin \left( {2{{\cos }^{- 1}}\left( {{1 \over {\sqrt 5 }}} \right)} \right)} \right)$$ और $$\beta = \cos \left( {{{\sin }^{- 1}}\left( {{4 \over 5}} \right) + {{\sec }^{- 1}}\left( {{5 \over 3}} \right)} \right)$$ जहाँ व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फ़ंक्शंस मुख्य मान लेते हैं। तब, वह समीकरण जिसके मूल $$\alpha$$ और $$\beta$$ है :

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 अंकों का उपयोग करके, बिना दोहराव के और जो 15 के गुणांक हैं, ऐसे 6-अंकीय संख्याओं की संख्या ____________ है।

माना $$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{F(x)} \over {{x^3}}}$$ मौजूद है और L के बराबर है, जहाँ

$$F(x) = \left| {\matrix{ {a + \sin {x \over 2}} & { - b\cos x} & 0 \cr { - b\cos x} & 0 & {a + \sin {x \over 2}} \cr 0 & {a + \sin {x \over 2}} & { - b\cos x} \cr } } \right|$$.

तब, $$-$$112 L बराबर है ___________.

यदि किसी $$\alpha$$ > 0 के लिए क्षेत्र $$\{ (x,y):|x + \alpha | \le y \le 2 - |x|\} $$ का क्षेत्रफल $${3 \over 2}$$ के बराबर है, तो क्षेत्र $$\{ (x,y):0 \le y \le x + 2\alpha ,\,|x| \le 1\} $$ का क्षेत्रफल ____________ के बराबर है।

माना $$f(t) = \int\limits_0^t {{e^{{x^3}}}\left( {{{{x^8}} \over {{{({x^6} + 2{x^3} + 2)}^2}}}} \right)dx} $$. अगर $$f(1) + f'(1) = \alpha e - {1 \over 6}$$ है, तो 150$$\alpha$$ का मान ___________ है.

एक छात्रावास में 100 छात्र हैं। एक निश्चित दिन (इसे दिन शून्य मानते हैं) यह पाया गया कि दो छात्रों में कुछ वायरस संक्रमित है। मान लीजिए कि वायरस के फैलने की दर संक्रमित छात्रों की संख्या और नॉन-संक्रमित छात्रों की संख्या के उत्पाद के सीधे आनुपातिक है। यदि 4^वें दिन संक्रमित छात्रों की संख्या 30 है, तो 8^वें दिन संक्रमित छात्रों की संख्या ________ होगी।

माना PQ एक परबोला y² = 4x की 6.25 इकाई लंबाई की फोकल कॉर्ड है। यदि O परबोला का शिखर है, तब $$\Delta$$POQ का क्षेत्रफल (sq. units में) का 10 गुना ___________ के बराबर है।

एक त्रिभुज ABC पर विचार कीजिये जिसके शीर्ष A(0, $$\alpha$$, $$\alpha$$), B($$\alpha$$, 0, $$\alpha$$) और C($$\alpha$$, $$\alpha$$, 0), $$\alpha$$ > 0 हैं। D एक बिंदु है जो रेखा x + z $$-$$ 3 = 0 = y पर चलता है और G $$\Delta$$ABC का केंद्रिक है। यदि GD की न्यूनतम लंबाई $$\sqrt {{{57} \over 2}} $$ है, तो $$\alpha$$ के बराबर है ____________।

X का संभाव्यता वितरण है :

X	0	1	2	3
P(X)	$${{1 - d} \over 4}$$	$${{1 + 2d} \over 4}$$	$${{1 - 4d} \over 4}$$	$${{1 + 3d} \over 4}$$

d के न्यूनतम संभव मान के लिए, X के माध्य की साठ गुना के बराबर है _______________।