माना $$A=\{x \in \mathbb{R}:|x+1|<2\}$$ तथा $$B=\{x \in \mathbb{R}:|x-1| \geq 2\}$$ हैं | तो निम्न कथनों में से कौन सा एक सत्य नहीं है ?

माना $$a, b \in \mathbb{R}$$ इस प्रकार है कि समीकरण $$a x^{2}-2 b x+15=0$$ का एक पुनरावृत्त मूल (repeated root) $$\alpha$$ है । यदि समीकरण $$x^{2}-2 b x+21=0$$ के मूल $$\alpha$$ तथा $$\beta$$ हैं, तो $$\alpha^{2}+\beta^{2}$$ बराबर है

माना दो सम्मेश्र संख्याओं $$z_{1}$$ तथा $$z_{2}$$ के लिए $$\bar{z}_{1}=i \bar{z}_{2}$$ तथा $$\arg \left(\frac{z_{1}}{\bar{z}_{2}}\right)=\pi$$ हैं। तो,

समीकरण निकाय

$$-k x+3 y-14 z=25$$

$$-15 x+4 y-k z=3$$

$$-4 x+y+3 z=4$$

संगत है, समुच्यय

$$\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}\left(\tan ^{2} x\left(\left(2 \sin ^{2} x+3 \sin x+4\right)^{\frac{1}{2}}-\left(\sin ^{2} x+6 \sin x+2\right)^{\frac{1}{2}}\right)\right)$$ बराबर है-

परवलयों $$y^{2}=2 x-1$$ तथा $$y^{2}=4 x-3$$ के बीच घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है,

व्यंजक $$(5+x)^{500}+x(5+x)^{499}+x^{2}(5+x)^{498}+\ldots \ldots .+x^{500}, x>0$$ में $$x^{101}$$ का गुणांक है-

$$35 \mathrm{~cm}$$ ऊँचाई तथा $$14 \mathrm{~cm}$$ व्यास के एक लंब वृतीय शंक्षाकार बर्तन, जिसका शीर्ष नीचे की ओर है, में $$1 \mathrm{~cm}^{3} / \mathrm{sec}$$ की दर से पानी भरा जा रहा है । जब पानी की सतह की ऊँचाई 10 $$\mathrm{cm}$$ है, तब बर्तन के भीगे हुए शंक्राकार पृष्ठीय क्षेत्रफल की वृद्धि दर $$\left(\mathrm{cm}^{2} / \mathrm{sec}\right.$$. में) है-

यदि $$b_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos ^{2} n x}{\sin x} d x, n \in \mathbb{N}$$ है, तो

यदि $$y=y(x)$$, अवकल समीकरण $$2 x^{2} \frac{d y}{d x}-2 x y+3 y^{2}=0, y(e)=\frac{e}{3}$$ का हल है, तो $$y(1)$$ बराबर है-

$$2 \sin \left(12^{\circ}\right)-\sin \left(72^{\circ}\right)$$ का मान है-

एक अभिनत पासे के फलकों पर संख्याएँ $$2,4,8,16,32,32$$ अंकित हैं तथा संख्या $$n$$ के प्रकट होने की प्रायिकता $$\frac{1}{n}$$ है । इस पासे को तीन बार फेंकने पर प्रकट होने वाली संख्याओं का योग $$48$$ होने की प्रायिकता है-

$$ \tan ^{-1}\left(\frac{\cos \left(\frac{15 \pi}{4}\right)-1}{\sin \left(\frac{\pi}{4}\right)}\right)$$ का मान बराबर है-

रेखा $$y=x+1$$, दीर्घवृत $$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1$$ को दो बिंदुओं $$P$$ तथा $$Q$$ पर मिलती है । यदि वृत्त, जिसका एक व्यास $$P Q$$ है, की त्रिज्या $$r$$ है, तो $$(3 r)^{2}$$ बराबर है-

माना $$A=\left(\begin{array}{cc}2 & -2 \\ 1 & -1\end{array}\right)$$ तथा $$B=\left(\begin{array}{rr}-1 & 2 \\ -1 & 2\end{array}\right)$$ हैं $$\mid$$ तो समुच्चय $$\left\{(n, m): n, m \in\{1,2, \ldots \ldots, 10\}\right.$$ तथा $$\left.n A^{n}+m B^{m}=I\right\}$$ है में अवयवों की संख्या है _________________

माना $$f(x)=\left[2 x^{2}+1\right]$$ तथा $$g(x)=\left\{\begin{array}{ll}2 x-3, & x<0 \\ 2 x+3, & x \geq 0\end{array}\right.$$ हैं, जहाँ $$[t]$$ महत्तम पूर्णांक $$\leq \mathrm{t}$$ है । तो विवृत अंतराल $$(-1,1)$$ में उन बिंदुओं, जहाँ $$f \circ g$$ असंतत है, की संख्या है ______________

$$ b>3$$ का वह मान, जिसके लिए $$12 \int_{3}^{b} \frac{1}{\left(x^{2}-1\right)\left(x^{2}-4\right)} d x=\log _{e}\left(\frac{49}{40}\right)$$ है, है _______________

यदि $$\left(2 x^{3}+\frac{3}{x}\right)^{10}$$ के द्विपद प्रसार में $$x$$ की सभी धनात्मक सम घातों के गुणांकों का योगफल $$5^{10}-\beta \cdot 3^{9}$$ है, तो $$\beta$$ बराबर है _____________.

यदि संख्याओं $$1,2,3, \ldots, n$$, जहाँ $$n$$ विषम है, का माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन $$\frac{5(n+1)}{n}$$ है, तो $$n$$ बराबर है ____________.

माना $$\vec{b}=\hat{i}+\hat{j}+\lambda \hat{k}, \lambda \in \mathbb{R}$$ है । यदि एक सदिश $$\vec{a}$$ के लिए $$\vec{a} \times \vec{b}=13 \hat{i}-\hat{j}-4 \hat{k}$$ तथा $$\vec{a} \cdot \vec{b}+21=0$$ हैं, तो $$(\vec{b}-\vec{a}) \cdot(\hat{k}-\hat{j})+(\vec{b}+\vec{a}) \cdot(\hat{i}-\hat{k})$$ बराबर है ______________.

तीन अंकों की संख्याओं, जिनमें एक अंक ठीक दो बार हो, की कुल संख्या है ______________.

माना $$f(x)=\left|(x-1)\left(x^{2}-2 x-3\right)\right|+x-3, x \in \mathbb{R}$$ है । यदि अंतराल $$(0,4)$$ में $$f$$ के स्थानीय निम्रतम तथा स्थानीय उच्चतम बिंदुओं की संख्या क्रमश $$m$$ तथा $$M$$ हैं, तो $$m+M$$ बराबर है ____________.

माना रेखा $$l_{1}, x y$$-समतल में है तथा इसके $$x$$ और $$y$$ अंतःखंड क्रमशः $$\frac{1}{8}$$ और $$\frac{1}{4 \sqrt{2}}$$ है तथा रेखा $$l_{2}, z x$$-समतल में है तथा इसके $$x$$ और $$z$$ अंतःखंड क्रमशः $$-\frac{1}{8}$$ और $$-\frac{1}{6 \sqrt{3}}$$ हैं । यदि रेखाओं $$l_{1}$$ तथा $$l_{2}$$ के बीच न्यूनतम दूरी $$d$$ है, तो $$d^{-2}$$ बराबर है ______________.