माना समुच्चय $$\mathrm{S=\{1,2,3, \ldots, 60\}}$$ है। माना $$\mathrm{S}$$ से $$\mathrm{S}$$ में एक संबंध $$\mathrm{R}$$, $$\mathrm{R}=\{(\mathrm{a}, \mathrm{b}): \mathrm{b}=\mathrm{pq}$$, जहाँ $$\mathrm{p}, \mathrm{q} \geqslant 3$$ अभाज्य संख्याएँ हैं $$\}$$ है। तो $$\mathrm{R}$$ में अवयवों की संख्या है :

यदि $$z=2+3 i$$ है, तो $$z^{5}+(\bar{z})^{5}$$ बराबर है :

माना $$\mathrm{A}$$ तथा $$\mathrm{B}, 3 \times 3$$ के दो अशून्य वास्तविक आव्यूह हैं जिनके लिए $$\mathrm{AB}$$ एक शून्य आव्यूह है। तो

यदि $$\frac{1}{(20-a)(40-a)}+\frac{1}{(40-a)(60-a)}+\ldots+\frac{1}{(180-a)(200-a)}=\frac{1}{256}$$ है, तो $$\mathrm{a}$$ का अधिकतम मान है :

यदि $$\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\alpha \mathrm{e}^{x}+\beta \mathrm{e}^{-x}+\gamma \sin x}{x \sin ^{2} x}=\frac{2}{3}$$ है, जहाँ $$\alpha, \beta, \gamma \in \mathrm{R}$$ हैं, तो निम्न में से कौन सा सही नहीं है ?

समाकलन $$\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{3+2 \sin x+\cos x} \mathrm{~d} x$$ बराबर है :

माना अवकल समीकरण $$\left(1+\mathrm{e}^{2 x}\right)\left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+y\right)=1$$ का हल वक्र $$y=y(x)$$, बिंदु $$\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$$ से होकर जाता है। तो $$\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \mathrm{e}^{x} y(x)$$ बराबर है :

माना एक रेखा $$\mathrm{L}$$, रेखाओं $$\mathrm{b} x+10 y-8=0$$ तथा $$2 x-3 y=0, \mathrm{~b} \in \mathrm{R}-\left\{\frac{4}{3}\right\}$$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर जाती है। यदि रेखा $$\mathrm{L}$$, बिंदु $$(1,1)$$ से भी होकर जाती है तथा वृत्त $$17\left(x^{2}+y^{2}\right)=16$$ को स्पर्श करती है, तो दीर्घवृत्त $$\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$$ की उत्केन्द्रता है :

माना एक त्रिभुज, जिसके शीर्ष $$\mathrm{A}(\mathrm{a}, 3), \mathrm{B}(\mathrm{b}, 5)$$ तथा $$\mathrm{C}(\mathrm{a}, \mathrm{b}), \mathrm{ab}>0$$ हैं, का परिकेन्द्र $$\mathrm{P}(1,1)$$ है। यदि रेखा $$\mathrm{AP}$$, रेखा $$\mathrm{BC}$$ को बिंदु $$\mathrm{Q}\left(\mathrm{k}_{1}, \mathrm{k}_{2}\right)$$ पर काटती है, तो $$\mathrm{k}_{1}+\mathrm{k}_{2}$$ बराबर है :

माना दो इकाई सदिशों $$\hat{\mathrm{a}}$$ तथा $$\hat{\mathrm{b}}$$ के बीच का कोण $$\frac{\pi}{4}$$ है। यदि सदिशों $$(\hat{\mathrm{a}}+\hat{\mathrm{b}})$$ तथा $$(\hat{\mathrm{a}}+2 \hat{\mathrm{b}}+2(\hat{\mathrm{a}} \times \hat{\mathrm{b}}))$$ के बीच का कोण $$\theta$$ है, तो $$164 \cos ^{2} \theta$$ का मान बराबर है :

यदि $$f(\alpha)=\int\limits_{1}^{\alpha} \frac{\log _{10} \mathrm{t}}{1+\mathrm{t}} \mathrm{dt}, \alpha>0$$ है, तो $$f\left(\mathrm{e}^{3}\right)+f\left(\mathrm{e}^{-3}\right)$$ बराबर है :

क्षेत्र $$\left\{(x, y):|x-1| \leq y \leq \sqrt{5-x^{2}}\right\}$$ का क्षेत्रफल बराबर है :

माना रेखा $$\mathrm{L}: y=\mathrm{m} x+\mathrm{c}, \mathrm{m}>0$$ के अनुदिश परवलय $$\mathrm{P}: y^{2}=4 x$$ की नाभिलंब जीवा परवलय को बिंदुओं $$\mathrm{M}$$ तथा $$\mathrm{N}$$ पर मिलती है। माना रेखा $$\mathrm{L}$$ अतिपरवलय $$\mathrm{H}: x^{2}-y^{2}=4$$ की एक स्पर्श रेखा है। यदि $$\mathrm{P}$$ का शीर्ष $$\mathrm{O}$$ है तथा $$\mathrm{H}$$ की धनात्मक $$x$$-अक्ष पर नाभि $$\mathrm{F}$$ है, तो चतुर्भुज $$\mathrm{OMFN}$$ का क्षेत्रफल है :

