सतत फ़ंक्शन f : R $$\to$$ R के लिए, $$\mathop {\lim }\limits_{x \to {\pi \over 4}} {{{\pi \over 4}\int\limits_2^{{{\sec }^2}x} {f(x)\,dx} } \over {{x^2} - {{{\pi ^2}} \over {16}}}}$$ का मान क्या है?

$${\cos ^{ - 1}}(\cos ( - 5)) + {\sin ^{ - 1}}(\sin (6)) - {\tan ^{ - 1}}(\tan (12))$$ के बराबर है:

(प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन्स मुख्य मान लेते हैं)

रैखिक समीकरणों की इस प्रणाली पर विचार करें:

$$-$$x + y + 2z = 0

3x $$-$$ ay + 5z = 1

2x $$-$$ 2y $$-$$ az = 7

जहाँ S₁ वह सभी a $$\in$$ R का सेट है जिसके लिए प्रणाली असंगत है और S₂ वह सभी a $$\in$$ R का सेट है जिसके लिए प्रणाली के अनंत समाधान हैं। यदि n(S₁) और n(S₂) क्रमशः S₁ और S₂ में तत्वों की संख्या को दर्शाता है, तो

एक शतरंज के बोर्ड पर यादृच्छिक दो वर्ग चुने गए हैं (चित्र देखें)। उनके पास एक साझा किनारा होने की संभावना है:

यदि y = y(x) डिफरेंशियल समीकरण $${x^2}dy + \left( {y - {1 \over x}} \right)dx = 0$$ की समाधान वक्र है; x > 0 और y(1) = 1, तो $$y\left( {{1 \over 2}} \right)$$ का मान क्या है?

फ़ंक्शन $$f(x) = {x^3} - 6{x^2} + ax + b$$ ऐसा है कि $$f(2) = f(4) = 0$$। दो कथनों पर विचार करें :

कथन 1 : ऐसे x₁, x₂ $$\in$$(2, 4), x₁ < x₂ हैं, कि f'(x₁) = $$-$$1 और f'(x₂) = 0 है।

कथन 2 : ऐसे x₃, x₄ $$\in$$ (2, 4), x₃ < x₄ हैं, कि f (2, x₄) में घट रहा है, (x₄, 4) में बढ़ रहा है और $$2f'({x_3}) = \sqrt 3 f({x_4})$$ है।

तब

$${J_{n,m}} = \int\limits_0^{{1 \over 2}} {{{{x^n}} \over {{x^m} - 1}}dx} $$, $$\forall$$ n > m और n, m $$\in$$ N हो। माना मैट्रिक्स $$A = {[{a_{ij}}]_{3 \times 3}}$$ जहाँ $${a_{ij}} = \left\{ {\matrix{ {{j_{6 + i,3}} - {j_{i + 3,3}},} & {i \le j} \cr {0,} & {i > j} \cr } } \right.$$ है। तो $$\left| {adj{A^{ - 1}}} \right|$$ है :

वह क्षेत्रफल, जो वक्रों $$y = \sin x + \cos x$$ और $$y = \left| {\cos x - \sin x} \right|$$ और रेखाओं $$x = 0,x = {\pi \over 2}$$ द्वारा घिरा है, है :

लाइन $$3y - 2z - 1 = 0 = 3x - z + 4$$ की बिंदु (2, $$-$$1, 6) से दूरी है :

ऐसे जोड़ों (a, b) की संख्या, जो वास्तविक संख्याएँ हो, जिसमें जब भी $$\alpha$$ समीकरण x² + ax + b = 0 का मूल हो, तो $$\alpha$$² $$-$$ 2 भी इस समीकरण का मूल होता है, वह है :

माना P₁, P₂, ......, P₁₅ एक वृत्त पर 15 बिंदु हैं। P_i, P_j, P_k बिंदुओं द्वारा बनाए गए विशिष्ट त्रिभुजों की संख्या जिसके लिए i +j + k $$\ne$$ 15 हो, वह है :

फ़ंक्शन की परास $$f(x) = {\log _{\sqrt 5 }}\left( {3 + \cos \left( {{{3\pi } \over 4} + x} \right) + \cos \left( {{\pi \over 4} + x} \right) + \cos \left( {{\pi \over 4} - x} \right) - \cos \left( {{{3\pi } \over 4} - x} \right)} \right)$$ है :

