यदि $$\int \frac{\cos x-\sin x}{\sqrt{8-\sin 2 x}} d x=a \sin ^{-1}\left(\frac{\sin x+\cos x}{b}\right)+c$$ है, जबकि $$\mathrm{c}$$ एक समाकलन अचर है, तो क्रमित युग्म $$(\mathrm{a}, \mathrm{b})$$ बराबर है:

एक फलन $$f: \mathrm{R} \rightarrow \mathrm{R}, f(\mathrm{x})=[\mathrm{x}-1] \cos \left(\frac{2 \mathrm{x}-1}{2}\right) \pi$$ द्वारा परिभाषित है, जबकि $$[.]$$ महत्तम पूर्णांक फलन है, तो $$f$$ :

किसी प्रजाति की समय '$$\mathrm{t}$$' पर जनसंख्या, $$\mathrm{P}=\mathrm{P}(\mathrm{t})$$, अवकल समीकरण, $$\frac{\mathrm{dP}}{\mathrm{dt}}=0.5 \mathrm{P}-450$$ को संतुष्ट करती है। यदि $$\mathrm{P}(0)=850$$ है, तो वह समय, जब प्रजाति की जनसंख्या शून्य हो जाती है, है:

माना $$f: \mathrm{R} \rightarrow \mathrm{R}, f(\mathrm{x})=2 \mathrm{x}-1$$ द्वारा तथा $$\mathrm{g}: \mathrm{R}-\{1\} \rightarrow \mathrm{R}, \mathrm{g}(\mathrm{x})=\frac{\mathrm{x}-\frac{1}{2}}{\mathrm{x}-1}$$ द्वारा परिभाषित हैं। तो संयुक्त फलन $$f(\mathrm{~g}(\mathrm{x}))$$ :

फलन $$f(x)=\frac{4 x^{3}-3 x^{2}}{6}-2 \sin x+(2 x-1) \cos x$$ :

$$\mathrm{\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\int\limits_{0}^{x^{2}}(\sin \sqrt{t}) d t}{x^{3}}}$$ बराबर है:

6 भारतीयों तथा 8 विदेशियों में से एक वैज्ञानिक कमेटी बनानी है, जिसमें कम से कम दो भारतीय हों और उनसे दुगने विदशी हों। तो ऐसी कमेटी बनाने के तरीकों की संख्या है:

एक व्यक्ति एक सरल रेखा पर चल रहा है। इस रेखा द्वारा निर्देशांक अक्षों पर बनाये अंतः खण्डों के व्युत्क्रमों का समान्तर माध्य $$\frac{1}{4}$$ है। तीन पत्थर $$A, B$$ तथा $$C$$ क्रमश: बिन्दुओं $$(1,1),(2,2)$$ तथा $$(4,4)$$ पर रखे गये हैं। तो उनमें से कौन-सा/से पत्थर उस व्यक्ति के पथ पर है/हैं?

यदि $$\mathrm{p}$$ तथा $$\mathrm{q}$$ दो धनात्मक संख्याएँ हैं, जिनके लिए $$\mathrm{p}+\mathrm{q}=2$$ तथा $$\mathrm{p}^{4}+\mathrm{q}^{4}=272$$ हैं, तो $$\mathrm{p}$$ तथा $$\mathrm{q}$$ जिस समीकरण के मूल हैं, वह है:

वृत्त, $$x^{2}+y^{2}=36$$ के उस भाग का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में), जो परवलय $$y^{2}=9 x$$ के बाहर है, है:

यदि $$\mathrm{e}^{\left(\cos ^{2} x+\cos ^{4} x+\cos ^{6} x+\ldots \ldots \infty\right) \log _{c} 2}$$ समीकरण $$\mathrm{t}^{2}-9 \mathrm{t}+8=0$$, को संतुष्ट करता है, तो $$\frac{2 \sin x}{\sin x+\sqrt{3} \cos x}\left(0 < x < \frac{\pi}{2}\right)$$ का मान है:

परवलय, $$\mathrm{y^{2}=4 a x}$$ की नाभि तथा परवलय पर किसी भी बिन्दु को मिलाने वाले रेखाखंडों के मध्य बिन्दुओं का बिन्दु-पथ एक और परवलय है जिसकी नियता है:

निम्न रैखिक समीकरणों का निकाय

$$3 \mathrm{x}-2 \mathrm{y}-\mathrm{kz}=10$$

$$\mathrm{2 x-4 y-2 z=6}$$

$$\mathrm{x}+2 \mathrm{y}-\mathrm{z}=5 \mathrm{~m}$$

असंगत है यदि:

