एक वर्नियर कैलिपर्स के मुख्य पैमाने (main scale) के सबसे छोटे भाग का मान $$0.1 \mathrm{~cm}$$ है। वर्नियर पैमाने के दस भाग मुख्य पैमाने के नौं भागों के संगत हैं। नीचे दिए गए चित्रों में बायीं ओर का चित्र वर्नियर कैलिपर्स की उस स्थिति का पाठ्यांक है जब दोनों जबड़े एक साथ जुड़े हैं। दाहिनी ओर के चित्र में दर्शाया गया पाठ्यांक उस स्थिति का है जब एक ठोस गोले को कैलिपर्स के दोनों जबड़ों के बीच पकड़कर रखा जाता है। इस गोले का सही व्यास है

चित्र में दिखाए गए $$P-V$$ ग्राफ के अनुसार, एक आदर्श गैस चार चरणों के चक्र (four step cycle) से गुजरती है। इस चक्र के दौरान गैस द्वारा ऊष्मा का अवशोषण होगा

एक विस्तृत (extended) वस्तु को एक उत्तल (convex) लेंस $$\mathrm{L}_{1}$$ के सामने $$10 \mathrm{~cm}$$ दूर बिन्दु $$\mathrm{O}$$ पर रखा गया है। इस उत्तल लेंस से $$10 \mathrm{~cm}$$ पीछे एक अवतल (concave) लेंस $$\mathrm{L}_{2}$$ रखा है, जैसा कि चित्र में दर्शाया गया है । दोनों लेंसों के सभी वक्र-पृष्ठों की वक्रता त्रिज्यायें (radii of curvature) $$20 \mathrm{~cm}$$ हैं तथा उनके अपवर्तनांक (refractive index) $$1.5$$ हैं। इस लेंस निकाय का कुल आवर्धन (magnification) होगा

$$20 \mathrm{~min}$$ के अर्धायु वाले एक भारी नाभिक (nucleus) $$Q$$ में अल्फा-क्षय (alpha decay) की प्रायिकता (probability) $$60 \%$$ है एवं बीटा-क्षय (beta decay) की प्रायिकता $$40 \%$$ है। आरम्भ में $$Q$$ नाभिकों की संख्या $$1000$$ है। पहले एक घंटे में $$Q$$ से होने वाले अल्फा-क्षयों की संख्या होगी

एक प्रक्षेप (projectile) को उर्ध्वाधर (vertical) से $$45^{\circ}$$ के कोण पर $$5 \sqrt{2} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$$ की चाल से भूमि पर स्थित एक बिन्दु $$\mathrm{O}$$ से प्रक्षेपित किया जाता है। अपने प्रक्षेप-पथ के उच्चतम बिन्दु पर यह प्रक्षेप दो बराबर भागों में विभाजित हो जाता है। विभाजन के $$0.5$$ सेकंड (second) उपरांत एक भाग भूमि पर लम्बवत नीचे गिरता है। दूसरा भाग, विभाजन के $$t$$ सेकंड उपरांत भूमि पर, बिन्दु $$\mathrm{O}$$ से $$x$$ मीटर की दूरी पर गिरता है। गुरुत्वीय त्वरण $$g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$$ है।

$$t$$ का मान __________ है

एक प्रक्षेप (projectile) को उर्ध्वाधर (vertical) से $$45^{\circ}$$ के कोण पर $$5 \sqrt{2} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$$ की चाल से भूमि पर स्थित एक बिन्दु $$\mathrm{O}$$ से प्रक्षेपित किया जाता है। अपने प्रक्षेप-पथ के उच्चतम बिन्दु पर यह प्रक्षेप दो बराबर भागों में विभाजित हो जाता है। विभाजन के $$0.5$$ सेकंड (second) उपरांत एक भाग भूमि पर लम्बवत नीचे गिरता है। दूसरा भाग, विभाजन के $$t$$ सेकंड उपरांत भूमि पर, बिन्दु $$\mathrm{O}$$ से $$x$$ मीटर की दूरी पर गिरता है। गुरुत्वीय त्वरण $$g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$$ है।

$$x$$ का मान __________ है

चित्र में दिखाए गए परिपथ में, कुंजी $$\mathrm{S}$$ को $$\mathrm{P}$$ सिरे से काफी समय तक जोड़कर रखते हैं जिससे संधारित्र (capacitor) पर आवेश $$q_{1} ~\mu \mathrm{C}$$ हो जाता है। फिर $$\mathrm{S}$$ को $$\mathrm{Q}$$ सिरे से जोड़ दिया जाता है। काफी समय के उपरांत संधारित्र पर आवेश $$q_{2} ~\mu \mathrm{C}$$ हो जाता है।