माना a₁, a₂, ..........., a₂₁ एक AP हो जिसके लिए $$\sum\limits_{n = 1}^{20} {{1 \over {{a_n}{a_{n + 1}}}} = {4 \over 9}} $$. यदि इस AP का योग 189 है, तो a₆a₁₆ के बराबर है :

फलन f(x), जो शर्त को संतुष्ट करता है:
$$f(x) = x + \int\limits_0^{\pi /2} {\sin x.\cos y\,f(y)\,dy} $$, वह है:

मान लीजिए X एक यादृच्छिक चर है जिसका वितरण इस प्रकार है।

x	$$ - $$2	$$ - $$1	3	4	6
P(X = x)	$${1 \over 5}$$	a	$${1 \over 3}$$	$${1 \over 5}$$	b

यदि X का माध्य 2.3 है और X का विचरण $$\sigma$$² है, तो 100 $$\sigma$$² के बराबर है :

मान लीजिए $$f(x) = {x^6} + 2{x^4} + {x^3} + 2x + 3$$, x $$\in$$ R हो। तब प्राकृतिक संख्या n के लिए $$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {{{x^n}f(1) - f(x)} \over {x - 1}} = 44$$ है __________।

यदि जटिल संख्याओं के लिए z, जो | z $$-$$ 2 $$-$$ 2i | $$\le$$ 1 को संतुष्ठ करते हैं, | 3iz + 6 | का अधिकतम मान a + ib पर प्राप्त होता है, तो a + b के बराबर है ______________.

माना रेखाएँ x $$-$$ y + 1 = 0, x $$-$$ 2y + 3 = 0 और 2x $$-$$ 5y + 11 = 0 के चौराहे के बिंदु एक त्रिभुज $$\Delta $$ABC के पक्षों के मध्य बिंदु हैं। तब, त्रिभुज $$\Delta $$ABC का क्षेत्रफल है ____________।

f(x) एक त्रिघातीय पॉलीनॉमियल हो जैसा कि
$$f(k) = - {2 \over k}$$ for k = 2, 3, 4, 5. तब 52 $$-$$ 10f(10) का मान बराबर है:

FARMER शब्द के सभी व्यवस्थापन, जिसमें या तो अर्थ हो या न हो, उन सभी शब्दों को छोड़कर लिखे जाते हैं जिनमें RR एक साथ दो बार आता है। व्यवस्थापनों को अंग्रेजी शब्दकोश के अनुसार वर्णानुक्रम में सूचीबद्ध किया जाता है। इस सूची में FARMER शब्द की क्रमांक संख्या ___________ है।

यदि $$\overrightarrow a = 2\widehat i - \widehat j + 2\widehat k$$ और $$\overrightarrow b = \widehat i + 2\widehat j - \widehat k$$ हो। $$\overrightarrow a $$ और $$\overrightarrow b $$ को समाहित करने वाले तल में एक सदिश $$\overrightarrow v $$ हो। यदि $$\overrightarrow v $$ सदिश $$3\widehat i + 2\widehat j - \widehat k$$ के लंबवत है और $$\overrightarrow a $$ पर इसका प्रक्षेपण 19 इकाई है, तो $${\left| {2\overrightarrow v } \right|^2}$$ का मान क्या है।

माना [t] वह सबसे बड़ी पूर्णांक $$\le$$ t को दर्शाता है। फंक्शन $$f(x) = [x]\left| {{x^2} - 1} \right| + \sin \left( {{\pi \over {[x] + 3}}} \right) - [x + 1],x \in ( - 2,2)$$ में असतत बिंदु की संख्या है ____________।

एक व्यक्ति बिंदु P($$-$$3, 4) से चलना शुरू करता है, x-अक्ष को R पर छूता है, और फिर बिंदु Q(0, 2) पर पहुंचने के लिए मुड़ता है। व्यक्ति एक समान गति से चल रहा है। यदि व्यक्ति न्यूनतम समय में बिंदु Q पर पहुंचता है, तो $$50\left( {{{(PR)}^2} + {{(RQ)}^2}} \right)$$ के बराबर है ____________।