$$z \in \mathbb{C}$$, के लिए यदि $$(|z-3 \sqrt{2}|+|z-p \sqrt{2} i|)$$ का निम्नतम मान $$5 \sqrt{2}$$ है, तो $$p$$ का एक मान है

$$\lambda$$ के वास्तविक मानों, जिनके लिए रेखेक समीकरण निकाय

$$ \begin{aligned} &2 x-3 y+5 z=9 \\ &x+3 y-z=-18 \\ &3 x-y+\left(\lambda^{2}-|\lambda|\right) z=16 \end{aligned} $$

का कोई हल नहीं है, की संख्या है

एकेकी आच्छादी फलनों $$f:\{1,3,5,7, \ldots, 99\} \rightarrow\{2,4,6,8, \ldots .100\}$$ जिनके लिए $$f(3) \geq f(9) \geq f(15) \geq f(21) \geq \ldots f(99)$$, हैं, की संख्या है

$$(11)^{1011}+(1011)^{11}$$ को 9 से विभाजित करने पर शेषफल है

$$\lim\limits_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{8 \sqrt{2}-(\cos x+\sin x)^{7}}{\sqrt{2}-\sqrt{2} \sin 2 x}$$ बराबर है

यदि दो घटनाओं $$A$$ तथा $$B$$ के लिए $$P(A)=\frac{1}{3}, P(B)=\frac{1}{5}$$ तथा $$P(A \cup B)=\frac{1}{2}$$ हैं, तो $$P\left(A \mid B^{\prime}\right)+P\left(B \mid A^{\prime}\right)$$ बराबर है

माना कि $$[t]$$ वो महत्तम पूर्णांक है जो $$t$$ से कम या बराबर है। तो समाकलन $$\int_{-3}^{101}\left([\sin (\pi x)]+e^{[\cos (2 \pi x)]}\right) d x$$ का मान बराबर है :

माना बिंदु $$P(\alpha, \beta)$$, दो रेखाओं $$L_{1}: 3 x-4 y+12=0$$, तथा $$L_{2}: 8 x+6 y+11=0$$ में से प्रत्येक से इकाई दूरी पर है । यदि $$P, L_{1}$$ के नीचे तथा $$L_{2}$$ के ऊपर स्थित है, तो $$100(\alpha+\beta)$$ बराबर है

यदि दीर्घवृत्त $$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$$, रेखा $$\frac{x}{7}+\frac{y}{2 \sqrt{6}}=1$$ को $$x$$-अक्ष पर तथा रेखा $$\frac{x}{7}-\frac{y}{2 \sqrt{6}}=1$$ को $$y$$-अक्ष पर मिलता है, तो दीर्घवृत्त की उत्केन्द्रता है

माना दीर्घवृत्त $$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{7}=1$$ तथा अतिपरवलय $$\frac{x^{2}}{144}-\frac{y^{2}}{\alpha}=\frac{1}{25}$$ की नाभियाँ सम्पाती हैं । तो अतिपरवलय की नाभिलंब जीवा की लंबाई है :

रेखाओं $$\frac{x+7}{-6}=\frac{y-6}{7}=z$$ तथा $$\frac{7-x}{2}=y-2=z-6$$ के बीच न्यूनतम दूरी है :

माना $$\vec{a}=\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$$ तथा एक सदिश $$\vec{b}$$ के लिए $$\vec{a} \times \vec{b}=2 i-\hat{k}$$ तथा $$\vec{a} \cdot \vec{b}=3$$ हैं | तो सदिश $$\vec{b}$$ का सदिश $$\vec{a}-\vec{b}$$ पर प्रक्षेप है :

यदि आरोही क्रम में लिखी संख्याओं $$3,5,7,2 k, 12,16,21,24$$ का माध्येका के सापेक्ष माध्य विचलन $$6$$ है, तो माध्येका है

$$2 \sin \left(\frac{\pi}{22}\right) \sin \left(\frac{3 \pi}{22}\right) \sin \left(\frac{5 \pi}{22}\right) \sin \left(\frac{7 \pi}{22}\right) \sin \left(\frac{9 \pi}{22}\right)$$ बराबर है :

