केवल तीन अंकों $$2,5$$ तथा $$7$$ के प्रयोग से $$\mathrm{n}$$-अंकोंवाली संख्याएँ बनाई गई हैं। $$\mathrm{n}$$ का वह न्यूनतम मान, जिसके लिए $$900$$ ऐसी विभिन्न संख्याएँ बनाई जा सकें, है :

यदि $$x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$$ तथा $$\frac{1}{\mathrm{~h}_{1}}, \frac{1}{\mathrm{~h}_{2}}, \ldots, \frac{1}{\mathrm{~h}_{\mathrm{n}}}$$ दो ऐसी समांतर श्रेढ़ियां हैं कि $$x_{3}=\mathrm{h}_{2}=8$$ तथा $$x_{8}=\mathrm{h}_{7}=20$$ है, तो $$x_{5} \cdot \mathrm{h}_{10}$$ का मान है :

माना $$\mathrm{S, k}$$ के ऐसे सभी वास्तविक मानों का समुच्चय है जिनके लिए निम्न रैखिक समीकरणों के निकाय का एक अद्वितीय हल है।

$$x+y+z=2$$

$$2 x+y-z=3$$

$$3 x+2 y+k z=4$$

तो, $$\mathrm{S}$$ है :

माना $$\mathrm{A}$$ एक ऐसा आव्यूह है कि $$\mathrm{A} \cdot\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 3\end{array}\right]$$ एक अदिश आव्यूह है तथा $$|3 \mathrm{~A}|=108$$ है, तो $$\mathrm{A}^{2}$$ बराबर है :

सभी $$\alpha \in \mathrm{R}$$ के समुच्चय, जिसके लिए $$\mathrm{w}=\frac{1+(1-8 \alpha) z}{1-z}$$ सभी $$z \in \mathrm{C}$$ के लिए, जो कि $$\mathrm{|z|=1}$$ तथा $$\mathrm{Re} ~z \neq 1$$ को संतुष्ट करते हैं, मात्र एक काल्पनिक संख्या है, है :

यदि $$\lambda \in \mathrm{R}$$ ऐसा है कि समीकरण $$x^{2}+(2-\lambda) x+(10-\lambda)=0$$ के मूलों के घनों का योग न्यूनतम है, तो इस समीकरण के मूलों के अंतर का परिमाण है :

समुच्चय $$\mathrm{A=\{a, b, c\}}$$ पर निम्न दो द्विआधारी संबंधों पर विचार कीजिए :

$$\mathrm{R}_{1}=\{(\mathrm{c}, \mathrm{a}),(\mathrm{b}, \mathrm{b}),(\mathrm{a}, \mathrm{c}),(\mathrm{c}, \mathrm{c}),(\mathrm{b}, \mathrm{c}),(\mathrm{a}, \mathrm{a})\}$$ और $$\mathrm{R_{2}=\{(a, b),(b, a),(c, c),(c, a),(a, a), (b, b),(a, c)\}}$$, तो

यदि $$f(x)=\left|\begin{array}{rrr}\cos x & x & 1 \\ 2 \sin x & x^{2} & 2 x \\ \tan x & x & 1\end{array}\right|$$ है, तो $$ \lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}(x)}{x} $$

यदि अतिपरवलय $$4 y^{2}=x^{2}+1$$ पर खींची गई स्पर्शरेखाएँ निर्देशांक अक्षों को भिन्न बिंदुओं $$\mathrm{A}$$ तथा $$\mathrm{B}$$ पर काटती हैं, तो $$\mathrm{AB}$$ के मध्यबिंदु का बिंदुपथ है :

एक बक्से '$$\mathrm{A}$$' में $$2$$ सफेद, $$3$$ लाल तथा $$2$$ काली गेंदें हैं। एक अन्य बक्से '$$\mathrm{B}$$' में $$4$$ सफेद, $$2$$ लाल तथा $$3$$ काली गेंदें हैं। यदि यादृच्छया चुने गए एक बक्से में से दो गेंदें यादृच्छया, प्रतिस्थापना रहित, चुनी गई, जिनमें से एक सफेद तथा दूसरी लाल पाई गयी। तो दोनों गेंदों के बक्से '$$\mathrm{B}$$' से चुने जाने की प्रायिकता है :