उन बिंदुओं की संख्या, जहाँ पर फलन $$f: \mathrm{R} \rightarrow \mathrm{R}$$, $$f(x)=|x-1| \cos |x-2| \sin |x-1|+(x-3)\left|x^{2}-5 x+4\right|$$, अवकलनीय नहीं है, है :

माना $$S=\{1,2,3, \ldots, 2022\}$$ है। तो समुच्चय $$\mathrm{S}$$ से यादृच्छया चुनी गई एक संख्या $$\mathrm{n}$$ के लिए $$\mathrm{HCF}$$ $$(\mathrm{n}, 2022)=1$$ होने की प्रायिकता है :

माना $$f(x)=3\left(x^{2}-2\right)^{3}+4, x \in \mathrm{R}$$ है। तो निम्न कथनों में से कौन से सत्य हैं?

$$\mathrm{P}: x=0, f$$ का एक स्थानीय निम्नानष्ठ बिंदु है

$$Q: x=\sqrt{2}, f$$ का एक नति परिवर्तन बिंदु है

$$\mathrm{R}: x>\sqrt{2}$$ के लिए $$f^{\prime}$$ वर्धमान है

माना $$20$$ प्रेक्षणों $$x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{20}$$ के माध्य तथा प्रसरण क्रमशः $$15$$ तथा $$9$$ हैं। $$\alpha \in \mathrm{R}$$ के लिए, यदि $$\left(x_{1}+\alpha\right)^{2},\left(x_{2}+\alpha\right)^{2}, \ldots,\left(x_{20}+\alpha\right)^{2}$$ का माध्य 178 है, तो $$\alpha$$ के अधिकतम मान का वर्ग बराबर है ____________ |

माना $$\mathrm{a}_{1}, \mathrm{a}_{2}, \mathrm{a}_{3}, \ldots$$ एक A.P. है। यदि $$\sum\limits_{\mathrm{r}=1}^{\infty} \frac{\mathrm{a}_{\mathrm{r}}}{2^{\mathrm{r}}}=4$$ है, तो $$4 \mathrm{a}_{2}$$ बराबर है ___________ |

माना $$\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$$ की बढ़ती घातों में $$\left(\sqrt[4]{2}+\frac{1}{\sqrt[4]{3}}\right)^{\mathrm{n}}$$ के द्विपद प्रसार में आरंभ से पाँचवें पद का अंत से पाँचवें पद से अनुपात $$\sqrt[4]{6}: 1$$ है। यदि आरंभ से छठा पद $$\frac{\alpha}{\sqrt[4]{3}}$$ है, तो $$\alpha$$ बराबर है ___________ |

कोटि $$3 \times 3$$ के आव्यूहों, जिनके अवयव या तो $$0$$ या $$1$$ हैं तथा सभी अवयवों का योग एक अभाज्य संख्या है, की संख्या है ___________ |

माना $$p$$ तथा $$p+2$$ अभाज्य संख्याएँ हैं तथा

$$ \Delta=\left|\begin{array}{ccc} p ! & (p+1) ! & (p+2) ! \\ (p+1) ! & (p+2) ! & (p+3) ! \\ (p+2) ! & (p+3) ! & (p+4) ! \end{array}\right| $$

है। तो $$\alpha$$ तथा $$\beta$$ के अधिकतम मानों, जिनके लिए $$\mathrm{p}^{\alpha}$$ तथा $$(\mathrm{p}+2)^{\beta}, \Delta$$ को विभाजित करते हैं, का योग है _____________ |

माना $$\mathrm{S}=\{4,6,9\}$$ तथा $$\mathrm{T}=\{9,10,11, \ldots, 1000\}$$ हैं। यदि $$\mathrm{A}=\left\{\mathrm{a}_{1}+\mathrm{a}_{2}+\ldots+\mathrm{a}_{\mathrm{k}}: \mathrm{k} \in \mathrm{N}, \mathrm{a}_{1}, \mathrm{a}_{2}, \mathrm{a}_{3}, \ldots, \mathrm{a}_{\mathrm{k}} \in S\right\}$$ है, तो समुच्चय $$\mathrm{T}-\mathrm{A}$$ में सभी अवयवों का योग है ______________ |

माना रेखा $$y=x+1$$ में, वृत्त $$\mathrm{c}_{1}: x^{2}+y^{2}-2 x-6 y+\alpha=0$$ का दर्पण प्रतिबिंब $$\mathrm{c}_{2}: 5 x^{2}+5 y^{2}+10 g x+10 f y+38=0$$ है। यदि वृत्त $$\mathrm{c}_{2}$$ की त्रिज्या $$\mathrm{r}$$ है, तो $$\alpha+6 \mathrm{r}^{2}$$ बराबर है ____________ |