माना $$\mathrm{P}=\left[\begin{array}{ccc}3 & -1 & -2 \\ 2 & 0 & \alpha \\ 3 & -5 & 0\end{array}\right]$$ है, जबकि $$\alpha \in \mathrm{R}$$ है। माना $$\mathrm{Q}=\left[\mathrm{q}_{\mathrm{ij}}\right]$$ एक आव्यूह है, जिसके लिए $$\mathrm{PQ}=\mathrm{kI}_{3}$$, किसी शून्येतर, $$\mathrm{k} \in \mathrm{R}$$ के लिए, है। यदि $$\mathrm{q}_{23}=-\frac{\mathrm{k}}{8}$$ तथा $$|\mathrm{Q}|=\frac{\mathrm{k}^{2}}{2}$$ हैं, तो $$\alpha^{2}+\mathrm{k}^{2}$$ बराबर है ____________ |

$$\alpha$$ का न्यूनतम मान, जिसके लिए समीकरण $$\frac{4}{\sin x}+\frac{1}{1-\sin x}=\alpha$$ का अन्तराल $$\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$$ में कम से कम एक हल है, है _____________ |

यदि $$\alpha$$ के न्यूनतम तथा अधिकतम वास्तविक मान, जिनके लिए समीकरण $$\mathrm{z}+\alpha|\mathrm{z}-1|+2 i=0(\mathrm{z} \in \mathrm{C}$$ तथा $$i=\sqrt{-1})$$ का हल है, क्रमशः $$\mathrm{p}$$ तथा $$\mathrm{q}$$ हैं, तो $$4\left(\mathrm{p}^{2}+\mathrm{q}^{2}\right)$$ बराबर है _____________ |

$$\lim\limits_{\mathrm{n} \rightarrow \infty} \tan \left\{\sum\limits_{\mathrm{r}=1}^{\mathrm{n}} \tan ^{-1}\left(\frac{1}{1+\mathrm{r}+\mathrm{r}^{2}}\right)\right\}$$ बराबर है ____________ |

माना $$\mathrm{A}=\{\mathrm{n} \in \mathrm{N}: \mathrm{n}$$ एक 3 -अंकों की संख्या है $$\}$$

$$\mathrm{B}=\{9 \mathrm{k}+2: \mathrm{k} \in \mathrm{N}\}$$ तथा $$\mathrm{C}=\{9 \mathrm{k}+l: \mathrm{k} \in \mathrm{N}\}$$ किसी $$l(0 < l < 9)$$ के लिए। यदि समुच्चय $$\mathrm{A} \cap(\mathrm{B} \cup \mathrm{C})$$ के सभी अवयवों का योग $$274 \times 400$$ है, तो $$l$$ बराबर है ___________ |

वृत्त, $$x^{2}+y^{2}-2 x-6 y+6=0$$ का कोई एक व्यास, किसी और वृत्त '$$C$$' की एक जीवा है। यदि वृत्त '$$C$$' का केन्द्र $$(2,1)$$ है, तो इस की त्रिज्या बराबर है _____________ |

यदि $$\int\limits_{-a}^{\mathrm{a}}(|\mathrm{x}|+|\mathrm{x}-2|) \mathrm{dx}=22,(\mathrm{a} > 2)$$ है तथा $$[\mathrm{x}]$$, महत्तम पूर्णांक $$\leq \mathrm{x}$$ को दर्शाता है, तो $$\int\limits_{\mathrm{a}}^{-\mathrm{a}}(\mathrm{x}+[\mathrm{x}]) \mathrm{dx}$$ बराबर है ___________ |

माना $$\mathrm{M}$$ कोई $$3 \times 3$$ आव्यूह है जिसके अवयव समुच्चय $$\{0,1,2\}$$ से लिये गए हैं। इस तरह के आव्यूहों की अधिकतम संख्या, जिनके लिए $$\mathrm{M}^{\mathrm{T}} \mathrm{M}$$ के विकर्ण के अवयवों का योग $$7$$ है, है ______________ |

माना एक प्रतिदर्श समष्टि में $$\mathrm{B}_{i}(i=1,2,3)$$ तीन स्वतंत्र घटनाएं हैं। केवल $$B_{1}$$ के होने की प्रायिकता $$\alpha$$ है, केवल $$B_{2}$$ के होने की प्रायिकता $$\beta$$ है तथा केवल $$\mathrm{B}_{3}$$ के होने की प्रायिकता $$\gamma$$ है। माना किसी भी घटना $$\mathrm{B}_{i}$$ के न होने की प्रायिकता $$\mathrm{p}$$ है, तथा ये चारों प्रायिकताएं समीकरणों $$(\alpha-2 \beta) \mathrm{p}=\alpha \beta$$ तथा $$(\beta-3 \gamma) \mathrm{p}=2 \beta \gamma$$ को संतुष्ट करती हैं। (सभी प्रायिकताएं अन्तराल $$(0,1)$$ में हैं)। तो $$\frac{\mathrm{P}\left(\mathrm{B}_{1}\right)}{\mathrm{P}\left(\mathrm{B}_{3}\right)}$$ बराबर है ______________ |