यदि $$\tan \mathrm{A}$$ तथा $$\tan \mathrm{B}$$, द्विघात समीकरण $$3 x^{2}-10 x-25=0$$ के मूल हैं, तो $$3 \sin ^{2}(A+B)-10 \sin (A+B) \cdot \cos (A+B)-25 \cos ^{2}(\mathrm{A}+\mathrm{B})$$ का मान है :

$$30$$ प्रेक्षणों के एक समूह का माध्य $$75$$ है। यदि प्रत्येक प्रेक्षण को एक शून्येतर संख्या $$\lambda$$ से गुणा किया गया तथा उसके पश्चात् प्रत्येक संख्या में से $$25$$ घटाया गया, तो उनका माध्य वही रहा। तो $$\lambda$$ का मान है :

यदि $$\mathrm{\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}}$$ तथा $$\mathrm{\overrightarrow{c}}$$ ऐसे मात्रक सदिश हैं, कि $$\overrightarrow{\mathrm{a}}+2 \overrightarrow{\mathrm{b}}+2 \overrightarrow{\mathrm{c}}=\overrightarrow{0}$$ है, तो $$|\overrightarrow{\mathrm{a}} \times \overrightarrow{\mathrm{c}}|$$ बराबर है :

एक त्रिभुज $$\mathrm{ABC}$$ में, $$\mathrm{A}$$ के निर्देशांक $$(1,2)$$ हैं तथा $$\mathrm{B}$$ तथा $$\mathrm{C}$$ से होकर जाने वाली माध्यिकाओं के समीकरण क्रमश: $$x+y=5$$ तथा $$x=4$$ हैं, तो $$\triangle \mathrm{ABC}$$ का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है :

माना $$y=y(x)$$, अवकल समीकरण $$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+2 y=f(x)$$ का हल है, जहाँ $$f(x)=\left\{\begin{array}{lr}1, & x \in[0,1] \\ 0, & \text { अन्यथा }\end{array}\right.$$ है। यदि $$y(0)=0$$, है तो $$y\left(\frac{3}{2}\right)$$ बराबर है :

समाकल $$\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{4} x\left(1+\log \left(\frac{2+\sin x}{2-\sin x}\right)\right) d x$$ का मान है :

क्षेत्र $$\{x \in \mathrm{R}: x \geqslant 0, y \geqslant 0, y \geqslant x-2$$ तथा $$y \leqslant \sqrt{x}\}$$ का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है :

यदि $$3$$ सेमी त्रिज्या वाले गोले के अंतर्गत एक अधिकतम आयतन का लंबवृत्तीय शंकु बनाया गया है, तो इस शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ( वर्ग सेमी में) है :

यदि $$f\left(\frac{x-4}{x+2}\right)=2 x+1,(x \in \mathrm{R}-\{1,-2\})$$ है, तो $$\int f(x) \mathrm{d} x$$ बराबर है :

( जहाँ $$\mathrm{C}$$ एक समाकलन अचर है)

यदि $$x^{2}+y^{2}+\sin y=4$$ है तो बिंदु $$(-2,0)$$ पर $$\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}$$ का मान है :

यदि $$x^{2}+y^{2}+\sin y=4$$ है तो बिंदु $$(-2,0)$$ पर $$\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}$$ का मान है :

माना $$S=\left\{(\lambda, \mu) \in \mathrm{R} \times \mathrm{R}: f(\mathrm{t})=\left(|\lambda| \mathrm{e}^{\mid \mathrm{t}}-\mu\right)\right.$$. $$\sin (2|t|), t \in \mathrm{R}$$ एक अवकलनीय फलन है $$\}$$ तो $$\mathrm{S}$$ जिसका उपसमुच्चय है, वह है :