$$q_{1}$$ का परिमाण __________ है।

चित्र में दिखाए गए परिपथ में, कुंजी $$\mathrm{S}$$ को $$\mathrm{P}$$ सिरे से काफी समय तक जोड़कर रखते हैं जिससे संधारित्र (capacitor) पर आवेश $$q_{1} ~\mu \mathrm{C}$$ हो जाता है। फिर $$\mathrm{S}$$ को $$\mathrm{Q}$$ सिरे से जोड़ दिया जाता है। काफी समय के उपरांत संधारित्र पर आवेश $$q_{2} ~\mu \mathrm{C}$$ हो जाता है।

$$q_{2}$$ का परिमाण __________ है।

दो बिन्दु आवेश $$-Q$$ और $$+Q / \sqrt{3} ~x y$$-समतल पर क्रमशः मूल बिन्दु $$(0,0)$$ तथा एक बिन्दु $$(2,0)$$ पर रखे हैं, जैसा कि चित्र में दर्शाया गया है। इसके फलस्वरूप $$x y$$-समतल पर त्रिज्या $$R$$ तथा विभव $$V=0$$ का एक समविभव (equipotential) वृत्त बनता है जिसका केन्द्र $$(b, 0)$$ है | सभी लम्बाईयों की इकाई मीटर है।

$$R$$ का मान ________ मीटर है।

दो बिन्दु आवेश $$-Q$$ और $$+Q / \sqrt{3} ~x y$$-समतल पर क्रमशः मूल बिन्दु $$(0,0)$$ तथा एक बिन्दु $$(2,0)$$ पर रखे हैं, जैसा कि चित्र में दर्शाया गया है। इसके फलस्वरूप $$x y$$-समतल पर त्रिज्या $$R$$ तथा विभव $$V=0$$ का एक समविभव (equipotential) वृत्त बनता है जिसका केन्द्र $$(b, 0)$$ है | सभी लम्बाईयों की इकाई मीटर है।

$$b$$ का मान ________ मीटर है।

चित्रानुसार, द्रव्यमान $$m$$ और त्रिज्या $$R$$ की एक बेलनाकार वस्तु के द्रव्यमान केंद्र पर उसके अक्ष के लम्बवत एक क्षैतिज बल $$F$$ लगाया जाता है। भूमि और वस्तु के बीच का घर्षण गुणांक (coefficient of friction) $$\mu$$ है। वस्तु के द्रव्यमान केन्द्र का त्वरण $$a$$ है और $$g$$ गुरुत्वीय त्वरण है। यदि वस्तु बिना फिसले लुढ़कती है, तो निम्न में से कौन सा(से) कथन सत्य है (हैं) ?

अपवर्तनांक (refractive index) $$n_{1}$$ तथा $$n_{2}$$ के दो माध्यमों से बने एक चौड़े गुटके को वायु में चित्रानुसार रखा गया है। माध्यम $$n_{1}$$ से प्रकाश की एक किरण माध्यम $$n_{2}$$ पर कोण $$\theta$$ पर आपतित होती है, जहाँ $$\sin \theta$$ का मान $$1 / n_{1}$$ से थोड़ा सा अधिक है। माने कि वायु का अपवर्तनांक $$1$$ है। निम्न में से कौन सा (से) कथन सत्य है (हैं) ?

द्रव्यमान $$M=0.2 \mathrm{~kg}$$ का एक कण आरंभ में $$x y$$-समतल के एक बिन्दु $$(x=-l, y=-h)$$ पर विरामावस्था में है, जहाँ $$l=10 \mathrm{~m}$$ तथा $$h=1 \mathrm{~m}$$ हैं। समय $$t=0$$ पर कण को $$a=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$$ के नियत त्वरण (constant acceleration) से धनात्मक $$x$$-अक्ष की दिशा में त्वरित किया जाता है। मूलबिन्दु के सापेक्ष कण के कोणीय संवेग (angular momentum) तथा बल आघूर्ण (torque) $$SI$$ इकाई में क्रमशः $$\vec{L}$$ और $$\vec{\tau}$$ से परिभाषित हैं। यदि $$\hat{\imath}, \hat{\jmath}$$ और $$\hat{k}$$ क्रमशः धनात्मक $$x, y$$ और $$z$$ अक्षों की दिशाओं में इकाई सदिशें (unit vectors) हैं, जहाँ $$\widehat k = \widehat i \times \widehat j$$ | निम्न में से कौन सा (से) कथन सत्य है ( हैं) ?

निम्न में से कौन सा (से) कथन हाइड्रोजन परमाणु के स्पेक्ट्रम (spectrum) के बारे में सत्य है (हैं) ?