माना $$A=\{1,2,3,4,5,6,7\}$$ है । समुच्चय $$B=\{T \subseteq A:$$ या तो $$1 \notin \mathrm{T}$$ या $$2 \in \mathrm{T}\}$$ तथा $$\mathrm{C}=\{T \subseteq A: T$$ के सभी अवयवों का योगफल एक अभाज्य संख्या है $$\}$$ हैं । तो समुच्चय $$B \cup C$$ में अवयवों की संख्या है ______________.

माना $$f(x)$$ एक द्विघाती बहुपद है जिसका अग्रग-गुणांक $$1$$ है तथा $$f(0)=p, p \neq 0$$ और $$f(1)=\frac{1}{3}$$ हैं । यदि समीकरणों $$f(x)=0$$ तथा $$f \circ f \circ f \circ f(x)=0$$ का एक उभ्यनिष्ठ वास्तविक मूल है, तो $$f(-3)$$ बराबर है ____________.

माना $$A=\left[\begin{array}{lll}1 & a & a \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right], a, b \in \mathbb{R}$$ है । यदि किसी $$n \in \mathbb{N}$$ लिए $$A^{n}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 48 & 2160 \\ 0 & 1 & 96 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$$ है, तो $$n+a+b$$ बराबर है ________________.

फलन $$f(x)=|5 x-7|+\left[x^{2}+2 x\right]$$, जहाँ $$[t]$$ महत्तम पूर्णांक $$\leq t$$ है, के अंतराल $$\left[\frac{5}{4}, 2\right]$$ में उच्चतम तथा निम्रतम मानों का योगफल है _____________.

माना अवकल समीकरण $$\frac{d y}{d x}=\frac{4 y^{3}+2 y x^{2}}{3 x y^{2}+x^{3}}, y(1)=1$$ का हल $$y=y(x)$$ है । यदि किसी $$n \in \mathbb{N}$$ के लिए $$y(2) \in[n-1, n)$$ है, तो $$n$$ बराबर है _____________.

माना $$\mathbb{R}$$ पर दो बार अवकलनीय एक फलन $$f$$ है । यदि $$f^{\prime}(0)=4$$ है तथा $$f(x)+\int\limits_{0}^{x}(x-t) f^{\prime}(t) d t=\left(e^{2 x}+e^{-2 x}\right) \cos 2 x+\frac{2}{a} x$$ है, तो $$(2 a+1)^{5} a^{2}$$ बराबर है ______________.

माना प्रत्येक $$n \in \mathbb{N}$$ के लिए, $$a_{n}=\int_{-1}^{n}\left(1+\frac{x}{2}+\frac{x^{2}}{3}+\ldots \ldots+\frac{x^{n-1}}{n}\right) d x$$ है । तो समुच्वय $$\left\{n \in \mathbb{N}: a_{\mathrm{n}} \in(2,30)\right\}$$ के सभी अवयवों का योगफल है _____________.

माना वक्र $$4 x^{3}-3 x y^{2}+6 x^{2}-5 x y-8 y^{2}+9 x+14=0$$ के बिंदु $$(-2,3)$$ पर खींची गई स्पर्श रेखा तथा अभिलंब और $$x$$-अक्ष से धिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल $$A$$ है। तो $$8 A$$ बराबर है ______________.

माना $$x=\sin \left(2 \tan ^{-1} \alpha\right)$$ तथा $$y=\sin \left(\frac{1}{2} \tan ^{-1} \frac{4}{3}\right)$$ हैं । यदि $$S=\left\{\alpha \in \mathbb{R}: y^{2}=1-x\right\}$$ है, तो $$\sum\limits_{\alpha \in S} 16 \alpha^{3}$$ बराबर है ____________.