एक सीधे लम्बे तार में $$I=2$$ Ampere की धारा बह रही है। एक अर्धवृत्ताकार चालक छड़ (conducting rod), तार के समीप दो नगण्य प्रतिरोध की समानांतर चालक रेलों पर इस प्रकार रखा गया है कि दोनों रेल, तार के समानांतर हैं। तार, छड़ और रेल एक ही क्षैतिज समतल पर हैं, जैसा चित्र में दर्शाया गया है। अर्धवृत्ताकार चालक छड़ के दो सिरे तार से $$1 \mathrm{~cm}$$ तथा $$4 \mathrm{~cm}$$ की दूरी पर हैं। समय $$t=0$$ पर, यह छड़ रेलों पर वेग $$v=3.0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$$ से गतिमान होती है (चित्र देखें)। दोनों रेलों के बीच एक प्रतिरोध $$R=1.4 ~\Omega$$ तथा एक संधारित्र (capacitor) $$C_{o}=5.0 ~\mu \mathrm{F}$$ को श्रेणीक्रम में जोड़ा गया है। समय $$t=0$$ पर, संधारित्र $$C_{o}$$ अनावेशित है। निम्न में से कौन सा (से) कथन सत्य है (हैं) ? [ $$\mu_{0}=4 \pi \times 10^{-7}$$ SI units और $$\ln 2=0.7$$ लीजिये]

पानी से भरी एक बेलनाकार नलिका का तल चित्रानुसार हैI यह नलिका $$\theta=45^{\circ}$$ कोण के एक स्थिर ढालयुक्त समतल पर एक नियत त्वरण $$a$$ से ढाल की दिशा में चल रही है। नलिका के तल पर स्थित बिन्दुओं $$1$$ और $$2$$ पर दाब क्रमशः $$P_{1}$$ और $$P_{2}$$ हैं। मान लें कि $$\beta=\left(P_{1}-P_{2}\right) /(\rho g d)$$, जहाँ $$\rho$$ पानी का घनत्व, $$d$$ नलिका का आन्तरिक व्यास तथा $$g$$ गुरुत्वीय त्वरण है। निम्न में से कौन सा (से) कथन सत्य है (हैं) ?

द्रव्यमान $$4 ~\mathrm{amu}$$ का एक अल्फा-कण (alpha-particle) एवं एक एकावेशित (singly ionized) सल्फर आयन (द्रव्यमान $$32 ~\mathrm{amu}$$ ) आरम्भ में विरामावस्था में हैं। ये कण विभव (potential) $$V$$ से त्वरित होकर एक ऐसे एकसमान चुम्बकीय क्षेत्र से गुजरते हैं जिसकी दिशा कणों के वेग के लंबवत है। इस क्षेत्र में ये अल्फा-कण व सल्फर आयन क्रमशः $$r_{\alpha}$$ एवं $$r_{S}$$ की त्रिज्याओं वाली वृत्ताकार कक्षाओं में घूमते हैं। अनुपात $$r_{S} / r_{\alpha}$$ का मान ________ होगा।

द्रव्यमान $$M$$ तथा लम्बाई $$a$$ की एक पतली छड़ एक क्षैतिज तल में बिन्दु $$\mathrm{O}$$ से गुजरने वाले एक स्थिर ऊर्ध्वाधर अक्ष के परितः घूर्णन करने के लिये स्वतंत्र है। द्रव्यमान $$M$$ तथा त्रिज्या $$a / 4$$ की एक पतली वृत्ताकार डिस्क को इस छड़ पर उसके स्वतंत्र सिरे से $$a / 4$$ दूरी पर चित्रानुसार धुराग्रस्थ (pivoted) किया गया है, जिससे वह अपने ऊर्ध्वाधर अक्ष के परितः घूर्णन करने के लिये स्वतंत्र है। मान लें कि छड़ और डिस्क दोनों का एकसमान घनत्व है, तथा गति के दौरान दोनों क्षैतिज रहते हैं। एक स्थिर प्रेक्षक किसी क्षण छड़ को कोणीय वेग (angular velocity) $$\Omega$$ से तथा डिस्क को कोणीय वेग $$4 ~\Omega$$ से घूर्णन करते हुए पाता है इस निकाय का कोणीय संवेग (angular momentum) बिन्दु $$\mathrm{O}$$ के परितः $$\left(\frac{M a^{2} \Omega}{48}\right) n$$ है। $$n$$ का मान __________ होगा।

एक छोटी वस्तु को एक निर्वातित (evacuated) बड़े खोखले गोले के केंद्र पर रखा गया है। मानें, गोले का तापमान $$0 \mathrm{~K}$$ पर अनुरक्षित (maintained) है। समय $$t=0$$ पर वस्तु का तापमान $$200 \mathrm{~K}$$ है। वस्तु का तापमान $$t=t_{1}$$ पर $$100 \mathrm{~K}$$ तथा $$t=t_{2}$$ पर $$50 \mathrm{~K}$$ हो जाता है। वस्तु तथा गोले को आदर्श कृष्णिका (ideal black-body) मानें। वस्तु की ऊष्मा क्षमता (heat capacity) तापमान पर निर्भर नहीं करती है । अनुपात $$t_{2} / t_{1}$$ का मान __________ होगा।